高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质学案设计

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[笔记教材]
知识点一 抛物线的几何性质
答案：向左 向下 |PF|＝x0＋eq \f(p,2) |PF|＝－y0＋eq \f(p,2) x≥0，y∈R x∈R x轴 y轴 O(0,0) e＝1
知识点二 过焦点的弦长公式
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AB|＝________.
答案：x1＋x2＋p
[重点理解]
1．抛物线焦点与顶点的关系
抛物线的焦点与顶点之间的距离是焦点与准线之间的距离(称为焦准距)的一半，即eq \f(p,2).
2．抛物线的离心率是定值1，不同于椭圆的离心率e∈(0,1)，也不同于双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．
3．关于抛物线通径的两点提醒
(1)抛物线的通径即过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段，是过焦点最短的弦．
(2)根据常数2p的几何意义，可知p越大，通径越长，抛物线的开口越大；反之，p越小，通径越短，抛物线的开口越小．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴．(√)
(2)抛物线y＝－eq \f(1,8)x2的准线方程是x＝eq \f(1,32).()
(3)抛物线关于(0,0)对称．()
2．(2019全国卷(文))若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案：D
3．(2022甘肃天水第一中学检测)以双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
答案：A
4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_______________________________________．
答案：y2＝24x或y2＝－24x
5．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为________．
答案：2p

研习1 抛物线的定义及性质的应用
[典例1] 若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，求动点M的轨迹方程.
[解] 如图，设点M的坐标为(x，y)．
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且eq \f(p,2)＝4，即p＝8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2＝16x.
[巧归纳] 1.注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.2.解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
[练习1]等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案：B
解析：如图，设点A在x轴上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y2＝2px，))得A(2p，2p)．∴B(2p，－2p)，|AB|＝4p.∴S△ABO＝eq \f(1,2)×4p×2p＝4p2.
研习2 抛物线的焦半径和焦点弦问题
[典例2] (1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．
[答案] 16
[解析] 由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
[答案] eq \f(7,2)
[解析] 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为eq \f(5,2)，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为eq \f(5,2)＋1＝eq \f(7,2).
[巧归纳] (1)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；②|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；③S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；④eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
[练习2](1)(2022江苏南京月考)(多选题)已知F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为eq \r(3)的直线l交抛物线于A，B两点(点A第一象限)，交拋物线的准线于点C，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))
B.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))
C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝3p
D．以AF为直径的圆与y轴相切
答案：AD
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1>0，易知点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，即x＝eq \f(\r(3),3)y＋eq \f(p,2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),3)y＋\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x并整理可得eq \r(3)y2－2py－eq \r(3)p2＝0，∵y1>0，解得y1＝eq \r(3)p，y2＝－eq \f(\r(3),3)p，所以x1＝eq \f(y\\al(2,1),2p)＝eq \f(3,2)p，同理可得x2＝eq \f(1,6)p，即点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3p,2)，\r(3)p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)p，－\f(\r(3),3)p)).对于A选项，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),3)y＋\f(p,2)，,x＝－\f(p,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(p,2)，,y＝－\r(3)p，))
即点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，－\r(3)p))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－p，－\r(3)p))，eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－p，－\r(3)p))，则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，A选项正确；对于B选项，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝2p，|BF|＝eq \f(1,6)p＋eq \f(1,2)p＝eq \f(2,3)p，则|AF|≠2|BF|，B选项错误；对于C选项，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(8,3)p，C选项错误；对于D选项，|AF|＝2p，线段AF的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，\f(\r(3),2)p))，点M到y轴的距离为p，所以，以AF为直径的圆与y轴相切，D选项正确．故选AD.
(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为________．
答案：25
解析：因为|AB|＝2p，所以p＝5，S△ABP＝eq \f(1,2)|AB|·p＝eq \f(1,2)×10×5＝25.
研习3 抛物线性质的应用
[典例3] 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．
[解] 如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2.又因为|OA|＝|OB|，所以xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，
即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2＝0.所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1>0，x2>0,2p>0，
所以x1＋x2＋2p≠0.所以x1＝x2.即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°，所以AB⊥x轴，所以y1＝x1tan 30°＝eq \f(\r(3),3)x1.又因为x1＝eq \f(y\\al(2,1),2p)，所以y1＝2eq \r(3)p.故|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p即为所求边长．
[巧归纳] 抛物线性质的应用：(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题；(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；(4)焦点：解决焦点弦问题．
[练习3]已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l过抛物线焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))与抛物线交于A，B两点．求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明：设直线l与抛物线两交点A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p.设圆心M到准线x＝－eq \f(p,2)的距离为d，则d＝eq \f(x1＋x2,2)＋eq \f(p,2)＝eq \f(x1＋x2＋p,2)，∴d＝eq \f(|AB|,2)，即圆心到准线x＝－eq \f(p,2)的距离等于圆的半径．∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8 C．6 D．4
答案：B
解析：焦点弦弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝5，则这样的直线( )
A．有且只有一条
B．有且只有两条
C．有无穷多条
D．不存在
答案：B
解析：抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p＝4＜5，所以这样的直线有两条．
3．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
A．y＝3x2或y＝－3x2
B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2
D．y＝－3x2或y2＝9x
答案：D
解析：.圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0)．把(1，－3)代入得9＝2p1,1＝6p2，所以p1＝eq \f(9,2)，p2＝eq \f(1,6)，所以y2＝9x或x2＝－eq \f(1,3)y.
4．(2022福建福州第一中学检测)在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x D．x2＝－4y
答案：A
解析：设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)，eq \(PM,\s\up6(→))＝(－1－x,2－y)，eq \(ON,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(PN,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，
因为|eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，所以|1＋x|＝eq \r(1－x2＋y2)整理得y2＝4x故选A.
5．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．
答案：eq \f(15,8)
解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq \f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq \f(1,8)，所以y0＋eq \f(1,8)＝2，解得y0＝eq \f(15,8).
[思想方法]
利用数形结合思想，解决最值、轨迹以及参数范围等问题

