新高考数学一轮复习《数列小题综合练》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《数列小题综合练》课时练习

一              、选择题

1.已知等比数列{an}中，4a1，a3,3a2成等差数列，则等于(　　)

A.4或－1         B.4        C.－1         D.－4

【答案解析】答案为：B

解析：设等比数列{an}的公比为q，因为4a1，a3，3a2成等差数列，

所以4a1＋3a2＝a3，所以4a1＋3a1q＝a1q2，且a1≠0，所以q2－3q－4＝0，

解得q＝4或q＝－1，为保证有意义，则q2≠1，所以q＝4，

所以＝＝q＝4.

2.在数列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，则a2 023的值为(　　)

A.－2         B.        C.         D.

【答案解析】答案为：A

解析：在数列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，所以an＋1＝1－，

当n＝1时，解得a2＝1＋＝，当n＝2时，解得a3＝1－＝，

当n＝3时，解得a4＝1－3＝－2，当n＝4时，解得a5＝，故数列an的周期为3，

所以a2 023＝a3×674＋1＝a1＝－2.

3.若数列{an}满足a1＝3，an＝3an－1＋3n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an等于(　　)

A.2×3n         B.          C.n·3n         D.

【答案解析】答案为：C

解析：由an＝3an－1＋3n(n≥2)，得n＝2时，a2＝3a1＋32＝18，

对于A，a1＝2×3＝6≠3，故A错；

对于B，a1＝＝3，a2＝＝≠18，故B错；

对于C，a1＝1×3＝3，a2＝2×32＝18；对于D，a1＝≠3，故D错.

4.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论错误的是(　　)

A.{an＋Sn}是等差数列        B.{an·Sn}是等比数列

C.{a}是等差数列            D.{}是等比数列

【答案解析】答案为：B

解析：由{Sn}是等差数列，得2S2＝S1＋S3，即2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，

设等比数列{an}的公比为q，∵{an}是各项均为正数的等比数列，则q＝＝1，

∴an＝a1＞0.对于A选项，an＋Sn＝(n＋1)a1，∴数列{an＋Sn}是等差数列，A正确；

对于C选项，a＝a，∴{a}是常数列，且为等差数列，C正确；

对于D选项，＝a1＞0，∴{}是等比数列，D正确；

对于B选项，anSn＝na，则＝不是常数，

∴{an·Sn}不是等比数列，B不正确.

5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝nan，且S2＋S4＋S6＋…＋S60＝3 720，则a1等于(　　)

A.8         B.6          C.4         D.2

【答案解析】答案为：C

解析：Sn＝nan，∴Sn＝n(Sn－Sn－1)，n≥2，∴nSn－1＝(n－1)Sn，n≥2，变形得＝，n≥2，∴数列{}是每项均为S1的常数列，∴＝S1，即Sn＝nS1＝na1，又∵S2＋S4＋S6＋…＋S60＝3 720，∴2a1＋4a1＋6a1＋…＋60a1＝(2＋4＋6＋…＋60)a1＝a1＝3 720，解得a1＝4.

6.已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为ai，j，如a3,1＝7，a4,3＝15，则ai，j＝2 021时，log2(i＋19)等于(　　)

1

5　3

7　9　11

19　17　15　13

21　23　25　27　29

……………………………

A.54        B.18         C.9       D.6

【答案解析】答案为：A

解析：奇数构成的数阵，令2n－1＝2 021，解得n＝1 011，故2 021是数阵中的第1 011个数，第1行到第i行一共有1＋2＋3＋…＋i＝个奇数，则第1行到第44行末一共有＝990个奇数，第1行到第45行末一共有1 035个奇数，所以2 021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，所以2 021位于第45行，从左到右第21列，所以i＝45，j＝21，则log2(i＋19)＝·log2(45＋19)＝(－3)2·log264＝9×6＝54.

7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为，an＞0，＋＋…＋＝，当取最小值时，n的值为(　　)

A.7        B.8         C.9         D.10

【答案解析】答案为：B

解析：＋＋…＋＝3＝3＝，

整理得a＋3a1－18＝0，解得a1＝3或a1＝－6(舍去)，

即Sn＝3n＋×＝，则＝＝.

当n≤7时，数列单调递减，当n≥8时，数列单调递增，

当n＝7时，＝，当n＝8时，＝，故当n＝8时，取最小值.

8.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＝，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3·…·an，则使Tn取最小值时n的值为(　　)

A.3          B.4          C.5         D.6

【答案解析】答案为：C

解析：设等比数列{an}的公比为q，由9S3＝S6知，q≠1，

故＝，解得q＝2，又a1＝，所以an＝a1qn﹣1＝.

