北师大版高中数学选择性必修第一册1-1-1、1-1-2一次函数的图象与直线的方程　直线的倾斜角、斜率及其关系学案

第一章　直线与圆

§1　直线与直线的方程

1.1　一次函数的图象与直线的方程

1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系

 [笔记教材]

知识点一　倾斜角的概念

(1)在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件：

①直线上的一个点．

②这条直线的________．

(2)直线的倾斜角

答案：(1)②方向　(2)x轴　逆时针　[0，π)

知识点二　直线的斜率

(1)直线的斜率

(2)斜率与倾斜角的对应关系

(3)直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系

①直线的倾斜角α、斜率k、方向向量(坐标为(x2－x1，y2－y1))分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度，它们之间的关系如下：

k＝________＝________(其中x1≠x2).

②若k是直线e的斜率，则它的一个方向向量v＝________；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝________.

答案：(1)正切值　tan α　

(2)　k＝0　k＞0　k＜0

(3)①　tan α　②(1，k)　

[重点理解]

对于直线斜率的三点提醒

(1)直线的倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，倾斜角侧重于几何角度，斜率侧重于代数角度．

(2)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．倾斜角为90°的直线不存在斜率．

(3)当倾斜角不是直角时，倾斜角的正切值就是斜率，此时倾斜角和斜率可以相互转化．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)任何一条直线都有斜率．()

(2)斜率相等的两直线倾斜角相等．(√)

(3)直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大．()

(4)与y轴垂直的直线的斜率为0.(√)

2．(2022河南模拟)已知直线l经过A(－2，－1)，B(1，－1)两点，则直线l的倾斜角是(　　)

A．30°   B．60°

C．120°   D．150°

答案：A

3．(2022湖南长沙模拟)倾斜角为45°的直线l经过两点(m,2)和(2m＋2,3m)，则m的值是(　　)

A．0   B．1

C．2    D．3

答案：C

4．若直线l的倾斜角α满足0≤α<，且α≠，则其斜率k满足(　　)

A．－<k≤0    B．k>－

C．k≥0或k<－    D．k≥0或k<－

答案：C

5．(2022上海建平中学模拟)已知直线l的一个方向向量为d＝(3，－4)，则直线l的斜率为________．

答案：－

研习1  求直线的斜率

[典例1]　已知点A(4，－5)，B(2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝________.

[答案]　－1

[解析]　kAB＝＝＝－1.[巧归纳]　求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．

[练习1]过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的斜率．

解：因为直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l′的斜率k′＝tan 135°＝－1.

研习2  求直线的倾斜角

 [典例2]　(2022河南洛阳模拟)直线3x－y＋1＝0的倾斜角是(　　)

A．30°    B．60° 

C．120°    D．135°

[答案]　B

[解析]　直线的斜率为－＝，对应的倾斜角为60°.故选B.

[巧归纳]　求直线的倾斜角的方法及两点注意：(1)方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

[练习2]一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)

A．α

B．180°－α

C．180°－α或90°－α

D．90°＋α或90°－α

答案：D

解析：如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

研习3  　斜率的应用

[典例3]　已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

(1)[解]　由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝.∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；∵tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°；∵tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°.

(2)[解]　当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是.

[巧归纳]　1.求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．

2.的几何意义是直线的斜率，可用来解决函数的值域问题．

[练习3]已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

解：如图所示，由于点P(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.

研习4  三点共线问题

[典例4]　(2022四川简阳阳安中学月考)若三点A(－2,3)，B(－3,2)，C共线，则m的值为________．

[答案]　

[解析]　三点A(－2,3)，B(－3,2)，C共线，则＝，解得m＝.

[巧归纳]　判断给定坐标的三点是否共线的方法：(1)对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点所确定的斜率是否存在，a.若都不存在，则三点共线；b.若斜率存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线．(2)由斜率相等且过同一点可推出三点共线，但三点共线时不一定任意两点的连线的斜率相等，还可能斜率不存在．

[练习4]求证：A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线．

证明：∵A(－2,3)，B(3，－2)，C，∴直线AB的斜率kAB＝＝－1，直线AC的斜率kAC＝＝－1，∴kAB＝kAC，即直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一条直线，∴A，B，C三点共线．

1．(2022陕西吴起高级中学模拟)过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则a等于(　　)

A．－8    B．10

C．2    D．4

答案：B

解析：∵k＝＝－，∴a＝10.

2．(2022甘肃静宁县第一中学模拟)若斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a，b的值是(　　)

A．a＝4，b＝0    B．a＝－4，b＝－3

C．a＝4，b＝－3    D．a＝－4，b＝3

答案：C

解析：斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，∴＝＝2，解得a＝4，b＝－3.故选C.

3．(2022山东高密一中模拟)(多选题)给出下列说法，其中错误的是(　　)

A．任何一条直线都有唯一的倾斜角

B．任何一条直线都有唯一的斜率

C．倾斜角为90°的直线不存在

D．倾斜角为0°的直线只有一条

答案：BCD

解析：A正确；当直线的倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在，B错误；倾斜角为90°的直线与x轴垂直，有无数多条，C错误；倾斜角为0°的直线与x轴平行或重合，这样的直线有无数多条，D错误．

4．已知点A(－1,3)，点B(3,9)，则直线AB的斜率为________．

答案：

解析：因为A(－1,3)，B(3,9)，则kAB＝＝，故答案为.

[误区警示]

忽略斜率不存在致错

[示例]　求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

[错解]　由过两点的直线的斜率公式，得k＝＝.

当m>1时，k＝>0，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.

当m<1时，k＝<0，直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.

[错因分析]　已知直线上两点的坐标求直线的斜率时，应先检验这两点的横坐标是否相等．若相等，直线的斜率不存在；若不相等，则用斜率公式求解．当点的坐标中含有参数时，应对参数进行分类讨论．错解忽略了斜率不存在的情况．

[正解]　当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°.

当m≠1时，由过两点的直线的斜率公式，得k＝＝.

①当m>1时，k＝>0，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.

②当m<1时，k＝<0，直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.

[易错警示]　直线的斜率即为直线倾斜角的正切值，当倾斜角为90°时，正切值没有意义，此时直线的斜率不存在．在解题过程中，常因为忽略斜率不存在的情况而出错．