北京西城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-06解答题中档题

这是一份北京西城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-06解答题中档题，共39页。试卷主要包含了统计图如下，已知关于x的一元二次方程，已知，求代数式的值，已知等内容，欢迎下载使用。

北京西城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-06解答题中档题
1．（2022·北京西城·统考二模）甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下：

根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；
(2)入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社______（填“符合”或“不符合”）入选参加展演的条件；
(3)主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有______人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是______．
2．（2022·北京西城·统考二模）如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．

(1)求证：；
(2)若，，，求FA的长．
3．（2022·北京西城·统考二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
4．（2022·北京西城·统考二模）已知，求代数式的值．
5．（2022·北京西城·统考二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．

(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若，，求BF的长．
6．（2022·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，且与反比例函数的图象在第四象限的交点为．
(1)求b，m的值；
(2)点是一次函数图象上的一个动点，且满足，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围．
7．（2022·北京西城·统考一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．
8．（2022·北京西城·统考一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0

小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
9．（2022·北京西城·统考一模）已知：如图，线段AB．

求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
10．（2021·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，直线，函数的图象为F．
（1）若在函数的图象F上，求直线l对应的函数解析式：
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线，图象F和直线围成的区域（不含边界）为图形G．
①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；
②若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．
11．（2021·北京西城·统考二模）如图，在中，，为的角平分线，，连接．

（1）求证：四边形为矩形：
（2）连接，若，求的长．
12．（2021·北京西城·统考二模）如图，在中，，点P为外一点，点P与点C位于直线异侧，且，过点C作，垂足为D．

（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系；
（2）如图2，当时，
①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
②在线段上取一点K，使得，画出图形并直接写出此时的值．
13．（2021·北京西城·统考二模）已知，求代数式的值．
14．（2021·北京西城·统考二模）已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
15．（2021·北京西城·统考二模）如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．

步骤
作法
推断
第一步
在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接
① ，理由是 ②
第二步
过点C作的垂线，交于点D，交于点E
， ③
第三步
作射线
射线平分
射线为所求作．


16．（2021·北京西城·统考二模）某大学共有9000名学生，为了解该大学学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了150名学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息：
a．所调查的150名学生最常用的一种阅读方式统计图如图1，
b．选择手机阅读为最常用的一种阅读方式的学生中，平均每天阅读时长统计表如表1；
图1：最常用阅读方式统计图

表1：使用手机阅读的学生平均每天阅读时长统计表
平均每天阅读时长x（单位：分钟）
人数

6

n

17

9

c．使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长在这一组的具体数据如下：60 60 66 68 68 69 70 70 2 72 72 73 75 80 83 84 85
根据以上信息解答下列问题：
（1）图1中___，表1中____；
（2）使用手机阅读的学生中，平均天阅读时长的中位数是_____，平均每天阅读时长在这一组的数据的众数是____；
（3）根据所调查的这150名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于半小时的人数．
17．（2021·北京西城·统考一模）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，．CD的中点为F，的中点为G，连接，．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，若，，求的长．
18．（2021·北京西城·统考一模）如图，在中，．D是内一点，．过点B作交的延长线于点E．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．
19．（2021·北京西城·统考一模）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标，某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息：
a．标准M下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2（单位：）；
b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）；
c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：），数据分为六组（图2）．

不同标准下实测续航里程统计表（单位：）

标准M下实测续航里程
标准N下实测续航里程
平均数
400.5
316.6
中位数
a
b

根据信息回答以下问题：
（1）补全图2；
（2）不同标准下实测续航里程统计表中，______，在六组数据中，b所在的组是______（只填写中的相应代号即可）；判断a与b的大小关系为a______b（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例．晓春打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图1中圈出实测续航里程不低于的车型中，符合他要求的车型所对应的点．
20．（2020·北京西城·二模）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB =6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整:
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
2.49
2.64
2.88
3.25
3.80
4.65
6.00
y2/cm
4.59
4.24
3.80
3.25
2.51

