2022-2023学年安徽省宣城市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年安徽省宣城市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用并集的定义运算.

【详解】集合， ，则集合.

故选：D

2．已知扇形的半径为2，圆心角为，则扇形的弧长是（    ）

A．45 B． C． D．90

【答案】C

【分析】由弧长公式求解即可.

【详解】因为圆心角的弧度数为，所以扇形的弧长是.

故选：C

3．已知函数，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】取结合对数和指数的运算求解即可.

【详解】取得出.

故选：C

4．设，则函数的图象的大致形状是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为（a，0），（0，0），及对称性即可得到结论．

【详解】函数y＝|x|（x﹣a）＝，∵a＞0，

当x≥0，函数y＝x（x﹣a）的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为（0，0），（a，0）

当x＜0时，图象为y＝﹣x（x﹣a）的图象为开口先向下的抛物线的一部分.

故选B．

【点睛】本题考查分段函数，考查函数的化简，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

5．下列选项中，能使“”成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个能推出的选项，但不能推出，对选项逐一分析即可

【详解】不能推出，故选项A不是的必要条件，不满足题意；A不正确；

不能推出 ，故选项B不是的必要条件，不满足题意；B不正确；

不能推出，故选项C不是的必要条件，不满足题意；C不正确；

能推出，但不能推出，是的一个必要不充分条件，满足题意，D选项正确.

故选︰D.

6．方程的根所在的区间是（    ）（参考数据，）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由可得，利用零点存在定理可得出结论.

【详解】对于方程，有，可得，

令，其中，

因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，

因为，，，

由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.

故选：B.

7．已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函数，二是下支为减函数，三是下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得.

【详解】要使函数 在R上为减函数，

需满足 ，解得.

故选：D．

8．已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据辅助角公式得出，即可根据对称轴列式得出的值，即可得出，根据已知得出与关于对称中心对称，即可列式得出，即可得出答案.

【详解】，其中，

函数图象的一条对称轴为，

则，解得：，

则，，即，

故，

，且函数在区间上具有单调性，

与关于对称中心对称，

，解得，

则时，，

故选：B.

二、多选题

9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性检验各选项即可判断．

【详解】函数是偶函数，在上单调递增，A选项正确；

函数是奇函数，B选项错误；

函数非奇非偶，C选项错误；

函数是偶函数，在上单调递增，D选项正确；

故选：AD.

10．已知，则下列结论正确的是（     ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】对A，直接作差比较即可证明，对B，首先得，再根据不等式性质即可判断，对C，首先放缩得，构造函数即可判断C，对D，举反例即可.

【详解】对A，，，，

，即，即，故A正确，

对B，若，则，则，故B错误，

对C，若，若，则，

函数，根据增函数加增函数为增函数的结论得在上单调递增，

，则，故C正确，

对D，若，则，，则，故D错误，

故选：AC.

11．已知，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定各数的范围，再进行比较即可

【详解】，所以；

，，，；

，，，；

所以.

故选：ABC

12．已知符号函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于轴对称

B．对任意

C．对任意的

D．函数的值域为或

【答案】BCD

【分析】举反例判断A；由判断B；讨论、、三种情况，确定的解析式，从而判断C；由的范围得出其值域.

【详解】对于A，若的图象关于轴对称，则为偶函数，应该满足

，但，即，故A错误；

对于B，因为，所以对任意，故B正确；

对于C，当时，；当时，；

当时，，即，故C正确；

对于D，当时，，；

当时，，；

当时，，，

即函数的值域为或，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．命题“”的否定是__________.

【答案】“”

【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.

【详解】命题“”的否定是“”。

故答案为：

14．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数__________.

【答案】或3

【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．

【详解】函数是幂函数，且在上单调递增，

则有，解得或.

故答案为：或3

15．已知角的终边经过点，且，则实数__________.

【答案】

【分析】由三角函数的定义得出.

【详解】由三角函数的定义可得，则，整理得，解得.

故答案为：

16．是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由奇偶性得出的解析式，当时，得出，当时，令，求出其最小值，得出实数的取值范围.

【详解】为定义在R上的奇函数，，

当时，对一切成立，得出.

当，

对一切成立，

即对一切成立，

令，由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在上单调递增，

即，故.

综上，

故答案为:.

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）若，求的值.

【答案】（1）9；（2）

【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果；

首先对化简求出，再将利用齐次式分子分母同时除以，将的值代入即可求得.

【详解】（1）原式；

（2）因为，所以

则.

18．已知集合.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)由对数的运算性质及对数函数的性质计算出集合，再将代入集合中，解出集合，再由并集的定义即可求得.

(2)由（1）求得集合，再对集合化简，由题意知，则对集合中的分类讨论即可求得满足条件的实数的取值范围.

【详解】（1）若，则，，

则

（2），

当时，，即，符合题意；

当时，即，若，则或，即

综上，实数的取值范围为或

19．已知函数.

(1)求函数在上的单调递增区间；

(2)若，求的值.

【答案】(1)和

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间；

（2）由已知可得出，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.

【详解】（1）解：由题意得，

因为，所以，

令，解得，

令，解得，

所以函数在上的单调递增区间为和.

（2）解：由（1）知.

.

20．宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区､绩溪县的龙川景区､旌德县的江村景区､宁国市的青龙湾景区､广德市的太极洞景区､郎溪县的观天下景区､泾县的查济景区等等.近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏.某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客万人，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元.

(1)求2023年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润收入成本）；

(2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元

【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可；

（2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可.

【详解】（1）该项目的门票收入为万元，财政补贴收入万元，共万元收入，

则利润

化简得；

（2）当时，此时单调递增，

，

当时，二次函数开口向下，对称轴为，

则，

当时，，当且仅当，即时等号成立，

，

综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元.

21．如图，矩形中，，点分别在线段（含端点）上，为的中点，，设.

(1)求角的取值范围；

(2)求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.

【答案】(1)

(2)；当时，的周长取得最小值为

【分析】（1）由图形可知当点位于点时，角取最大值，当点位于点时，角取最小值，求解即可.

（2）结合图形中的直角三角形，利用三角函数和勾股定理，把的三条边用角表示，可求出，再利用换元法，通过函数单调性求最小值.

【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时，

因为，所以，

当点位于点时，由对称性知取最大值，角取最小值，

所以角的取值范围是.

（2）在直角中，，

在直角中，且，所以，

在直角中，由勾股定理得，，

因为，所以，所以，

所以，

令，因为，所以，

又由，

可得，且在上单调递减，

当时，，此时，即，

综上，当时，的周长取得最小值，最小值为.

【点睛】易错点睛：平面几何与三角函数结合的题目，在三角函数这一部分，要注意角的取值范围，要与几何图形表示的结果相一致，特别是求范围和最值的内容.

22．已知函数对一切实数都有成立，且.

(1)求的值和的解析式；

(2)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）取求出，令得出；

（2）令，由的图象以及题设条件确定当或或时，原方程有三个不同的实数解，再由二次函数根的分布求出实数的取值范围.

【详解】（1）令，则，得，

再令，则，得；

（2）令，则的图象如下，

则由，得，

记方程的根为，当或或时，

原方程有三个不同的实数解，

令，

则或或，

解得或或，

所以实数的取值范围为或.