数学选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系优秀第2课时练习

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1．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据向量法计算可得.
【详解】依题意，平面的法向量为，
所以点到平面的距离.
故选：C
2．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.
【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，故，,
所以点到直线的距离为.
故选：A
3．四棱锥P-ABCD中，，，则这个四棱锥的高h 为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】求出平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可．
【详解】在四棱锥中，，，，，1，，，1，，
设平面的法向量为：，，．
则，可得：，不妨令，则，，
可得，12，．
，1，在平面上的射影就是这个四棱锥的高，
，．
故选：．
【点睛】本题主要考查空间点到平面的距离公式的应用，考查向量的数量积的应用，考查计算能力．
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面B1D1EF的法向量后可求点到平面的距离.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
故到平面的距离为，
故选：A.
5．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解
【详解】由正方体的性质：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以，，，
，，
所以，，
，．
连接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离：
．
故选：D.
6．在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线的方程为，则直线到平面的距离为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据线面距离的空间向量坐标运算求法直接求解.
【详解】由题可知点在直线上，取平面内一点,
根据题设材料可知平面一个法向量为，
,
所以，
所以直线到平面的距离为，
故选:C.
二、多选题
7．已知平面的法向量为，点为内一点，若点到平面的距离为4，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】AD
【分析】利用向量法可知，点到平面的距离公式为 ，代入相关数值，通过解方程即可求解.
【详解】解：由向量法可知，点到平面的距离公式为，
又，
，
由点到平面的距离为4，有
解得或
故选：AD
【点睛】本题考查的是点面距离的计算问题，核心是会利用向量法中点到平面的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.
8．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点到侧棱的距离相等B．正四棱柱外接球的体积为
C．若，则平面D．点到平面的距离为
【答案】BD
【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解.
【详解】对于A, 到侧棱的距离等于,
到侧棱的距离相等且等于,故A错误；
对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有,
即，所以外接球的体积等于，故B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图，
则,
因为，所以,
所以，，,
所以，所以与平面不垂直，故C错误；
对于D,由以上知，设平面的法向量为，
则有，,
,即，令则，
所以，
因为,所以点到平面的距离为，故D正确.
故选:BD.
三、填空题
9．已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______.
【答案】2
【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可.
【详解】由题知，，
所以
所以，
所以到直线的距离为，
故答案为：2
10．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答.
【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离，
而，所以平行平面、间的距离.
故答案为：
四、解答题
11．如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离.
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离.
【详解】
设则，
∴
∴点B到直线的距离
12．已知三棱锥的三条侧棱､､两两垂直，且，，，求顶点到平面的距离.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解
【详解】
以点为原点，分别以､与的方向为,,轴的正方向，建立空间直角坐标系.则､､，所以，
设平面的一个法向量为，
则又，，
所以
令，
设顶点到平面的距离为，
所以.
13．已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．
【答案】
【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可.
【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴．
则，
.
设是平面EFBD的一个法向量，
则，即，解得，所以 ．
又因为，
所以，从而，所以平面，
所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离．
从而两平面间距离为．
14．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）连接，显然，因为， ．
所以，于是，
因为平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，
设平面的法向量为，
，
则有，
，
点到平面的距离为：
.
15．如图，在三棱锥中，平面为线段上一点，且.
(1)在线段上求一点，使得平面平面，并证明；
(2)求点C到平面ABD的距离.
【答案】(1)为靠近点的三等分点时，平面平面,证明见解析
(2)
【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，表示出平面，平面的法向量，即可确定的位置；
(2)利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离.
【详解】（1）取线段的中点，连接，
因为,
所以,且,
又因为平面以为坐标原点，
的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设,其中，
则
因为，所以，解得，故,
设平面的法向量为,
则，令，可得
设，
平面的法向量为
则，令，可得
因为平面平面，
所以，解得，
故当为靠近点的三等分点时，平面平面.
（2）由（1）可知，，
设平面的法向量为，
则，取，则
则点C到平面ABD的距离.