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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第25讲 仿射变换
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这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第25讲 仿射变换
第25讲 仿射变换一、问题综述设椭圆，作变换得单位圆，记点在变换下的对应点分别为，设直线和的斜率分别为（斜率存在且非零），和的面积分别为．则变换有以下性质：性质1：共线结合性，即；；．性质2：或．证明：．性质3：线段中点变成线段中点．性质4：直线与曲线的位置关系保持不变．性质5：直线上线段成比例，则变成直线上对应的线段仍成比例．性质6：或，证明：因为，即证之．性质7：设线段在伸缩变换下的像为，显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（性质2）寻找的关系：即设线段所在直线斜率为，则．二、典例分析类型1：取值范围型【例1】设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．解析：令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．由直线和圆相切的充要条件可知，即，故得，即，解得．【方法小结】转化到直线与圆相切，建立参数关系式，利用二次函数最值求解．类型2：三角形面积最值型【例2】若是椭圆上的三点，求面积的最大值．解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆．此时椭圆的内接就变成圆的内接，而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大，从而的最大值是，还原到椭圆中，由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知，的最大值是．【例3】已知椭圆，面积为的椭圆内接四边形有（ ）．A．个 B．个 C．个 D．个解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆，此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形，当椭圆的内接四边形的面积时，其对应的圆内接四边形的面积就是，由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为，而这样的内接正方形有无数个，还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，故选D．【例4】（2014年高考全国新课标1卷理第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．解析：（Ⅰ）椭圆的方程为．（Ⅱ）由伸缩变换，椭圆（如下图）变成了单位圆，变为，设直线的方程为．原点到直线的距离为，圆与直线相交，则需要满足，从而易得，则，则当且仅当，即时，，此时直线的斜率为，且．又直线过点，所以直线的方程为或．【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题，可以用性质2和6求解．类型3：四边形面积型【例5】（2013年高考全国新课标2卷理科第20题）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值．解析： 在伸缩变换下，椭圆（如下图）变成圆，（Ⅰ）由伸缩变换性质知，又在椭圆中为的中点，则在单位圆中为的中点，则，故，即，又因为直线过椭圆的右焦点，则，于是，则椭圆的方程为．（Ⅱ）由知，则在单位圆中，．设与间的夹角为，则，则，又直线变换为直线，其方程为，则到直线的距离，则又，当为圆的直径时取等号，由伸缩变换的性质知，．【方法小结】对于四边形面积问题，在单位圆中利用三角函数的有界性和性质6求解．类型4：距离型【例6】在椭圆上求一点，使它到直线的距离最短，并求此距离．解析：作仿射变换，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，从而所求问题变为：在圆上求一点到直线的距离的最短问题，由平面几何知识可知，过圆的圆心作直线的垂线段，交圆于点，点到垂足的距离最短，由直线的垂线和圆相交，解方程可求得点为，则相应椭圆所求的点为，所求最短距离为．【方法小结】距离最短，转化为单位圆中的垂线段最短，联立方程后得到点的坐标，用点到直线的距离求解即可．类型5：证明型【例7】如图，椭圆（其中）与过点的直线有只且只有个公共点，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别为椭圆的焦点，为线段的中点，求证：．解析：（Ⅰ）如下图利用伸缩变换，椭圆上的点变换为圆上的点，因为切线的方程为，所以切线的方程为，由点到切线距离，得，又，解得，从而椭圆方程为．（Ⅱ）由点可变换得，因为，所以．由性质2可知，在椭圆中易得，从而，即，又，从而，得．