数学九年级上册24.1.1 圆教案

与圆的相关概念和垂径定理

课首沟通

1. 上次的作业有做完吗？在完成作业的过程中是否存在哪些不懂的内容。
2. 有没有完成错题，请拿出来检查。
3. 我们在小学学习过圆的知识，举例说出生活中的圆。你是怎样画圆的？

知识导图

课首小测

1. [单选题] （2015年金华校级期中） 下列语句中，正确的有（ ）

（1）  相等的圆心角所对的弧相等；

（2）  平分弦的直径垂直于弦；

（3）  长度相等的两条弧是等弧；

（4）  圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2. 
   [单选题] （2015年广州市越秀区期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（ ）

A．30° B．40° C．60° D．80°

3. （2015年北京校级期中） 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．若AB=2DE，∠E=18°，则

∠C的度数为      ．

4. 
   （2015年嵊州市校级期中）  如图：点A、B、C在⊙O上，∠AOC=120°，则∠ABC的度数是           ．

5. （2015年广州市越秀区期末） 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在☉O上．

（1）  若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；

（2） 

若OC=3，OA=5，求弦AB的长．

导学一 ： 圆的基本概念

知识点讲解 1：圆相关概念

观察下列画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？

1. 圆的定义1：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做          . 其固定的端点O叫做               ，线段OA叫做               .              决定圆的位置，               决定圆的大小.
2. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“             ”，读作“          ”.
3. 圆的定义2：圆心为O，半径未r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点所组成的图形.

（1）  圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）  到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

4. 同圆，等圆，同心圆：圆心相同且半径相等的圆叫做          ；能够重合的两个圆叫做         .圆心相同，半径不同的两个圆叫做               .

等圆 同心圆

5. 弦：连接圆上任意两点的       叫做弦，直径：经过圆心的      叫做直径；
6. 弧：       任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；以A、B为端点的弧记作 ，读作弧AB. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

优弧：在一个圆中，        半圆的弧叫做优弧.优弧的表示：用    个点表示； 劣弧：   半圆的弧叫做劣弧.劣弧的表示：用               个点表示；

等弧：在同圆或等圆中，能够       的弧叫做等弧.

例 1. [单选题] （2016年苏州市吴中区九年级期末） 下列说法错误的是（ ）

A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧

C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧

例 2. [单选题] （2016年扬州市江都区九年级期中） 等于的圆周的弧叫做（ ）

A.劣弧 B.半圆

C.优弧 D.圆

例 3. [单选题] （2015年盐城市响水实验中学九年级上期中） 如图， O中，点A，O,D以及点B,O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（              ）

A.2条 B.3条 C.4条 D.5条

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1.   [单选题] （2016年济南市长清区九年级上期末） 有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是（              ）

A.1 B.2 C.3 D.4

2.   [单选题] （2016年沧州市九年级上期末） 半径为5的圆的一条弦长不可能是（ ） A.3 B.5 C.10               D.12

3.   [单选题] （2016年贵港市平南县中考一模） 如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°， 则∠E等于（              ）

A．42° B．28°

C．21° D．20°

4. [单选题] （2016年武汉市二中广雅九年级上月考） 自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（ ）

A．圆是轴对称图形 B．直径是圆中最长的弦

C．圆上个点到圆心的距离相等 D． 圆是中心对称图形

导学二 ： 垂径定理

知识点讲解 1：垂直于弦的直径

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. 如图，⊙O是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴

圆还是中心对称图形，对称中心是圆心，圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，总能和自身重合.

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么相等的线段：     .

相等的弧：                     .

证明：如果⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，由圆的对称性知，点A和B是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A和点B重 合，AE和BE重合， ， 分别与 ， 重合，因此AE=BE，  = ， = .

1. 垂径定理：垂直于弦的直径         弦，并且       弦所对的两条弧. 符号表示：∵OD⊥AB，∴AE=BE，  = ， = .
2. 推论：平分弦（不是直径）的直径也        于弦，并且     弦所对的两条弧. 符号表示：∵AE=BE，∴CD⊥AB，  = ， = .
3. 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。（知二推三）

4. 解决有关弦的问题，经常要作的辅助线是①过圆心作弦的垂线，②连接圆心和弦的中点，③连结半径，目的是应用垂 径定理和勾股定理创造条件.

