2022郑州高二上学期期末考试数学（文）含解析

郑州市2021—2022学年上期期末考试

高二数学（文）试题卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设a，b，c非零实数，且，则（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；

对于C：利用作差法证明.

【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；

对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；

对于C：因为，所以.故C正确；

对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；

故选：C.

2. 在等差数列中，，则（    ）．

A. 9 B. 6 C. 3 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】直接由等差中项得到结果.

详解】由得.

故选：A.

3. 椭圆的长轴长是（    ）．

A. 3 B. 6 C. 9 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.

【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.

故选：B

4. 中，三边长之比为，则为（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不存在这样的三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.

【详解】设三边分别为，，，中的最大角为，

，为钝角，

为钝角三角形.

故选：C.

5. 若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数概念和几何意义判断

【详解】由题意得，图象上某点处的切线斜率随增大而减小，满足要求的只有A

故选：A

6. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）．

A. 3 B. 1 C. 0 D. ﹣1

【答案】C

【解析】

【分析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解

【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值

故选：C

7. 2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），测得，，则纪念塔的高CD为（    ）．

A. 40m B. 63m

C. m D. m

【答案】B

【解析】

【分析】设，先表示出，再利用余弦定理即可求解.

【详解】

如图所示，，设塔高为，因为平面ABC，所以，

所以，又，即，

解得.

故选：B.

8. 已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（    ）．

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据等比数列前项和公式即可判断D.

【详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，

所以，

又因是与的等差中项，

所以，

即，解得或（舍去），故B错误；

所以，故A错误；

所以，故C错误；

所以，故D正确.

故选：D.

9. 设的内角的对边分别为的面积，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.

【详解】由，

∴，在中，，

∴，解得.

故选：A.

10. 已知命题，；命题，，那么下列命题为假命题的是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题设命题的描述判断、的真假，再判断其复合命题的真假即可.

【详解】对于命题，仅当时，故为假命题；

对于命题，由且开口向上，故为真命题；

所以为真命题，为假命题，

综上，为真，为假，为真，为真.

故选：B

11. 下列说法错误的是（    ）．

A. 命题“，”的否定是“，”

B. 若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021

C. “”是“函数在内有零点”的必要不充分条件

D. 已知，且，则的最小值为9

【答案】C

【解析】

【分析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；

对于B：根据充分不必要条件直接判断；

对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；

对于D：利用基本不等式求最值.

【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；

对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；

对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；

对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）故D正确.

故选：C

12. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以，.

故选：A.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的图象在点处的切线方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】因为，则，所以，，，

故所求切线方程为，即.

故答案为：.

14. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由抛物线的焦半径公式可求得的值.

【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的焦半径公式可得，解得.

故答案为：.

15. 已知数列，点在函数的图象上，则数列的前10项和是______．

【答案】

【解析】

【分析】将点代入可得，从而得，再由裂项相消法可求解.

【详解】由题意有，所以，

所以数列的前10项和为：

.

故答案为：

16. 若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.

【详解】由题意，，即，整理有，

所以或，

若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，

所以，则，又，

综上，双曲线的离心率的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. △的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（1）求角B的大小；

（2）若△不为钝角三角形，且，，求△的面积．

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.

（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积．

【小问1详解】

由正弦定理得：，又，

所以，又B为△的一个内角，则，

所以或；

【小问2详解】

由△不为钝角三角形，即，又，，

由余弦定理，，得（舍去负值），则．

∴．

18. 已知命题p：点在椭圆内；命题q：函数在R上单调递增．

（1）若p为真命题，求m的取值范围；

（2）若为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）根据题意列不等式组求解

（2）判断的真假性后分别求解

【小问1详解】

由题意得，解得且．

故m的取值范围是

【小问2详解】

∵为假命题，∴p和q都是真命题，

对于命题q，由题意得：恒成立，

∴，∴，

∴，解得．

故m的取值范围是

19. 设数列的前n项和为，且，数列．

（1）求和的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：．

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据可得，从而可得；

（2）利用错位相减法可得，从而可得，又，即可证明不等式成立.

【小问1详解】

解：∵，∴当时，，

当时，，∴，

经检验，也符合，

∴，；

【小问2详解】

证明：因为，

∴，

∴

∴，

又∵，∴，

所以．

20. 已知函数．

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围．

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；

（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.

【小问1详解】

当时，，定义域为，．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

∴当时，取得极大值﹣1．

所以在上单调递增，在上单调递减．

极大值为﹣1，无极小值．

【小问2详解】

由，得，

令，只需.

求导得，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴当时，取得最大值，

∴k的取值范围为．

21. 球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm．

（1）写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；

（2）瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）．

【答案】（1），   

（2）当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π

【解析】

【分析】（1）直接由条件写出关系式即可；

（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.

【小问1详解】

设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，．

∴，即瓶子的制造成本．

∴每瓶酸梅汤的利润是，

∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，．

【小问2详解】

由（1）知，则，

令，则，

当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.

22. 从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆C与x轴正半轴的交点，直线AP的斜率为，若椭圆长轴长为8．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点Q为椭圆上任意一点，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）18

【解析】

【分析】（1）易得，，进而有，再结合已知即可求解；

（2）由（1）易得直线AP的方程为，，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，将代入椭圆方程，联立即可得与AP距离比较远的切线方程，从而即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，将代入椭圆方程，得，

又∵，∴，化简得，解得，

又，，所以，

∴，

∴椭圆的方程为；

【小问2详解】

解：由（1）知，直线AP的方程为，即，

设与直线AP平行的直线方程为，

由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，

将代入椭圆方程，化简可得，

由，即，解得，

所以与AP距离比较远的切线方程，

因为与之间的距离，又，

所以的面积的最大值为．