【方法小结】用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理，解答过程完全退去了代数运算的成分，而是通过图形的几何性质进行解答，化繁为简，事半功倍类型6：相切轨迹型【例8】（2014年广东省数学高考理科试题第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线互相垂直，求点的轨迹方程．解析：（Ⅰ）（Ⅱ）如图，设点在伸缩变换下的像分别为，可知，从而，直线与圆相切，设过点的圆的切线方程为，即，从而圆心到切线的距离为，即，根据韦达定理知，，化简得，故点的轨迹方程为．【方法小结】在单位圆中得到切线方程，用点到直线的距离建立二次方程，用韦达定理得到，即可求得轨迹方程为．类型7：定值型【例9】（2011年重庆卷理科第20题） 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．解析：（Ⅰ）所求椭圆的方程为（Ⅱ）在伸缩变换的作用下（如下图）椭圆变为圆：，变为，点变为点．在圆中，由，知，设，即，因为，所以，两式平方相加，得，即点的轨迹为圆，由伸缩变换知，在椭圆中，点的轨迹为椭圆，所以存在两个定点，使得．【方法小结】利用单位圆的参数方程得到点的轨迹为圆，通过伸缩变换得到点的轨迹为椭圆，所以存在两个定点，使得．三、巩固练习1.（2014年浙江省数学高考理科试题第21题）如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．（Ⅰ）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线距离的最大值为．MPAxyBC2、（2011年江苏卷理科第18题）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．（Ⅰ）当直线平分线段时，求的值；（Ⅱ）当时，求点到直线的距离；（Ⅲ）对任意，求证：．3.（2013年山东高考理文科第22题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长是2，离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)，是椭圆上满足三角形的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆于点.设，求实数的值.参考答案：1.第1小题的伸缩变换解法如下： 解析：（Ⅰ）如图，设切点，在伸缩变换的作用下，椭圆变换为圆，椭圆上的点变换为圆上的点，过点的切线变换为过点的切线，且，由点在圆上得 = 1 \* GB3 ① ， 由得，从而，即，代入 = 1 \* GB3 ①式可得点．2.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略．（Ⅲ）在伸缩变换的作用下，椭圆（如图）变成了单位圆，变为，在圆中，由，得，得，得，即，即，故．3. 解析：(Ⅰ)略(Ⅱ)将椭圆伸缩变换成，设分别对应于点，考虑到则由，有设，由于，故又，故，又为三角形内角，故或，则或，综上，或，即，或．
第25讲 仿射变换一、问题综述设椭圆，作变换得单位圆，记点在变换下的对应点分别为，设直线和的斜率分别为（斜率存在且非零），和的面积分别为．则变换有以下性质：性质1：共线结合性，即；；．性质2：或．证明：．性质3：线段中点变成线段中点．性质4：直线与曲线的位置关系保持不变．性质5：直线上线段成比例，则变成直线上对应的线段仍成比例．性质6：或，证明：因为，即证之．性质7：设线段在伸缩变换下的像为，显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（性质2）寻找的关系：即设线段所在直线斜率为，则．二、典例分析类型1：取值范围型【例1】设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．解析：令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．由直线和圆相切的充要条件可知，即，故得，即，解得．【方法小结】转化到直线与圆相切，建立参数关系式，利用二次函数最值求解．类型2：三角形面积最值型【例2】若是椭圆上的三点，求面积的最大值．解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆．此时椭圆的内接就变成圆的内接，而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大，从而的最大值是，还原到椭圆中，由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知，的最大值是．【例3】已知椭圆，面积为的椭圆内接四边形有（ ）．A．个 B．个 C．个 D．个解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆，此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形，当椭圆的内接四边形的面积时，其对应的圆内接四边形的面积就是，由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为，而这样的内接正方形有无数个，还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，故选D．【例4】（2014年高考全国新课标1卷理第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．