例 1. [单选题] （2015年广元市中考） 如图，已知⊙O的直径AB⊥CD，则下列结论一定错误的是（ ）

A.CE=DE B.AE=OE C.  =                          D.△OCE △ODE

例 2. [单选题] （2017年红桥区中考模拟） 如图，⊙O的直径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（              ）

A.4 B.6 C.8 D.10

例 3. （2016年河北区模拟） 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为               .

例  4. （2015年巴中模拟） 已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为    

   ．

【学有所获】解决有关弦的问题，通常用垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程解得。

例 5. （2016年宿迁市泗阳县九年级上期中） 有一张残缺的圆形轮片（如图所示），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=24cm，CD=8cm．

（1）  请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2） 
求（1）中所作圆的半径．

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1.   [单选题] （2015年广州市天河区期末） 如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径（）作圆，交x轴于点C和点D，则DC的长为（              ）

A．2 B．4 D．

2.   （2016年马鞍山市和县九年级上期末） 如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AR=2，EB=6，∠DEB=60°，求弦CD的长.

3.   [单选题] （2016年贵港市港南区中考二模） 如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O 于点E，若AC=12，则OF的长为（              ）

A．8 B．7 C．6 D．4

4.   （2016年南昌市中考模拟） 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为     cm．

5. （2016年海淀区九年级上期中）  已知圆O的半径为1，弦AB=，AC= ，求∠BAC的度数.

6.   （2016年扬州市邗江区九年级上期中） 如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：

（1）  桥拱的半径．

（2） 
现水面上涨后水面的跨度为60米，求水面上涨的高度为         米.

导学三 ： 弧、弦、圆心角

知识点讲解 1：弧、弦、圆心角之间的关系

1. 圆心角定义：                    叫做圆心角.（顶点在圆心的角）

2. 弧，弦，圆心角之间的关系：

如图所示，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ 的位置，你能发现那些等量关系？为什么？

相等的弦; 相等的弧： 结论：

定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等

推论：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，它们所对应的其余各组量都相等.

例 1. [单选题] （2016年广元市利州区九年级上期末） 下列语句中，正确的有（ ）

A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B.平分弦的直径垂直于弦

C.长度相等的两条弧是等弧 D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

例 2. [单选题] （2015年广州市荔湾区期末） 如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（              ）

A．100° B．110° C．120° D．135°

例 3. （2015年昆明市官渡区九年级上期末） 在⊙O中，，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．

例 4. （2015年武汉市东西湖区校级模拟） 如图，点A,B,C,D都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB CE，求证：AD=CE.

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1.   [单选题] （2016年宿迁市泗阳县九年级上期中） 若圆的一条弦把圆分成读书比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆心角的度数为（              ）

A.90° B.45° C.135° D.45°或135°

2. [单选题] （2016年兰州市中考） 如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）

A.40° B.45° C.50° D.60°

限时考场模拟

1. [单选题] （2016年兴化市校级月考） 有下列四个命题中，其中正确的有（ ）

①三角形的内心到三角形各边的距离都相等；

②经过三个点一定可以作圆；

③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；

④半径相等的两个半圆是等弧．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2.   [单选题] （2015年日照市莒县九年级上期中） 如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中， 错误的是（              ）

A．CE=DE B．                         C.∠BAC=∠BAD D．AC=ED

3. [单选题] （2015年贵港市平南县九年级上期末） 如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，则圆心O到AB的距离是

（ ）

A．1cm B．2cm

C．3cm D．4cm

4. （2016年无锡市九年级月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交

于点D，则AD的长为       .

5. [单选题] （2016年厦门市湖里区中考模拟） 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于

（ ）

A.40° B.50° C.65° D.70°

6. [单选题] （2016年许昌市蜀州市九年级上期末） 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，

CD=3cm，则圆O的半径为（ ）

A.   B.4 C.5 D.

7. （2017年盐城市盐都区西片中考一模） 7.如图，C是以AB为直径的⊙O上的一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦

BC的距离是        .

8. （2015年遵义市九年级上月考） 如图，在⊙O中， ，∠B=70°，则∠C=      度.

9. 如图，在⊙O中，∠C=∠B=60°，若OC=4，BC=6，试求AB的长和⊙O的半径.

课后作业

1. [单选题] （2016年抚州市九年级下月考） 下列判断中正确的是（ ）．

A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

2. [单选题] （2016年聊城市阳谷县九年级上期中） 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是

（ ）

A.CE=DE B.                         C.∠BAC=∠BAD D.OE=BE

3.   [单选题] （2017年佛山市顺德区中考一模） 如图，已知⊙O的半径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（              ）

A.                     B.                     C. D.

4. （2016年菏泽市郓城县九年级下月考） 如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC上的点，且

OE⊥AC交AC于于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长.