0.00

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，)，并画出函数y1，的图象；

（3）结合函数图象，回答下列问题：
①当AP=2BD时，AP的长度约为 cm；
②当BP平分∠ABC时，BD的长度约为 cm．
21．（2020·北京西城·二模）解方程：．
22．（2020·北京西城·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接DE，若AC =，BC =2，求证：△ADE是等边三角形．
23．（2020·北京西城·二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：△ABC．

求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．
作法：如图，
作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明．
证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴ = (              ) (填推理的依据) ．
24．（2020·北京西城·二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且，连接OC，BD，OD．

（1）求证：OC垂直平分BD；
（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．
①依题意补全图形；
②若AD=6，，求CD的长．
25．（2020·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象G与直线交于点A（4，1），点B（1，n）（n≥4，n为整数）在直线l上．
（1）求的值；    
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象与直线l围成的区域（不含边界）为W．
①当n=5时，求的值，并写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围．
26．（2020·北京西城·二模）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．
27．（2020·北京西城·统考一模）运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度，为了解A，B两种语音识别输入软件的可读性，小秦同学随机选择了20段话，其中每段话都含有100个字(不计标点符号)，在保持相同条件下，标准普通话来测试两种语音识别输入软件的准确性，整个测试分析过程如下，请补充完整．
(1)收集数据：两种软件每次识别正确的字数记录如下：

(2)整理，描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了分布直方图

(3)分析数据：两组样本数据的平均数，众数，中位数，方差如下表所示

平均数
众数
中位数
方差
A
84.7

84.5
88.91
B
83.7
96

184.01

(4)得出结论：根据以上信息．判断____种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下．_______________(至少从两个不同的角度说明判断的合理性) ．
28．（2020·北京西城·统考一模）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：ABCD是矩形；
（2）若AD=，cos∠ABE=，求AC的长．

29．（2020·北京西城·统考一模）如图，在△ABC中，AB=4cm．BC=5cm，P是上的动点．设A，P两点间的距离为xcm，
B，P两点间的距离为cm，C，P两点间的距离为cm．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了，的几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
/cm
4.00
3.69

2.13
0
/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，)，(x，)，并画出函数，的图象:

(3)结合函数图象．
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．
②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为_____cm．

参考答案：
1．(1)75
(2)符合
(3)4；

【分析】（1）利用加权平均数的运算公式直接计算就可得到结果；
（2）准确识图，统计相应数据计算百分比和相应加权平均数即可；
（3）准确识图，用列举法求解概率．
(1)
解：该生的综合成绩为：，
答：这名学生的综合成绩为75分；
(2)
解：由图可知：乙剧社两项成绩都低于60分的有1人，所占比例约为6.7%，低于10%，满足第一个条件；
乙剧社声乐成绩统计表如下：
范围
频数

1

3

5

5

1

乙剧社声乐的平均成绩为：
，
大于75分，满足第二个条件．所以乙剧社符合入选参加展演的条件
故答案为：符合；
(3)
解：甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有4人．
80分以上的4人中，甲剧社2人，乙剧社2人，抽取情况如下表：

甲1
甲2
乙1
乙2
甲1

甲1，甲2
甲1，乙1
甲1，乙2
甲2
甲2，甲1

甲2，乙1
甲2，乙2
乙1
乙1，甲1
乙1，甲2

乙1，乙2
乙2
乙2，甲1
乙2，甲2
乙2，乙1


抽出的结果共有12种可能，而来自不同剧社的结果又8种可能，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率为：(分别来自不同剧社) ．
故答案为：4；．
【点睛】本题考查了加权平均数、列举法求概率、数形结合的思想等知识．准确的识图和精确地计算是解决本体的关键．
2．(1)见解析
(2)3

【分析】（1）连接OD，证明△CDO≌△CBO（SSS），得∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，又因为OD=OA，得∠OAD=∠ODA，所以∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，即可证得∠COB=∠OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；
（2）由FA=FE，得∠FAE=∠FEA，又由（1）知：∠COB=∠OAD，所以∠COE=∠CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OB⊥CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CF=，最后证△EOC∽△EAF，得，即，可求得FE=3，即可由FA=FE得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，

∵CB，CD分别与相切于点B，D，
∴CD=CB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△CDO≌△CBO（SSS），
∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，
∴FAOC；
（2）解：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
由（1）知：∠COB=∠OAD，
∴∠COE=∠CEO，
∴CO=CE，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴OB=BE=2，
∴OA=OB=2，
∴AE=6，OE=4，
∵CB、CD是⊙O的切线，
∴CB=CD=4，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CE=，
∵FAOC，
∴△EOC∽△EAF，
∴，即，
∴FE=3，
∴FA=FE=3．
【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
3．(1)见解析；
(2)当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．

【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；
（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．
【详解】（1）解：∵二次函数为 ，
∴，，．
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵当m=1时，原方程为：，
∴原式可化为，则，
∴或，
∴当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．
4．，
【分析】先根据分式混合运算法则化简分式，再由x2+x-5=0，变形为3x2+3x=15，最后整体代入化简式计算即可．
【详解】解：
=
=，
∵x2+x-5=0，
∴x2+x=5，
∴3x2+3x=15，
当3x2+3x=15时，原式=，
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)BF的长为．

【分析】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是矩形；
（2）在Rt△BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt△BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中，，BC=5，
∴，
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt△BDF中，，BD=8，
∴，
∴BF=×8=．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
6．(1)b=4，m=-5
(2)2≤OP<

【分析】（1）把(4,0)代入y=-x+b，即可求出b值，从而得出一次函数解析式，再把(n,-1)代入一次函数解析式求出n值，然后把(n,-1)代入反比例函数银析式求出值即可；
（2）先画出示意图，如图，由，得出0 （1）
解：把(4,0)代入y=-x+b，得0=-4+b，
解得：b=4，
∴一次函数解析式为y=-x+4，
把(n,-1)代入y=-x+4，得-1=-n+4，
解得：n=5，
把(5,-1)代入得，,
解得：m=-5；  
（2）
解：如图，
∵，
∴0 ∴点P在线段BD上运动，
连接OD，过点O作OC⊥BD于C，
∵A（4，0），B（0，4），D（5，-1），
∴OA=OB=4，OD=，AB=，
∵S△OAB=，
∴4×4=OC，
∴OC=2，

∴OC≤OP ∴2≤OP<，
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段最短，图象法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论；
（2）先求出 ，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解．
【详解】（1） BA=BC，BD平分∠ABC

DE=DF
四边形AECF是菱形；
（2），BA⊥AF

，BA=BC

AD=4
在 中，



四边形AECF是菱形

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．(1)见解析；
(2)出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
(3)出水口至少需要降低0.52m．

【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象；
（2）设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可；
（3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可．
【详解】（1）如图所示：

（2）由图象可得：当x=0时，y=2.44，
∴c=2.44，设y=ax²+bx+2.44，
将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得：，解得：，
∴y=-0.75x²+1.8x+2.44，
∴抛物线的对称轴为：，
∴y=-0.75×1.2²+1.8×1.2+2.44=3.52，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax²+bx+c中，a，b不变，只有c改变，
∴y=-0.75×3.2²+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，
∴出水口至少需要降低0.52m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法．
9．(1)见解析；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．
【详解】（1）、
补全图形如下图所示：

（2）证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴，即．
∴AC∶AB=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（1）；（2）①，②或
【分析】（1）把代入求出的值即可得到结论；
（2）①画出图形，根据图形可得结论；②分两种情况，求出直线解析式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵在函数的图象F上，
∴．
解得．
∴直线l对应的函数解析式为，
（2）①如图，

