第2章 一元二次方程辅导讲义10：一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）

一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. 关于x的方程无实数根，则m的取值范围为(    )．

    A．m≠0       B．m＞1      C．m＜1且m≠0     D．m＞-1

2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程有两个相等的实数根，那么这个三角形是（   ）

A．等腰三角形    B．等边三角形    C．直角三角形    D．等腰直角三角形

3．（2016•曲靖一模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（　　）

A．﹣1    B．1     C．﹣2    D．2

4．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ）．

    A．2010     B．2011     C．2012      D．2013

5．若ab≠1，且有，及，则的值是（   ）．

    A．       B．       C．     D．

6.（2015•芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（　　）

A．15   B．12       C．6     D．3

二、填空题

7．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是________．

8．（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　       ．

9．（2016•濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程　               　，使它的两根分别是方程x2﹣7x﹣1=0各根的倒数．

10．在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是         .

11．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 ，（1）当k为        时，两根互为相反数；（2）当k为        时，有一根为零，另一根不为零.

12．（2015•仁寿县一模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则m的值是　    　．

三、解答题

13. 已知关于x的方程的两根的平方和等于，求m的值．

14．已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，

(1) 求k的取值范围；

(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

15．（2016春•杭州校级期中）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．

（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+的值；

（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】B；

【解析】当m＝0时，原方程的解是；当m≠0时，由题意知△＝22-4·m×1＜0，所以m＞1．

2．【答案】A；

【解析】方程化为(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴  △＝4(b-a)2-4(c-b)(a-b)＝0

          即4(a-b)(a-c)＝0，∴  a＝b或a＝c，

∴  △ABC为等腰三角形．

3．【答案】A；

  【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，

所以===﹣1．

故选A．

4.【答案】C；

  【解析】依题意有，，∴．

5．【答案】A；

【解析】因为及，

于是有及，

又因为，所以，故a和可看成方程的两根，

再运用根与系数的关系得，即．

6．【答案】C；

  【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，

∴x1+x2=3，x1x2=，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×=6．

故选：C．

二、填空题

7．【答案】1；

  【解析】由题意知△＝，所以，因此m的最大整数值是1．

8．【答案】﹣；

【解析】解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．

∴原式====﹣，

故答案为：﹣．

9．【答案】x2+7x﹣1=0；

【解析】解：设方程x2﹣7x﹣1=0的两根为α、β，

则有：α+β=7，α•β=﹣1．

∴==﹣7，=﹣1，

∴以、为根的方程为x2+7x﹣1=0．

故答案为：x2+7x﹣1=0．

10．【答案】；

     【解析】因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，

∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，

∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.

11．【答案】（1）k=0；（2）k=.

【解析】解：设方程的两根为x1, x2，

则x1+x2=-=-；x1x2= .

　　（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，
　　    即x1+x2=-=0，∴k=0，
　　    当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16>0
　　   ∴当k=0时，方程两根互为相反数.

　　（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，
　    　即x1x2==0，解得k=.
　　   又当k=时，x1+x2=-≠0，
　　   当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=>0，
　　   ∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.

12.【答案】-1.

【解析】解：根据题意得x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，

∵x12+x22=7，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=7，

∴m2﹣2（2m﹣1）=7，解得m1=﹣1，m2=5，

当m=﹣1时，原方程变形为x2+x﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；

当m=5时，原方程变形为x2﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根；

∴m的值为﹣1．

故答案为﹣1．

三、解答题

13. 【答案与解析】

设方程的两根为x1、x2，则由根与系数关系，

得，．

由题意，得  ，

即，

∴  ，

整理，得．解得，．

当m＝3时，△＝；

当m＝-11时，△＝，方程无实数根．

∴  m＝-11不合题意，应舍去．

∴  m的值为3．

14. 【答案与解析】

       (1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，

解得k>-，且k≠0 .即k的取值范围是k>-，且k≠0 .

(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0.

则x1 ，x2不为0，且，即，且，解得k=-1 .

而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-，且k≠0矛盾，

故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .

15.【答案与解析】

解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，

解得：x1=3，x2=1．

（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，

∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，

当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，

+====﹣47；

当a=b时，原式=2．

（3）设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，

则+==﹣，•==，

则方程x2+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．