高中数学高考解密02 常用逻辑用语（讲义）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练(1)

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考点一 命题及其四种形式
题组一 四种命题的关系
调研1 已知命题“,若，则”，则它的否命题是
A.,若，则B.,若，则
C.,若，则D.,若，则
【答案】B
【解析】由题意，根据否命题的概念，可得命题“,若，则”，
则它的否命题是“,若，则”.故选B.
【名师点睛】本题主要考查了四种命题的概念及其应用，其中解答中熟记命题的否命题的概念，准确改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
题组二 命题的真假判断
调研2 下列命题中的真命题是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x＝3eq \s\up5(\f(1,2))，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④ B．①③④
C．②③④ D．①④
【答案】B
【解析】①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；
②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；
③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；
④“若x＝3eq \s\up5(\f(1,2))，则x是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．
故选B.
☆技巧点拨☆
四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
1．判断四种命题间关系的方法
①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.
2．命题真假的判断方法
①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．
②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
考点二 充分条件与必要条件
题组一 直接判断充分、必要条件
调研1 是圆锥曲线的焦距与实数无关的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】当，表示椭圆，
焦距为： 与实数无关，充分性，
当，表示双曲线，
焦距为：与实数无关，不必要，
是圆锥曲线的焦距与实数无关的充分非必要条件，
故选A.
调研2 设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，解得.
若“”是“”的充分不必要条件，则.
.
故选D.
调研3 已知，则“”是“直线和直线平行”的
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由题意可知，充分性：若，则直线可变形为，即，当时，两直线重合，所以充分性不成立；
必要性：若两直线平行，则，所以必要性成立.
故选C．
☆技巧点拨☆
充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：
1．命题判断法
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；
③当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；
④当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．集合判断法
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则
①若，则p是q的充分条件；
②若，则p是q的必要条件；
③若，则p是q的充分不必要条件；
④若，则p是q的必要不充分条件；
⑤若，则p是q的充要条件；
⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.
3．等价转化法
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；
③p是q的充要条件是的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
题组二 充分、必要条件的应用
调研4 满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】结合复合函数的单调性，函数在上单调递减的充要条件是，解得．
选项A中，是函数在上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A不正确；
选项B中，是函数在上单调递减的充要条件，所以B不正确；
选项C中，是函数在上单调递减的必要不充分条件，所以C不正确；
选项D中，是函数在上单调递减的充分不必要条件，所以D正确．
故选D．
☆技巧点拨☆
充分、必要条件的应用主要涉及根据充分、必要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
考点三 含有逻辑联结词的命题真假的判断
调研1 已知命题“”是“”的必要不充分条件；命题若，则，则下列命题为真命题的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由对数的性质可知：，则命题是真命题；
由三角函数的性质可知：若，则，且，所以命题是真命题.则所给的四个复合命题中，只有是真命题.
故选A.
☆技巧点拨☆
1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
(2)判断命题真假的步骤：
2．含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(p)∧(q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(p)∧(q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(p)∨(q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(p)∨(q)真．
(5)p真⇔p假；p假⇔p真.
考点四 全称量词与存在量词
题组一 全称命题、特称命题的否定
调研1 命题“，使得”的否定是
A．，都有
B．，都有
C．，都有
D．，都有
【答案】D
【解析】由于特称命题的否定为全称命题，
所以“，使得”的否定为“，都有”．
故选D．
☆技巧点拨☆
全(特)称命题的否定
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
题组二 全称命题、特称命题的真假判断
调研2 命题p：∃x∈N，x3A．p假q真B．p真q假
C．p假q假D．p真q真
【答案】A
【解析】∵x3☆技巧点拨☆
全(特)称命题的真假判断
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.
题组三 由命题真假求参数或参数取值范围
调研3 已知p：∃x0∈R，，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是
A．(−∞，−2) B．[−2，0)
C．(−2，0) D．[0，2]
【答案】C
【解析】∵p∧q为真命题，∴p、q全为真命题，
若p真，则m<0；
若q真，则m2−4<0，解得−2本题选择C选项.
☆技巧点拨☆
根据命题的真假求参数取值范围的求解策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．
(2)若给出命题为全称命题，则可转化为不等式的恒成立问题.
高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
命题及其
四种形式
从近三年高考情况来看，常用逻辑用语为高考的一个热点，高考对此部分内容的考查主要有三个方面：
一是考查四种命题的形式以及命题之间的逻辑关系和命题的真假判断；
二是充要条件的判定，常与函数、不等式、三角函数、向量、立体几何、解析几何等知识点进行综合命题，一般以选择题的形式呈现，解题时要充分利用四种命题之间的关系及充要条件进行合理转化；
三是对含有“或”、“且”、“非”的复合命题，全称命题、特称命题的真假判断以及对含有一个量词的命题进行否定的考查，常在一个具体的数学问题解决中体会“或”、“且”、“非”的意义，一般以选择题的方式考查，解题时要加强对概念的理解，提升逻辑推理能力.
2020课标全国II16
2018北京理13
★★
充分条件
与
必要条件
2019课标全国II7
2019天津卷理3
2019浙江卷5
2018浙江6
2018天津理4
★★
逻辑联结词
全称量词
与
存在量词