5.   （2017年娄底市中考模拟） 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为               米.

6.   （2016年十堰市丹江口市九年级上期中） 如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=               .

7.   （2015年苏州市九年级上月考） ⊙O的半径是5，AB，CD为⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=8，CD=6，求AB与CD之间的距离.

1. 总结一下垂径定理、圆心角和圆周角的各种类型的一般解题方法。
2. 完成老师规定的作业，制定相应的学习安排。
3. 做好下一阶段的学习笔记，做到下一讲“有备而来”。

课首小测

1.A

解析:解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误；

（2）  平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；

（3）  在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；

（4）  每一条直径所在的直线是圆的对称轴．对称轴是直线，而直径是线段，故本小题错误．故选A． 2.A

解析:解：∵AB=OA=OB，

∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，

∴ 故选A.

3.36°

解析:解：连接OD，∵AB=2DE，

∴OD=DE，∴∠E=∠EOD，

在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，

∵OC=OD，∴∠C=∠ODC=36°． 故答案为：36°．

4.36°

解析:解：如图，作弧ABC所对的圆周角∠D，

∵∠AOC=120°，

∴ ，

∴∠ABC=180°﹣∠D=120°．故答案为120°．

5.（1）27°；（2）AB =8.

解析:解：（1）∵OD⊥AB，

∴ = ， ∴

（2）∵OC=3，OA=5，

∴AC=4，∵OD⊥AB，

∴

∴ ∴AB=8．

导学一

知识点讲解 1：圆相关概念例题

1.B

解析:

2.B

解析:解：根据直径所对的两条弧是半圆，大于半圆的弧是优弧，则等于 圆周的弧叫做优弧. 3.B

解析:解：图中的弦有AB,BC,CE共三条.

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1.B

解析:

2.D

解析: 解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10，故选D. 3.B

解析:

4.C

解析: 解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，是利用了圆上各点到圆心的距离相等．故选C.

导学二

知识点讲解 1：垂直于弦的直径例题

1.B

解析:

2.C

解析:

3.r=5cm

解析:解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，

∵OD⊥AB，

∴ 设OA=r，则OD=r﹣2，

在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42， 解得r=5cm．

4.8或2

解析:解：分为两种情况：①如图1，当圆心在三角形的内部时，

连接AO并延长交BC于D点，连接OB，

∵AB=AC，∴ = ，

根据垂径定理得AD⊥BC，则BD=4，

在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，

∵OB=5，BD=4，∴OD=3，∴高AD=5+3=8；

②当圆心在三角形的外部时，如图2，

三角形底边BC上的高AD=5﹣3=2．

所以BC边上的高是8或2，故答案为：8或2．

5.（1）解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，

如图1所示．

（2）连接OA，如图2所示：

设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm， 则 根 据 勾 股 定 理 列 方 程 ： x2=122+（x﹣8）2，

解得：x=13．

答：圆的半径为13cm．

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1.D

解析:解：∵A（0，1），B（0，﹣1），

∴AC=AB=2，OA=1，∠AOC=90°，

由勾股定理得同理

2.见解析

解析:

3.C

解析:

解析: 解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，

∵OA=2OD=2cm，

∴

∵OD⊥AB，

∴AB=2AD= cm．

5.15°或75°

解析:

6.（1）r=50米；（2）10米. 解析:

导学三

知识点讲解 1：弧、弦、圆心角之间的关系例题

1.A

解析:

2.C

解析: 解：连接OC、OD，

∵BC=CD=DA，

∴∠COB=∠COD=∠DOA，

∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，

∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，

∴∠BCD= ×2（180°-60°）=120°

故选C．

3.

4.见解析解析:

我爱展示

1.A

解析:

2.A

解析:

限时考场模拟

1.C

解析:解：①三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等，错误；

②经过三个点一定可以作圆，错误；

③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；

④半径相等的两个半圆是等弧，正确；故选C． 2.D

解析:

3.C

解析:

解析:

5.C

解析:

6.D

解析:

7.4

解析:

8.70°

解析:

9.

课后作业

1.C

解析:

2.D

解析:

3.C

解析:解：连接OA，

∵桥拱半径OC为4m，

∴OA=4m，∵CD=6m，

∴OD=6-4=2m，

∴

∴ 故选C.

4.3cm. 解析:

5.8米

解析:

6.8

解析:

7.1或7

解析: