四川省绵阳市江油市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

这是一份四川省绵阳市江油市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省绵阳市江油市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列事件中，是必然事件的是（    ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定会下雨
2．教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志手，开展安全教育，下列安全图标是中心对称图形的是（　　）

A．注意安全 B．禁止追逐 C．急救中心 D．禁止攀爬
3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．x2+x3＝7 D．+x2＝1
4．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ）
A． B． C． D．4
5．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
6．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（   ）

A．2mm B． C． D．4mm
7．如图，在中，，，它的周长为22，若与三边分别切于E，F，D三点，则的长为（    ）

A．6 B．8 C．4 D．3
8．如图，在边长为的正方形中，把边绕点逆时针旋转，得到线段.连接并延长交于点，连接，则的面积为（    ）

A． B． C． D．
9．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
10．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（   ）

A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,)
11．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（    ）

A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
12．如图，等边三角形的边长为4，点O是，的平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接．有下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6，其中正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
13．已知函数是二次函数，则_____．
14．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．
15．如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳（不计厚度），已知其母线长为12 cm，底面半径为3 cm则这个冰激凌外壳的侧面积等于______ ．（结果保留）

16．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，则道路的宽为______米．

17．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是__．

18．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________．


三、解答题
19．（1）解方程：．
（2）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．

①把向上平移3个单位后得到对应的，画出；
②以原点O为对称中心，再画出与关于原点对称的；
③以A为旋转中心，将逆时针旋转90度，画出旋转后的并求出边扫过的图形的面积．
20．小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到组的概率是______；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
21．已知二次函数，求：
(1)抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
(2)抛物线的顶点坐标．
(3)当x取何值时，函数值大于0？
22．如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的长．
23．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

24．如图，在中，，，点P在上，从点B向点C运动（不包括点C），速度为；点Q在上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．

(1)当t为何值时，P，Q两点的距离为？
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？
25．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.

（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.

参考答案：
1．B
【分析】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义逐项进行判断即可．
【详解】A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项不符合题意，
B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项符合题意，
C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项不符合题意，
D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．C
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：
A．是轴对称图形而不是中心对称图形，故选项A不合题意；
B．不是中心对称图形，故选项B不合题意；
C．是中心对称图形，故选项C符合合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
3．B
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：2x+1＝0是一元一次方程；x2﹣1＝0是一元二次方程；x2+x3＝7是一元三次方程；+x2＝1是分式方程，，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
5．D
【分析】根据垂径定理，由弧等得圆心角相等，根据圆周角定理求即可．
【详解】解：连接，

∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧，弦的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．

【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
7．D
【分析】由切线长定理得．从而得到，再由的周长为22，可得到，从而得到．再由，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵与三边分别切于E，F，D三点，
∴，
∵，
∴．
∵的周长为22，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，等边三角形判定和性质，熟练掌握切线长定理，等边三角形判定和性质是解题的关键．
8．C
【详解】如图，作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG=GC，AB∥MG∥CD，
∴AM=MN，
∵MH⊥CD，∠D=90°，
∴MH∥AD，
∴NH=HD，
由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，
∴MC=BC=a，∠MCD=30°，
∴MH=MC=a，CH=a，
∴DH=a﹣a，
∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，
∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2.
故选C.
9．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出再代入分式计算，即可求得．
【详解】解：由根与系数的关系得： ，
,
即,
解得：或,
而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴ 
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．
10．C
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
【详解】∵Rt△OAB的顶点A（−2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4＝4a，解得a＝1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（−2，4），
∴B（−2，0），
∴OB＝2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
令y=2，得2=x2，
解得：x=±
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故答案为：C．
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．
11．D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
12．C
【分析】连接，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【详解】解：连接，如图，

∵为等边三角形，
∴，
∵分别平分和，
∴
∴，
∴，即，
∵，即，
∴，
在和中，

∴，
∴，故①正确；
∴，
∴四边形的面积 ，故③正确；
过点O作于H，如图，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即随的变化而变化，
∵四边形的面积为定值，
∴；故②错误；
∵，
∴的周长 ，
当时，最小，的周长最小，此时 ，
∴周长的最小值6，故④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，重心的性质等等，证明是解题的关键．
13．-2
【分析】根据二次函数的定义可直接进行求解．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
14．
【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶

一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
所以恰好选中甲和丙的概率为．
故答案为：
【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
15．
【分析】代入圆锥的侧面积（为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长）计算即可得出答案．
【详解】已知其母线长为12 cm，底面半径为3 cm，
∴这个冰激凌外壳的侧面积为：

故答案为：
【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算，理解并熟记计算公式是解题的关键．
16．2
【分析】将同样宽的两条互相垂直的道路平移至矩形地面的最右边与最下面，然后直接列出面积方程求解即可．
【详解】设修建的道路宽为，
则，


解得或
因为，所以
故答案为：2
【点睛】此题考查一元二次方程的图形面积问题，解题关键是设出未知数，根据数量关系式直接列方程．
17．m＝0或m＞4．
【分析】有2个不相等的实数根，其含义是当y＝m时，对应的x值有两个不同的数值，根据图象可以看出与x轴有两个交点，所以此时m＝0；当y取的值比抛物线顶点处值大时，对应的x值有两个，所以m值应该大于抛物线顶点的纵坐标．综合表述即可．
【详解】从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，
即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；
从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，
当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．
|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，
综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．
故答案为m＝0或m＞4．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，解题的关键是根据图象分析判断函数值与自变量之间的关系．
18．
【详解】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，
∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=，
由垂径定理可知EF=2EH=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理，垂线段最短等知识，确定AD垂直BC时最短是问题的关键．
19．（1）；
（2）①见详解；②见详解；③见详解．
【分析】（1）先因式分解成两个一元一次方程，然后解一元一次方程即可；
（2）①向上平移3个单位，即纵坐标加3即可；②关于原点对称，即纵坐标和横坐标变成其对应的相反数即可；③边旋转90度扫过图形的面积即是半径为，圆心角为90度的扇形面积即可．
【详解】（1）解：，，
．
（2）解：①如图1，为所求；
②如图1，为所求；
③如图2，为所求．边扫过的图形的面积

【点睛】本题考查的是一元二次方程的因式分解法求值、图形平移内容，掌握平移规则是解题关键．
20．（1）；（2）．
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．
【详解】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此被分到“B组”的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
小红爸爸
王老师
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC

共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．
21．(1)，，
(2)顶点坐标；
(3)当或时，函数值大于0．

【分析】（1）令求出相应的x的值，令求出相应的y的值，即可得到图象与坐标轴的交点坐标；
（2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；
（3）根据抛物线和二次函数的性质，可以得到当x取何值时，函数值大于0．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，；
令，则，
∴抛物线与y轴的交点；
（2）解：∵，
∴顶点坐标；
（3）解：由（1）知该函数图象与x轴的交点坐标为，，
∵，
∴该抛物线开口向上，
∴当或时，函数值大于0．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．（1）与相切，理由见解析；（2）
【分析】(1)如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；
(2)连接DF，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）与相切．
理由：如图，连接，，

，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）连接，，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
即：，
．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（1）证明见解析（2）-1
【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．

24．(1)
(2)或
(3)，

【分析】（1）根据勾股定理，便可求出经过后，P、Q两点的距离为
（2）根据三角形的面积公式便可求出经过2或后，的面积为
（3）先求出的最大值，即可求出四边形的面积最小值
【详解】（1）在中，，，
∴，
设经过后，P，Q两点的距离为，，，
由勾股定理得，
代入数据得，
解得或（不合题意，舍去），
（2）设经过后，的面积为．，，．
解得，，
所以经过或后，的面积为．
（3）设经过后，的值最大，则此时四边形的面积值最小，
，，
当时，即时，的面积最大，
即．
∴四边形的面积最小值为最大值，
当点P运动时，四边形的面积最小，最小面积为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的求法，一元二次方程以及二次函数的应用，用时间表示出三角形各边长度是解题的关键．
25．（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.
【详解】分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；
（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．
详解: （1）已知抛物线经过,,
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为.
（2）∵,，∴，，
可得旋转后点的坐标为.
当时，由得，
可知抛物线过点.
∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位长度后过点.
∴平移后的抛物线解析式为：.
（3）∵点在上，可设点坐标为，
将配方得，∴其对称轴为.由题得Ｂ１（0,1）．
①当时，如图①，

∵，
∴，
∴，
此时，
∴点的坐标为.
②当时，如图②，

同理可得，
∴，
此时，
∴点的坐标为.
综上，点的坐标为或.
点睛：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．