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高中数学高考解密04 函数的应用（分层训练）（解析版）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练(1)
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这是一份高中数学高考解密04 函数的应用（分层训练）（解析版）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练(1)，共17页。试卷主要包含了存在2个零点，则a的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1．（2020·全国高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
2．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【详解】
由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名.
故选：B
3．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
4．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
5．（2018·全国高考真题（理））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
6．（2019·北京高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】130. 15.
【详解】
(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
7．（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】(1,4)
【解析】
由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
8．（2018·天津高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
1．（2020·开原市第二高级中学高三三模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
函数，若，，
可得，解得或，则实数的取值范围是，
故选：A．
2．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高三三模（理））已知函数，，则方程所有根的和等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
设点是函数图象上任意一点，它关于点的对称点为，
则，代入，
得.
函数的图象与函数的图象关于点对称，
即函数的图象关于点对称，易知函数在定义域上单调递增.
又函数的图象关于原点对称，函数的图象关于点对称，且函数在定义域上单调递增.
又是方程的一个根.
当时，令，则在上单调递减.
，
根据零点存在定理，可得在上有一个零点，根据的单调性知在上有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个根.
根据图象的对称性可知方程在上有且只有一个根，且.
故方程所有根的和等于.
故选：.
3．（2020·四川泸州市·高三一模（理））定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】
由题意知：的周期为2，关于对称，且，
∴为偶函数，即可得、的图象如下：
即与交于三点，
故选：A.
4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三一模（理））已知为定义在上的奇函数，且，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】
由题意可知，，所以奇函数周期，
函数的零点个数问题可转化方程的根的个数，再转化为函数的图象与的图象的交点的个数，画出两函数图图象得两函数的交点个数为4
故选：B
5．（2020·四川内江市·高三一模（理））已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，
所以，所以函数关于对称的函数为.
由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，
故函数与函数图象在区间有交点，
所以方程在区间上有解，
所以，即，所以.
故选：C.
6．（2020·安徽合肥市·高三三模（理））已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】C
【详解】
令,则,
令,若,解得或,符合;若,解得,符合.
作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.
结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.
所以函数的零点个数为4个.
故选:C.
7．（2020·陕西咸阳市·高三二模（理））已知函数，则函数的零点个数为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
当时，，
据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，
绘制函数图像如图所示，
注意到，
故方程的解：，
则原问题转化为求方程时解的个数之和，
由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.
本题选择B选项.
8．（2020·湖南衡阳市·高三一模（理））衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的.下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）（参考数据：，）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：对于函数：，当时，，不符合题意；
对于函数：，当时，，不符合题意；
对于函数：，不满足递增，不符合题意；
对于函数：，满足，增函数，
且，
结合图象，与的图象如图所示：
所以符合题意，
故选：D.
9．（2020·全国高三专题练习）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1550nm（1nm＝10﹣9m），测得某时刻频移为9.030×109（1/h），则该时刻高铁的速度约等于（ ）
A．320km/hB．330km/hC．340km/hD．350km/h
【答案】D
【详解】
故，
即
故米/小时，
故选：D
10．（2020·广东佛山市·高三一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于点，，，若为直角三角形，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】
如图，不妨取点为点，设，，，
不妨设，则，
即，整理得：，
∴，又∵，所以，
解得.设的面积为，
则，
设，，则，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，
∴，
∴.
故选：C
1．（2020·全国高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
2．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【详解】
由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名.
故选：B
3．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
4．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
5．（2018·全国高考真题（理））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
6．（2019·北京高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】130. 15.
【详解】
(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
7．（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】(1,4)
【解析】
由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
8．（2018·天津高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
1．（2020·开原市第二高级中学高三三模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
函数，若，，
可得，解得或，则实数的取值范围是，
故选：A．
2．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高三三模（理））已知函数，，则方程所有根的和等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
设点是函数图象上任意一点，它关于点的对称点为，
则，代入，
得.
函数的图象与函数的图象关于点对称，
即函数的图象关于点对称，易知函数在定义域上单调递增.
又函数的图象关于原点对称，函数的图象关于点对称，且函数在定义域上单调递增.
又是方程的一个根.
当时，令，则在上单调递减.
，
根据零点存在定理，可得在上有一个零点，根据的单调性知在上有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个根.
根据图象的对称性可知方程在上有且只有一个根，且.
故方程所有根的和等于.
故选：.
3．（2020·四川泸州市·高三一模（理））定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】
由题意知：的周期为2，关于对称，且，
∴为偶函数，即可得、的图象如下：
即与交于三点，
故选：A.
4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三一模（理））已知为定义在上的奇函数，且，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】
由题意可知，，所以奇函数周期，
函数的零点个数问题可转化方程的根的个数，再转化为函数的图象与的图象的交点的个数，画出两函数图图象得两函数的交点个数为4
故选：B
5．（2020·四川内江市·高三一模（理））已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，
所以，所以函数关于对称的函数为.
由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，
故函数与函数图象在区间有交点，
所以方程在区间上有解，
所以，即，所以.
故选：C.
6．（2020·安徽合肥市·高三三模（理））已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】C
【详解】
令,则,
令,若,解得或,符合;若,解得,符合.
作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.
结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.
所以函数的零点个数为4个.
故选:C.
7．（2020·陕西咸阳市·高三二模（理））已知函数，则函数的零点个数为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
当时，，
据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，
绘制函数图像如图所示，
注意到，
故方程的解：，
则原问题转化为求方程时解的个数之和，
由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.
本题选择B选项.
8．（2020·湖南衡阳市·高三一模（理））衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的.下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）（参考数据：，）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：对于函数：，当时，，不符合题意；
对于函数：，当时，，不符合题意；
对于函数：，不满足递增，不符合题意；
对于函数：，满足，增函数，
且，
结合图象，与的图象如图所示：
所以符合题意，
故选：D.
9．（2020·全国高三专题练习）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1550nm（1nm＝10﹣9m），测得某时刻频移为9.030×109（1/h），则该时刻高铁的速度约等于（ ）
A．320km/hB．330km/hC．340km/hD．350km/h
【答案】D
【详解】
故，
即
故米/小时，
故选：D
10．（2020·广东佛山市·高三一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于点，，，若为直角三角形，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】
如图，不妨取点为点，设，，，
不妨设，则，
即，整理得：，
∴，又∵，所以，
解得.设的面积为，
则，
设，，则，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，
∴，
∴.
故选：C
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