2023-2024学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．将方程x2+5x＝7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣7B．5，7C．﹣5，7D．﹣5，﹣7
2．下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．用数学的眼光观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
5．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
6．小王同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小王同学的这种方法运用的主要数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．类比思想
C．公理化思想D．模型思想
7．若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
9．将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
10．如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
11．代数式4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值是（ ）
A．15B．9C．13D．10
12．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将答案直接填写在题中横线上）。
13．在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 ．
14．国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 °后才能与自身重合．
15．若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则+＝ ．
16．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 ．
17．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
18．如图，已知△ABC，∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE，其中正确结论的是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤。)
19．（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
②将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
20．（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求：
①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
②抛物线的顶点坐标．
③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
21．一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
22．如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
23．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在问题2的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在平面内是否存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请把你认为正确的题号填入题后面的括号内）
1．将方程x2+5x＝7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣7B．5，7C．﹣5，7D．﹣5，﹣7
【分析】一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可．
解：方程整理得：x2+5x﹣7＝0，
则一次项系数、常数项分别为5，﹣7，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】把各关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
解：①y＝1﹣x2＝﹣x2+1，是二次函数；
②y＝，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y＝3x（1﹣3x）＝﹣9x2+3x，是二次函数；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
3．用数学的眼光观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
【分析】设另一边为y，矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
解：设另一边为y，
由题意得，2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，
∴函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
5．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．小王同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小王同学的这种方法运用的主要数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．类比思想
C．公理化思想D．模型思想
【分析】结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想．
解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
7．若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，再解即可．
解：由题意得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
解：∵将抛物线y＝2x2向上平移1个单位再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
10．如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
【分析】由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合条件可求得点C点的坐标．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
∵点A的坐标为，
∴C点坐标为（2，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
11．代数式4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值是（ ）
A．15B．9C．13D．10
【分析】先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解．
解：∵4x2+y2﹣2y﹣4x+15
＝（4x2﹣4x+1）+（y2﹣2y+1）+13
＝（2x﹣1）2+（y﹣1）2+13≥13，
∴4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值为13，
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点及非负数的性质是解题的关键．
12．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b＝3a+，由二次函数的图象的顶点在第一象限，可得a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+＝3a+，
∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，
∴a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴a+＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
∴﹣1＜3a+＜，
∴﹣1＜t＜，
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用抛物线顶点坐标所在象限确定系数的取值范围，以及二次函数与方程之间的转换，方程根的代数意义的熟练运用．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将答案直接填写在题中横线上）。
13．在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 ．
【分析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得，解不等式组可得答案．
解：因为在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 72 °后才能与自身重合．
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
15．若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则+＝ ．
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣2022，mn＝﹣2023，再将其代入+＝中，即可求出结论．
解：∵m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2022，mn＝﹣2023，
∴+＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
16．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 或0 ．
