2023年高考数学一轮复习《椭圆》精选练习（2份打包，教师版+原卷版）

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2023年高考数学一轮复习《椭圆》精选练习一              、选择题1.已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)A.(±，0)                  B.(0，±)C.(±，0)或(±，0)       D.(0，±)或(±，0)【答案解析】答案为：B解析：因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋＝1即为椭圆x2＋＝1，易知其焦点坐标为(0，±)，故选B.2.椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)A.＋=1         B.＋y2=1     C.＋=1          D.＋=1【答案解析】答案为：C；解析：由条件可知b=c=，a=2，所以椭圆的标准方程为＋=1.故选C.3.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为(　　)A.         B.        C.         D.【答案解析】答案为：A解析：根据题意可取P(c，)，Q(c，－)，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos 2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝.又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1－e＝，e＝，故选A.4.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的中心为坐标原点O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.[,1)        B.(0,]     C.[,1)        D.(0,]【答案解析】答案为：A；解析：由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，则根据题意可得c≥b，c2≥b2=a2－c2，2c2≥a2，e≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1，故选A.5.焦点在x轴上的椭圆方程为＋=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　 　)A.          B.          C.          D.【答案解析】答案为：C.解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b=(2a＋2c)·，得a=2c，即e==，故选C.6.如图，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为(　　)A.         B.         C.－1         D.【答案解析】答案为：C解析：连接AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1＝∠AF2B＝30°，因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝|F1F2|＝c，|F2A|＝|F1F2|＝c.根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋)c，解得a＝c，∴椭圆的离心率为e＝＝－1.故选C.  7.椭圆＋=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)A.        B.       C.        D.【答案解析】答案为：C；解析：设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN|＋|MF|＋|NF|=|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|).因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L=4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直线x=a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN=×|MN|×|EF|=××2=，故选C.8.已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋=1的两个焦点，P在椭圆上且满足·=c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)A.          B.      C.          D.【答案解析】答案为：B；解析：设P(x，y)，则＋=1，y2=b2－x2，－a≤x≤a，=(－c－x，－y)，=(c－x，－y).所以·=x2－c2＋y2=x2＋b2－c2=x2＋b2－c2.因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2.所以2c2≤a2≤3c2.所以≤≤.故选B.二              、填空题9.设F1，F2是椭圆＋=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，则△PF1F2的面积为________.【答案解析】答案为：24.解析：因为|PF1|＋|PF2|=14，又|PF1|∶|PF2|=4∶3，所以|PF1|=8，|PF2|=6.因为|F1F2|=10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.10.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________.【答案解析】答案为：(0,).解析：∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，∴2－1＋＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.又∵0＜e＜1，∴0＜e＜.∴椭圆的离心率e的取值范围是(0,).11.已知F1，F2分别是椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P作∠F1PF2的角平分线交x轴于点M，若2|PM|2=|PF1|·|PF2|，则该椭圆的离心率为________.【答案解析】答案为：.解析：在△PF1F2中，由角平分线定理，得=，即=.由椭圆定义得=⇒=.同理=.又在△PF1M和△PF2M中，由余弦定理得cos ∠F1MP＋cos ∠F2MP=0.即＋=0，⇒(|PM|2＋|F1M||F2M|)(|F1M|＋|F2M|)=|PF1|2|F2M|＋|PF2|2|F1M|⇒×2c=|PF1|2|PF2|＋|PF2|2|PF1|⇒c=(|PF1|＋|PF2|)即1＋2e2=2，解得e=.12.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－，则该椭圆的离心率为________.【答案解析】答案为：.解析：因为椭圆＋=1(a＞b＞0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(－c，0)，所以直线BF1的方程是y=x＋b，OT的方程是y=－x.联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为－.由AT⊥BF1得，－×=－1，∴3b2=4ac＋c2，∴3(a2－c2)=4ac＋c2，∴4e2＋4e－3=0，又0＜e＜1，所以e=.三              、解答题13.已知椭圆C：＋y2=1过点A(2,0)，B(0,1)两点.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【答案解析】解：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y=4，又A(2,0)，B(0,1)，所以，直线PA的方程为y=(x－2)，令x=0，得yM=－，从而|BM|=1－yM=1＋，直线PB的方程为y=x＋1，令y=0，得xN=－，从而|AN|=2－xN=2＋，所以四边形ABNM的面积S=|AN||BM|====2，从而四边形ABNM的面积为定值.14.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案解析】解：(1)设F(c,0)，由条件知，=，得c=.又=，所以a=2，b2=a2－c2=1.故E的方程为＋y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y=kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y=kx－2代入＋y2=1得(1＋4k2)x2－16kx＋12=0.当Δ=16(4k2－3)＞0，即k2＞时，x1,2=.从而|PQ|=|x1－x2|=.又点O到直线PQ的距离d=，所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t，则t＞0，S△OPQ==.因为t＋≥4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y=x－2或y=－x－2.15.已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值.【答案解析】解：(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆.由c=2，a=2，得b=2.故动点M的轨迹C的方程为＋=1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2=k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k=0.Δ=[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，则k＞0或k＜－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=－，x1x2=.从而k1＋k2=＋==2k－(k－4)=4.当直线l的斜率不存在时，得A，B.所以k1＋k2=4.综上，恒有k1＋k2=4. 16.已知椭圆C：＋=1(a＞2)，直线l：y=kx＋1(k≠0)与椭圆C相交于A，B两点，点D为AB的中点.(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆C的方程；(2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO(O为坐标原点)？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案解析】解：(1)由得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2=0，显然Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2=－，x1x2=，∴x0=－，y0=－＋1=，∴k·=k·=－，∴a2=8.∴椭圆C的方程为＋=1.(2)假设存在定点M符合题意，且设M(0，m)，由∠AMO=∠BMO得kAM＋kBM=0.∴＋=0.即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)=0，∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)=0.由(1)知x1＋x2=－，x1x2=，∴－－＋=0，∴=0，即=0，∵k≠0，∴－4＋m=0，∴m=4.∴存在定点M(0,4)，使得∠AMO=∠BMO.