因为Tn＝a1a2a3·…·an，故当Tn取最小值时an≤1，且an＋1≥1，

即得n＝5.故选C.

9. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　 　)

A.f           B.f          C.f          D.f

【答案解析】答案为：D；

解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，

设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f，故选D.

二              、多选题

10. (多选)已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有(　　)

A.a9·a10＜0         B.a9＞a10             C.b10＞0         D.b9＞b10

【答案解析】答案为：AD

解析：数列{an}是首项为a1，公比q为－的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，则a9＝a1(－)8，a10＝a1(－)9，∴a9·a10＝a(－)17＜0，故A正确；

∵a1正负不确定，∴不能确定a9和a10的大小关系，故B错误；

∵a9和a10异号，a9＞b9且a10＞b10，∴b9和b10中至少有一个数是负数，

又∵b1＝12，∴d＜0，∴b9＞b10，故D正确.∴b10一定是负数，即b10＜0，故C错误.

11. (多选)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn＋1＝2Sn＋n，则(　　)

A.an＋1＞Sn                                 B.{an＋1}是等比数列

C.{}是单调递增数列      D.Sn＜2an

【答案解析】答案为：ACD.

解析：对于A选项，由Sn＋1＝2Sn＋n得an＋1＝Sn＋n，故an＋1＞Sn，A选项正确；

对于B选项，将Sn＋1＝2Sn＋n，Sn＝2Sn－1＋n－1(n≥2)，两式相减得an＋1＝2an＋1，

即an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)，

又令n＝1，得S2＝2S1＋1⇒3＋a1＝2a1＋1⇒a1＝2，

a2＋1≠2(a1＋1)，所以{an＋1}从第二项开始成等比数列，公比为2，

故n≥2时，an＋1＝2n－2(a2＋1)＝2n，即an＝2n－1，

所以an＝故B选项错误；

对于C选项，因为an＝

当n＝1时，S1＝2，

当n≥2时，Sn＝2＋(22＋23＋…＋2n)－(n－1)＝－(n－1)＝2n＋1－n－1.

所以Sn＝令cn＝＝

则n≥2时，cn＋1－cn＝－＝－＝＞0，

即cn＋1＞cn，而c2＝＞c1，所以数列{}单调递增，C选项正确；

对于D选项，当n≥2时，Sn－2an＝2n＋1－n－1－(2n＋1－2)＝1－n≤－1，

S1＜2a1显然成立，故Sn＜2an恒成立，D选项正确.

12. (多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：,1,2,3,5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)

A.a6＝8

B.S9＝54

C.a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024

D.＝a2 024

【答案解析】答案为：ACD

解析：对于A，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A正确；

对于B，S9＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＝88，故B错误；

对于C，由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，a7＝a8－a6，…，a2 023＝a2 024－a2 022，可得a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2 023＝a2＋a4－a2＋a6－a4＋a8－a6＋…＋a2 024－a2 022＝a2 024，故C正确；

对于D，斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则a＝a2a1，a＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a＝a3(a4－a2)＝a3a4－a2a3，…，a＝a2 022(a2 023－a2 021)＝a2 022a2 023－a2 021a2 022，a＝a2 023a2 024－a2 023a2 022，可得＝＝a2 024，故D正确.

三              、填空题

13.已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝________.

【答案解析】答案为：.

解析：∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.经检验，当n＝1时，不符合上式，∴an＝

14.已知等比数列{an}满足log2(a1a2a3a4a5)＝5，等差数列{bn}满足b3＝a3，则b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝________.

【答案解析】答案为：10

解析：因为等比数列{an}中，log2(a1a2a3a4a5)＝log2(a3)5＝5，所以a3＝2，因为b3＝a3＝2，则由等差数列的性质得b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝5b3＝10.

15.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列{}的前n项和为Tn，若Tn＜m2－m－1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为________.

【答案解析】答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞).

解析：由题意，数列{an}的前n项和为Sn，由“均值数列”的定义可得＝n，

所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，

a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，所以＝，所以Tn＝＜，又Tn＜m2－m－1对一切n∈N*恒成立，所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0，解得m≤－1或m≥3.即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).

16.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且有a3＋a9＝3，b5＋b7＝6，则的值为________.

【答案解析】答案为：.

解析：因为{an}，{bn}为等差数列，则有a3＋a9＝2a6＝3，b5＋b7＝2b6＝6.

S11＝11a6，T11＝11b6，所以＝＝＝.