高中数学高考考点11 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

考点11  函数的奇偶性与周期性

【命题解读】

关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；

【基础知识回顾】 

1、 奇、偶函数的定义

对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．

2、 奇、偶函数的性质

(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．

(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．

(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．

(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．

(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．

3、 周期性

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

4、函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

5、函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

6、函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．

1、下列函数为奇函数的是

A．      B．       C．       D．

2、若函数为奇函数，则=

(A)         (B)           (C)              (D)1

3、设是定义在上的奇函数，当时，，

则=

A．－3         B．－1         C．1          D．3

4、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是

A．是偶函数             B．||是奇函数

C．||是奇函数            D．||是奇函数

5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有(　　)

A．f<f<f

B．f<f<f

C．f<f<f

D．f<f<f

6、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)是以2为周期的周期函数

B．函数f(x)是以4为周期的周期函数

C．函数f(x＋2)为偶函数

D．函数f(x－3)为偶函数

7、(2018江苏)函数满足，且在区间上，则的值为    ．

考向一　奇偶性的定义与判断

例1、判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝3x－3－x；

(4)f(x)＝；

(5)f(x)＝

　变式1、判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝(x＋1)；

(3)f(x)＝.

（4）f(x)＝

变式2、判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝(x＋1) ；

(3)f(x)＝.

方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．

2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．

3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

考向二  函数的周期性及应用

例2、．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.

变式1、已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（　　）

A．2019 B．2 C．0 D．﹣2

变式2、 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝___．

变式3、设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则      ．

变式4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．

方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．

(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等．

考向三  函数奇偶性与单调性、周期性的应用

例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．

变式1、（2020·河南高三月考（理））已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（  ）

A． B．

C． D．

变式2、（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是         ．

变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（    ）

A． B．函数在定义域上是周期为的函数

C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为

变式4、（多选题）（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（    ）

A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称

C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数

方法总结：　1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．

2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．

1、（2020全国Ⅱ文10）设函数，则 （   ）

A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减

2、（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （   ）

A．     B．       C．     D．

3、(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．

若，则

A．    B．0    C．2    D．50

3、(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=

A．−2        B．−1         C．0         D．2

4、（多选题）（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

5、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．

B． 在区间上是增函数

C．若方程恰有3个实根，则

D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是

6、（2017新课标Ⅱ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则=        ．

7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．