图形G内的整点的坐标为；
②把变形为
∴直线恒过点（1，2）
第一种情形：如图，

直线经过（-1，1）时，；
直线经过（-2，1）时，；
∴当时，图形G内有三个整点；
第二种情形：如图，

当k=2时，直线经过（1，1）；
直线经过（0，1）时，；
∴
所以，当图形G内有三个整点，k的取值范围为或
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
11．（1）见解析；（2）13
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的判定方法先判定其为平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形判定即可；
（2）根据（1）中证明出的四边形为矩形，利用勾股定理求出的长度,进而利用矩形对角线相等的性质，可以得出．
【详解】（1）证明：如图．

∵，
∴四边形为平行四边形．   
∵在中，，为的角平分线，
∴，
∴．         
∴四边形为矩形．       
（2）解：∵，为的角平分线，，
∴．
在中，，，，
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形、矩形的判定以及直角三角形的性质、勾股定理等内容，关键是对这些判定以及性质的运用．
12．（1）见解析，；（2）①，见解析，②见解析，
【分析】（1）根据题意画出图形，再利用等腰直角三角形的性质可得答案；
（2）①如图，作于点E，作交的延长线于点F， 证明四边形为正方形，可得，从而可得答案；②画图如下：延长交于点记交于点 证明 可得 再利用锐角三角函数可得答案．
【详解】（1）解：补全图形如图所示．

由题意得：，



重合，

．
（2）①．
证明：如图，作于点E，作交的延长线于点F，则．

∵于点D，
∴，
∴四边形为矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
可得，
∴
∴．
②画图如下：延长交于点记交于点








【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
13．，1
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：



．
∵，
∴．
∴原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（1）且；（2）
【分析】(1)因为一元二次方程有两个实数根,所以必须满足下列条件:二次项系数不为零且判别式，列出不等式求解即可确定k的取值范围．
(2）在k的取值范围内确定最大整数，代入原方程，再运解方程即可．
【详解】解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，
∴且．
．
∴且．
∴且．           
（2）当k取最大整数时，，
此时，方程为，
解得．
∴当时，方程的根为．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解一元二次方程、熟练并正确解方程是重点，熟知一元二次方程根的情况是关键
15．见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论
【详解】解：补全的图形如图1所示．
             
①∵OQ是直径
∴∠OPQ=90°
故答案为：90；                
②故答案为：直径所对的圆周角是直角；         
③∵CE⊥PQ
∴由垂径定理得：．  
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键
16．（1）34%，19；（2）60，72；（3）360人
【分析】（1）用1减去其他百分比即可计算，先算出用手机阅读的人数，再减去6、17、9即可
（2）按照定义之间写出中位数、众数即可
（3）用总人数乘以手机阅读所占百分比即可得出结果
【详解】解：（1）1-3%-7%-17%-39%=34%
150×34%-6-17-9=19
故答案为：34%，19；           
（2）51个数据从小到大排列位于中间的是第26个数据为60
出现次数最多的为72
故答案为：60，72；        
（3）估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于半小时的人数为．
【点睛】本题考查扇形统计图、频率分布表、用样本估计全体、熟练掌握整体和各部分百分比的关系是解题的关键
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意可知．    由三角形中位线性质可知，即证明．再由即可证明，即四边形为平行四边形．最后由点F为DC中点，点G为DE中点，，即可推出，即证明四边形为菱形．
（2）连接AG，设与的交点为O．由菱形的性质可知，再根据题意即可求出．设，则．即，解出，即可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，点E在的延长线上，
∴．
∵的中点为F，的中点为G，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵．
∴．
∴四边形为菱形．
（2）如图，连接AG，设与的交点为O．

∵四边形为菱形，
∴．
∵四边形为平行四边形，，
∴，
在中，．
设，则，
∴．
解得．
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）AE；见解析
【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；
（2）如图，根据平行，得到∠1=∠ADC=∠BAC，再根据三角形外角定理得到，，从而；
（3）通过在上截取，构造，再结合平行进一步得到，从而证明，．
【详解】解：补全图形如图6所示．

（2）证明：如图7，延长至点F．

∵，点F在的延长线上，
∴．
∵，∴．
∵是的外角，
∴，∴．
又∵，
∴．
（3）
证明：如图8，延长至点F，在上截取，连接

由（2）得，又∵
∴，∴．
∵，∴．
∵，
∴．∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键．
19．（1）补图见解析；（2）403.7；C；＞；（3）作图见解析．
【分析】(1)根据图1和图2，A~F六组数据中的范围，即可得出结论；
(2) 根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据即为中位数，即可得出结论；
(3)根据续航里程达成比不低于75%，即可得出结论．
【详解】（1）根据图1和图2 ，A~F六组数据中的范围，
由数据可得，在C组范围内的有4个数据，在D组范围内的有1个数据
∴补图如图所示:

（2）根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据即为中位数，
∴，b在300~350之间即C组；；
（3）∵续航里程达成比为y∶x，
∴画出y=0.75x的直线，再直线上方的点符合要求，如图所示

【点睛】本题主要考查读频率直方图的能力和统计图获取信息的能力，正确读懂题意是解题的关键．
20．（1）1.5；（2）详见解析；（3）答案不唯一，如：①3.86；②3
【分析】（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x=5时，y的值即可；
（2）描点连线即可绘出函数图象；
（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求；
②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，即可求解．
【详解】解：（1）根据测量结果得到：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
2.49
2.64
2.88
3.25
3.80
4.65
6.00
y2/cm
4.59
4.24
3.80
3.25
2.51
1.5
0.00


（2）画出函数的图象；

（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，
在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求，即图中空心点所示，

空心点的纵坐标为3.86，
②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，
即点D在AB中点时，y1=y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ABC为等腰三角形，
故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，

故答案可以为：①3.86；②3．
【点睛】本题考查动点问题函数图象、内心的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
21．
【分析】先方程两边乘以去分母，再去括号移项，系数化为一即可求得答案；
【详解】解：方程两边乘以，
得，
去括号移项得：，
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为；
【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，掌握求解分式方程的步骤是解题的关键．
22．（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）先根据题意证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD= BD=CD，即可可求证结论；
（2）在Rt△ABC中，由三角函数值可知∠CAB=30°，继而根据菱形的性质可知AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60°，进而即可求证结论．
【详解】证明：（1）∵ AE∥DC，CE∥DA，

∴ 四边形ADCE是平行四边形．
∵ 在Rt△ABC中， D为AB的中点，
∴ AD= BD=CD=．
∴ 四边形ADCE是菱形．
（2）在Rt△ABC中，AC =，BC =2，
∴ ．
∴ ∠CAB=30°．
∵  四边形ADCE是菱形．
∴ AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60°．
∴ △ADE是等边三角形．
【点睛】本题主要考查菱形的判定和等边三角形的判定，涉及到直角三角形斜边中线定理，特殊三角函数值，解题的根据是熟练掌握菱形的判定和等边三角形的判定的方法．
23．（1）详见解析；（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等．
【分析】(1)根据尺规作图——角平分线的做法画图即可得到答案；
(2)根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到答案；
【详解】解：（1）作∠BAC的角平分线，如图：

（2）作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
故答案为：DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——角平分线以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）①详见解析；②
【分析】（1）根据等弧所对的圆心角相等可得∠COD =∠COB，由等角对等边的性质可得OD = OB，继而由线段垂直平分线的判定可求证结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②先根据切线的性质和题（1）可知DB∥CE，进而可得∠AEC=∠ABD，继而在Rt△ABD中，推出BD=8，AB=10，然后推导出DF=4，CF=2，继而在Rt△CFD中，由勾股定理即可求出CD的长．
【详解】（1）证明：∵
∴∠COD =∠COB．
∵OD = OB，
∴OC垂直平分BD．
（2）解：①补全图形，如图所示．

