北京西城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-05解答题基础题
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1．（2022·北京西城·统考二模）已知：如图，△ABC．
求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC．
所以点D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴______=______．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（______）（填推理的依据）
2．（2022·北京西城·统考二模）解不等式：，并写出它的正整数解．
3．（2022·北京西城·统考二模）计算：．
4．（2021·北京西城·统考二模）解不等式：．
5．（2021·北京西城·统考二模）计算：．
6．（2021·北京西城·统考一模）已知，求代数式的值．
7．（2021·北京西城·统考一模）解不等式组并求它的整数解．
8．（2021·北京西城·统考一模）计算：．
9．（2021·北京西城·统考一模）奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点．小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）．小华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点．求小萱的速度．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)OB，OC，圆内接四边形对角互补
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得OB=OC，OA=OC，DA=DC，则可判断点A、B、C都在⊙O上，然后根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC=180°．
(1)
解：如图，点D就是所求作的点．
(2)
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB=OC．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（圆内接四边形对角互补）
故答案为：OB，OC，圆内接四边形对角互补．
【点睛】本题考查了基本作图－作已知线段的垂直平分线，内接四边形的性质，正确掌握三角形外接圆作法是解题关键．
2．x=1，2，3，
【分析】先解不等式，求出不等式解集，再根据解集，写出正整数解即可．
【详解】解：，
5x-2<3x+6，
5x-3x<6+2，
2x<8，
x<4，
∵x为正整数，
∴x=1，2，3，
【点睛】本题考查求不等式正整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键．
3．9
【分析】先去绝对符号，把特殊角三角函数值代入，化简二次根式并计算乘方，再进行乘法运算，最后计算加减即可．
【详解】解：原式=+2×-2+9
=+-2+9
=9．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整指数幂的运算是解题的关键．
4．
【分析】按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：去分母，得
去括号，得．
移项，得．
合并，得．
系数化为1，得．
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题考查了一元一不等式的解法，属于基础题，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
5．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、根式的化简、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
6．；3
【分析】利用平方差公式和单项式乘以多项式法则展开，合并同类项，整体代入，计算即可．
【详解】解：，
，
，
∵，
∴．
∴原式．
【点睛】本题考查整式乘法化简求值，掌握平方差公式，单项式乘以多项式法则，同类项以及合并同类项法则，代数式化简求值的方法与步骤是解题关键．
7．；整数解为，0，1，2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的整数部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为
∴该不等式组的整数解为，0，1，2.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．14
【分析】先求锐角三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值化简，再计算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题关键是熟练运用锐角三角函数、负整数指数幂、二次根式运算法则进行计算．
9．150米/分
【分析】我们可以根据他们的速度之间关系假设未知数，假设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为米/分，再根据两人所用的时间相同，列方程求解．
【详解】解：设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为米/分．
由题意得
整理，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小萱的速度为150米/分．
【点睛】本题主要考查了用分式方程解应用题的方法，能根据题意列方程是关键，最后别忘了检验．
