新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第4讲圆锥曲线硬解定理(教师版)

第4讲  圆锥曲线硬解定理

一、题型综述

直曲联立求韦达，利用韦达求弦长，面积、、、等是圆锥曲线考察频率比较高，经常出现的知识点，若果能快速记住一些必要的结论，可以有效提升做题的速度及准确度，但圆锥曲线结论的记忆有一点难度，需要想一些办法进行理解，公式口诀话，以便记忆，笔者在这为大家提供一些网络上听到觉得比较好记的口诀。

二、硬解定理

第一部分：硬解定理在椭圆中的运用

设椭圆方程用①表示，与直线②相交于、两点，

联立①②式可得最终的二次方程：

消去得：   

消去得：   

可得：

（1）判别式

在椭圆中，所以判断判别式的正负可以利用来进行判断

若 有两实根，即直线与椭圆有两个交点

若 有两相同实根，即直线与椭圆相切

若 无实根，即直线与椭圆没有交点

记忆：成对去见单身

（2）韦达定理：把直线设为

口算韦达公式： 

记忆口诀：分母都为两两配对

分子为乘以消去系数（）剩余直线系数的倍

分子为乘以消去系数（）剩余直线系数的倍

分子为乘以减去消去系数的平方

分子为乘以减去消去系数的平方

例：

，得：

代入y，得：  

（1）       中点组：

（2）              弦长组：

口诀：2倍根号下，小方积，大方和，成对去见单C方，减完C方去下方。

（3）       向量组：

第一组：

公式简证：

第二组：向量的数量积

公式证明：

，设）

（4）       斜率组：斜率和

已知点，，，直线的方程为。

则直线、的斜率和

（记忆要点1：分母中，即在直线上。

记忆要点2：分子的记忆

公式证明：

代入韦达定理和公式②、④得

（设）

即

第二部分：圆锥曲线的硬解定理

二次曲线方程用①表示，与直线②相交于、两点，

联立①②式可得最终的二次方程：

消去得：   

消去得：   

可得：

（根据，写，的方法：、互换；、互换；不变。）

（1）       判别式

（2）       韦达定理

；

（3）       中点组：

（4）       弦长组：

（设，下同）

（5）       向量组：

第一组：

公式简证：

第二组：向量的数量积

公式证明：

（6）       斜率组：斜率和

已知点，，，直线的方程为。

则直线、的斜率和

（记忆要点1：分母中，即在直线上。

记忆要点2：分子的记忆

公式证明：

代入韦达定理和公式②、④得

（设）

即

第三部分 应用硬解定理解题

例1.已知直线与椭圆交于两点(不是左右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求△面积的最大值。

【解】设直线的方程为，则有

在本题中有：

代入有方程

代入有

代入韦达定理有

，，

因为以为直径的圆过点，所以，

即，即。

代入得

，

这里在直线上，

化简得，即。

所以（舍去）或

令，则

又当不存在时，。综上，三角形的面积最大值为。

跟踪练习：

练习：点在椭圆上，直线交椭圆于、两点，求三角形面积的最大值。

点到直线的距离为

当且仅当时面积取得最大值。

练习2.若直线交椭圆于、两点，为椭圆上一点，求面积的最大值。

点到直线的距离为

当且仅当时面积取得最大值。

例题3：动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。

当切线斜率存在时，设切线方程为即，

，

，

，此即为动点的轨迹方程，当切线斜率不存在时，动点亦满足此方程。

例题4.已知椭圆的左右焦点分别为、，且椭圆与直线相切，则椭圆的长轴为（ ）

因为直线与椭圆相切，所以：法：

，故选

法：，故选

练习5.椭圆两顶点，，过焦点的直线与椭圆交于两点，当时，的方程为                  。

，斜率不存在时与已知条件矛盾，当斜率存在时，

练习6.直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长是

                               不能确定

令，因为求最大值，故可只考虑的情况，

，当且仅当时等号成立。

练习7.过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求四边形的面积的最大值。

当与的斜率为或不存在时，

当与的斜率存在且不为时，

，所以最大值为。