解析：（Ⅰ）椭圆的方程为．（Ⅱ）由伸缩变换，椭圆（如下图）变成了单位圆，变为，设直线的方程为．原点到直线的距离为，圆与直线相交，则需要满足，从而易得，则，则当且仅当，即时，，此时直线的斜率为，且．又直线过点，所以直线的方程为或．【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题，可以用性质2和6求解．类型3：四边形面积型【例5】（2013年高考全国新课标2卷理科第20题）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值．解析： 在伸缩变换下，椭圆（如下图）变成圆，（Ⅰ）由伸缩变换性质知，又在椭圆中为的中点，则在单位圆中为的中点，则，故，即，又因为直线过椭圆的右焦点，则，于是，则椭圆的方程为．（Ⅱ）由知，则在单位圆中，．设与间的夹角为，则，则，又直线变换为直线，其方程为，则到直线的距离，则又，当为圆的直径时取等号，由伸缩变换的性质知，．【方法小结】对于四边形面积问题，在单位圆中利用三角函数的有界性和性质6求解．类型4：距离型【例6】在椭圆上求一点，使它到直线的距离最短，并求此距离．解析：作仿射变换，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，从而所求问题变为：在圆上求一点到直线的距离的最短问题，由平面几何知识可知，过圆的圆心作直线的垂线段，交圆于点，点到垂足的距离最短，由直线的垂线和圆相交，解方程可求得点为，则相应椭圆所求的点为，所求最短距离为．【方法小结】距离最短，转化为单位圆中的垂线段最短，联立方程后得到点的坐标，用点到直线的距离求解即可．类型5：证明型【例7】如图，椭圆（其中）与过点的直线有只且只有个公共点，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别为椭圆的焦点，为线段的中点，求证：．解析：（Ⅰ）如下图利用伸缩变换，椭圆上的点变换为圆上的点，因为切线的方程为，所以切线的方程为，由点到切线距离，得，又，解得，从而椭圆方程为．（Ⅱ）由点可变换得，因为，所以．由性质2可知，在椭圆中易得，从而，即，又，从而，得．【方法小结】用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理，解答过程完全退去了代数运算的成分，而是通过图形的几何性质进行解答，化繁为简，事半功倍类型6：相切轨迹型【例8】（2014年广东省数学高考理科试题第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线互相垂直，求点的轨迹方程．解析：（Ⅰ）（Ⅱ）如图，设点在伸缩变换下的像分别为，可知，从而，直线与圆相切，设过点的圆的切线方程为，即，从而圆心到切线的距离为，即，根据韦达定理知，，化简得，故点的轨迹方程为．【方法小结】在单位圆中得到切线方程，用点到直线的距离建立二次方程，用韦达定理得到，即可求得轨迹方程为．类型7：定值型【例9】（2011年重庆卷理科第20题） 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．解析：（Ⅰ）所求椭圆的方程为（Ⅱ）在伸缩变换的作用下（如下图）椭圆变为圆：，变为，点变为点．在圆中，由，知，设，即，因为，所以，两式平方相加，得，即点的轨迹为圆，由伸缩变换知，在椭圆中，点的轨迹为椭圆，所以存在两个定点，使得．【方法小结】利用单位圆的参数方程得到点的轨迹为圆，通过伸缩变换得到点的轨迹为椭圆，所以存在两个定点，使得．三、巩固练习1.（2014年浙江省数学高考理科试题第21题）如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．（Ⅰ）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线距离的最大值为．MPAxyBC2、（2011年江苏卷理科第18题）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．（Ⅰ）当直线平分线段时，求的值；（Ⅱ）当时，求点到直线的距离；（Ⅲ）对任意，求证：．3.（2013年山东高考理文科第22题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长是2，离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)，是椭圆上满足三角形的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆于点.设，求实数的值.参考答案：1.第1小题的伸缩变换解法如下： 解析：（Ⅰ）如图，设切点，在伸缩变换的作用下，椭圆变换为圆，椭圆上的点变换为圆上的点，过点的切线变换为过点的切线，且，由点在圆上得 = 1 \* GB3 ① ， 由得，从而，即，代入 = 1 \* GB3 ①式可得点．2.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略．（Ⅲ）在伸缩变换的作用下，椭圆（如图）变成了单位圆，变为，在圆中，由，得，得，得，即，即，故．3. 解析：(Ⅰ)略(Ⅱ)将椭圆伸缩变换成，设分别对应于点，考虑到则由，有设，由于，故又，故，又为三角形内角，故或，则或，综上，或，即，或．
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