②∵CE是⊙O切线，切点为C，
∴OC⊥CE于点C．
记OC与BD交于点F，由（1）可知OC垂直BD，
∴∠OCE=∠OFB=90°．
∴DB∥CE．
∴∠AEC=∠ABD．
在Rt△ABD中，AD=6，，
∴BD=8，AB=10．
∴OA= OB=OC=5．
由（1）可知OC平分BD，即DF= BF，
∴BF=DF=4．
∴．
∴CF=2．
在Rt△CFD中，．
【点睛】本题主要考查与圆有关的计算，圆周角定理、线段垂直平分线的判定、勾股定理、锐角三角函数值等知识点，解题的关键是综合运用所学知识．
25．（1）m=4；（2）①区域内有2个整点；②
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求解即可；
（2）①先求出当n=5时的值，然后结合函数图象解答即可；
②如图2，分别求出当n=6、n=7时k的值，再结合函数图象求出区域内的整点个数，进而可判断当n≥8时区域内的整点个数，从而可得结果．
【详解】解：（1）∵点A（4，1）在函数（）的图象G上，
∴ m= 4；
（2）①当n=5时，直线经过点B（1，5），
∴ ，解得．
此时区域内有2个整点（2，3）、（3，2），如图1；

②如图2，∵直线过定点A（4，1），n为整数，
∴当n=6时，直线经过点B（1，6），解得，此时区域内有4个整点；
当n=7时，直线经过点B（1，7），解得，区域内有5个整点；

∴ 的取值范围是．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图象及其图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式和区域内的整点个数问题，属于常考题型，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想方法是解答的关键．
26．（1）方程总有两个实数根；（2）
【分析】(1)根据判别式与二元一次方程根的关系，判断判别式的大小即可得到答案；
(2)根据求根公式得到两根的表达式，再根据有一个根大于2求解即可得到答案；
【详解】解：（1）依题意，得△==，
∵≥，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式，得，
∴ ，．
∵ 该方程有一个根大于2，
∴ ，
∴．
∴ k的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的个数与判别式的关系、公式法求解二元一次方程，掌握判别式≥0，方程有两个实数根是解题的关键．
27．（2）见解析；（3）92，88.5；（4）见解析．
【分析】（2）先统计数据，再补全频数分布直方图即可；
（3）根据众数和中位数的定义计算即可；
（4）从平均数、方差两个角度分析即可．
【详解】解：（2）统计B组数据得到：60-70的频数为2,70-80的频数为4,则补全频数分布直方图如图所示：

（3）在A组数据中92出现的次数最多,故A组的众数为92；B组的中位数为第10个和第11个数分别为88和89，则中位数为（88+89）÷2=88.5．故答案如图：

（4）A种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：
∵A种语音的平均数=84.7，B种语音的平均数=83.7，
∴84.7> 83.7，故A种语音识别输入软件的准确性较好，
∵A种语音的方差=88.91，B种语音的方差=184.01，
∴88.91< 184.01，故A种语音识别输入软件的准确性较好．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、方差等知识，明确题意、灵活应用所学知识是解答本题的关键．
28．（1）见解析；（2）5．
【分析】（1）先说明.OA=OC，OB=OD，再证得AC=BD，即可证明ABCD是矩形；
（2）先说明∠BAD=∠ADC=90°，再求得∠CAD=∠ABE，最后解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴OABCD是矩形；
（2）解∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∴∠CAD=∠ABE，
在Rt△ACD中，AD=，cos∠CAD==cos∠ABE=
∴AC=5．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识点，掌握矩形的判定和性质定理是解题答本题的关键．
29．（1）3.09（答案不唯一）；（2）见解析；（3）①0.83或2.49（答案不唯一）．②5.32（答案不唯一）．
【分析】（1）利用图象法解决问题即可；
（2）描点绘图即可；
（3）①分PB=PB、PC=BC、PB=BC三种情况，分别求解即可；
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解．
【详解】解：（1）由画图可得，x=4时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．
故答案为：3.09（答案不唯一）．
（2）描点绘图如下：

（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC=PB，
当x≈2.49cm时，y2=5cm，即PC=BC，
观察图象可知，PB不可能等于BC，
故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC=y2≈5.32cm，
故答案为5.32（答案不唯一）．
【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．