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y＝ax2﹣x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ＝0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a＝0，从而求解．
解：①当函数为二次函数时，
∵y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝1﹣4a＝0，
∴a＝，
②当函数为一次函数时，a＝0，
此时y＝﹣x+1与x轴只有一个交点．
综上所述，a的值为或0．
故答案为：或0．
【点评】此题考查抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
17．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 50% ．
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解．
解：设进馆人次的月平均增长率为x，
则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
故答案为：50%．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
18．如图，已知△ABC，∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE，其中正确结论的是 ①③④ ．
【分析】依据题意，设AD交BC于点F，根据旋转的性质得出∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°，AE＝AC，BC＝DE，由三角形内角和定理得到推出∠BPD＝∠BAD＝60°，由对顶角的性质待定∠EPC＝∠BPD＝60°，判定△ACE是等边三角形，因此AC与DE不能互相平分，在BC上截取BG＝PD，由SAS推出△ABG≌△ADP，推出∠BAD＝∠GAP＝60°，得到△APG是等边三角形，因此AP＝PG，∠APB＝60°，于是得到AP+PC＝PG+PC＝CG＝PE，求出∠APE＝∠APB＝60°，即可证明PA平分∠BPE．
解：设AD交BC于点F，
由旋转的性质可得：∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°，AE＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠D+∠BPD，
∴∠BPD＝∠BAD＝60°，
∴∠EPC＝∠BPD＝60°，
故①正确；
设DE交AC于点H，连接CE，
∵∠CAE＝60°，AE＝AC，
∴△ACE是等边三角形，
若AC与DE互相平分，则AH＝CH，
∴PE⊥AC，
∵∠EPC＝60°，∠C的大小无法确定，
∴∠CHP不一定等于90°，
故②错误；
在BC上截取BG＝PD，
由旋转的性质得：∠B＝∠D，BC＝DE，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴CG＝PE，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，
∴∠BAG+∠DAG＝∠DAP+∠DAG，
即∠BAD＝∠GAP＝60°，
∴△APG是等边三角形，
∴AP＝PG，∠APB＝60°，
∴AP+PC＝PG+PC＝CG＝PE，
故③正确；
∵∠EPC＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∴∠APE＝∠APB＝60°，
∴PA平分∠BPE，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是根据旋转前、后的图形全等来解答．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤。)
19．（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
②将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝25，然后利用直接开平方法解方程；
（2）①根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
②根据旋转角度为90°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点S，找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接即可．
解：（1）x2﹣2x﹣24＝0，
∴x2﹣2x+1＝25，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
解得：x1＝﹣4，x2＝6；
（2）①如图1所示，△A1B1C1即为所求：
；
②旋转后的图形如图2所示：
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，作图﹣旋转变换以及作图﹣平移变换，解题关键是找出图形变换的规律，然后准确找出变换后的对应点，难度一般．
20．（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求：
①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
②抛物线的顶点坐标．
③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【分析】（1）①分别令x＝0，y＝0即可求得交点坐标；
②把函数解析式转化为顶点坐标形势，即可得顶点坐标；
③根据图象即可得知x的范围；
（2）①利用根的判别式进行求解即可；
②由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，再结合条件进行求解即可．
解：（1）①由题意，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（3，0）；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点为（0，﹣3）；
②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
③如图所示：
由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0；
（2）①∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得：k≤
即k的取值范围是：k≤；
②∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
21．一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
【分析】利用多边形对角线条数求法得出即可．
解：设这个多边形是n边形，则
∵＝20，
∴n2﹣3n﹣40＝0，
（n﹣8）（n+5）＝0，
解得n＝8，n＝﹣5（舍去），
故多边形的边数为8；
∵＝18，
∴n2﹣3n﹣36＝0，
∵b2﹣4ac＝9+144＝153，
∴方程的根，无法求出整数，
故这样的多边形不存在．
【点评】此题主要考查了多边形对角线公式，熟练记忆公式是解题关键．
22．如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；
（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．
解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°．
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°．
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝4．
∵CD＝3AD，
∴AD＝，DC＝3．
由旋转的性质可知：AD＝EC＝．
∴DE＝＝2．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE＝90°是解题的关键．
23．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在问题2的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在平面内是否存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直线求得A，B，再由待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）证明出△BOA≌△DOA即可；
（3）设出点P坐标，分AB、BE、AE为对角线三种情况分析，利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论．
【解答】（1）解：令y＝0，则﹣x+3＝0，
解得x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三点坐标代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；
（2）证明：在平面直角坐标系xOy中，∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD；
（3）解：在平面内存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）知OB＝OD，
∴D点坐标为（0，﹣3），
设AD解析式为y＝mx+n，将A、D代入得：
，
解得：，
∴AD的解析式为y＝x﹣3，
∵y＝x2+x+3＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E点的横坐标是2，
将x＝2代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，
∴E点坐标为（2，﹣2），
如图，设P（m，n），
∵A（6，0），B（0，3），E（2，﹣2），
当AB为对角线时，AB与EP互相平分，
∴（6+0）＝（2+m），（0+3）＝（﹣2+n），
∴m＝4，n＝5，
∴P（4，5）；
当BE为对角线时，（0+2）＝（6+m），（3﹣2）＝（0+n），
∴m＝﹣4，n＝1，
∴P（﹣4，1）；
当AE为对角线时，（6+2）＝（0+m），（0﹣2）＝（3+n），
∴m＝8，n＝﹣5，
∴P（8，﹣5），
综上，满足条件的点P的坐标为（4，5）或（﹣4，1）或（8，﹣5）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质与分类讨论思想的运用．