[示例] 如图所示，在直角坐标系xOy中，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为eq \f(5,4).点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．
(1)求曲线C的方程及t的值；
(2)记d＝eq \f(|AB|,\r(1＋4m2))，求d的最大值．
[解] (1)∵抛物线y2＝2px(p>0)的准线为直线x＝－eq \f(p,2)，
∴1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)))＝eq \f(5,4)，p＝eq \f(1,2)，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
又∵点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.
(2)由(1)知，点M(1,1)，∴n＝m，即点Q(m，m)(m>0)．
依题意，直线AB的斜率存在且不为0，∴设直线AB的斜率为k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝x1，,y\\al(2,2)＝x2，))得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，
故k·2m＝1.
∴直线AB的方程为y－m＝eq \f(1,2m)(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2my＋2m2－m＝0，,y2＝x，))消去x，
整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
∴Δ＝4m－4m2>0，∴0∴|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|
＝eq \r(1＋4m2)·eq \r(4m－4m2)
＝2eq \r(1＋4m2m－m2)，
∴d＝eq \f(|AB|,\r(1＋4m2))＝2eq \r(m1－m)≤m＋(1－m)＝1，
当且仅当m＝1－m，即m＝eq \f(1,2)时，等号成立．
又∵m＝eq \f(1,2)满足Δ＝4m－4m2>0，
∴d的最大值为1.
[方法总结] 本题考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最值，解题关键是结合抛物线的图形，恰当运用“点差法”设而不求地解决．
新课程标准
新学法解读
了解抛物线的简单几何性质.
1.依据抛物线的方程、图象研究抛物线的简单几何性质．
2．能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题．
3．能综合利用抛物线的简单几何性质解决相关的综合问题.
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图象
开口方向
向右
________
向上
________
焦半径
[其中P
(x0，y0)]
________
________
|PF|＝
－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
y0＋eq \f(p,2)
________
________
范围
________
________
x≤0，
y∈R
y≥0，
________
y≤0，x∈R
对称轴
________
________
顶点
________
离心率
________
通径
2p