高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例同步测试题

【特供】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-1随堂练习

一．填空题

1．点为平面上一点，有如下三个结论：

①若，则点为的______；

②若，则点为的______；

③若，则点为的______.

回答以下两个小问：

（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上.

A．重心B．外心C．内心D．垂心

（2）请你证明结论②.

2．在平面上，，，，若，则的取值范围是________.

3．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量．，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．

4．已知为单位圆上一动点，，，则的最小值是_______．

5．
已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为__________．

6．已知，，若在曲线上恰有4个不同的点，使，则的取值范围是________.

7．在中，已知，且，则面积的最大值为___

8．
已知向量=(4,-5), =(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为_____.

9．在，点M是外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为____________．

10．在中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于_____________．

11．在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．

12．
已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________.

13．中，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值为____________

14．△中，，，上的高，且垂足在线段上，为△的垂心且（），则________．

15．在△ABC中，，△ABC的面积为，D为线段BC上一点，且CD=2BD，点E在线段AD的延长线上，满足，则的最小值为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】(1)①重心;②内心;③外心.(2)证明见解析.

试题分析：(1)对①,化为分析即可.

对②,通过运算证明即可证明点在的角平分线上,同理可证点在的角平分线上即可.

对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的,再论证当为外心时满足即可.

【详解】

(1)对①,因为,故,取中点为,

则,故在边的中线上.同理在边的中线上,故为的重心.

对②,同解析(2).

对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的.

证明：假设还有一点满足,则有,即

,故,此时重合.

所以点是唯一的.

再证若为外心时,.

证明：因为

所以设的外接圆半径为则

即.

综上所述,为外心.

(2)对,由正弦定理有.

故,故.

即

故,故在的角平分线上,同理可证点在的角平分线上.故为的内心.

【点睛】

本题主要考查利用向量证明三角形的“四心”问题,需要根据对应的性质进行向量的运用化简,属于难题.

【解析】

2．【答案】

【解析】根据题意,建立平面直角坐标系,设出．．．的坐标,由及可得关于O点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出的取值范围.

【详解】

因为,

则为矩形,以所在直线为轴,以为轴建立平面直角坐标系.如下图所示:

设,

则,,,

因为

所以 变形可得

因为,即

由以上两式可得

即

因为,即

所以

则

综上可知

因为

所以,即

故答案为:

【点睛】

本题考查了平面向量在坐标系中的综合应用,向量的加法运算与向量的模长,通过建立平面直角坐标系,用坐标研究向量关系是常见方法,属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.

详解：设，，则点．在单位圆上，点．在直线上，的夹角为．如图所示．

根据．的任意性，即求点．到直线距离之和的最小值，

即 （点．分别是点．在直线上的射影点）；

同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．

设的中点为，设点．在直线上射影点分别为．，

则，

当且仅当点．．依次在一条直线上时，等号成立．

所以，即所求实数的最大值是．

故答案为：

【点睛】

关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.

4．【答案】

【解析】分析：设代入数量积，结合三角恒等变换求取最值．

详解：设，

，

当时，得最小值，最小值为．

5．【答案】

【解析】

如图建立平面直角坐标系，,

∴

，

当sin时，得到最小值为

故答案为：

6．【答案】

【解析】先由得，设，得到，，进而得到，令，由题意得到，函数与只需有两个交点，结合函数图像，即可得出结果.

【详解】

由得，解得；

因为点在曲线上，可设，又，，

则，，

所以

，

令，

因为在曲线上恰有4个不同的点，使，

则函数与只需有两个交点；

作出函数大致图像如下：

由图像可得：或.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量与曲线方程的综合，利用转化与化归思想，先将问题转化为函数图像交点问题，熟记向量数量积的坐标运算，二次函数的图像与性质，以及数形结合的思想即可，属于常考题型.

7．【答案】2

【解析】分析：利用解析法，建立平面直角坐标系，设，，，由题意可得到，求出的范围，即可得到面积的最大值．

详解：如图所示：建立平面直角坐标系，设，，，由化简可得，，所以，故面积为，即面积的最大值为2.

故答案为：2.

8．【答案】5

【解析】f1+f2==(-3,4),

∴|f1+f2|==5.

9．【答案】

【解析】取边BC的中点为O，把（）？0转化为？0，得出⊥，△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标表示得出AM的解析式，求出它的最大值与最小值即可．

【详解】

取边BC的中点为O，则（），

又（）？0，∴？0，

∴⊥，∴△ABC为等腰三角形，

又∠A，∴△ABC为等边三角形，

以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，

建立平面直角坐标系如图所示；

并设BC＝2a（a），点M（x，y）；

则A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），

又BM＝2CM＝2，

所以（x+a）2+y2＝4

（x﹣a）2+y2＝1，

所以解方程组，

解得 或，

所以当时，

，

令a2cosθ，

则AM，

所以当θ 时（AM）min＝1，

同理当时，

AM，

所以当θ时（AM）max＝3；

综上可知：AM的取值范围是[1，3]，

AM的最大值与最小值的差是2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查三角函数与平面向量的综合应用，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题，突破点是求最值三角换元的引入.

10．【答案】

【解析】分析：利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得方程，即可得出结论.

详解：设BC=x，如图，

则利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，

可得，

 解得

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.

详解：取，，作，

为内（包含边界）的一动点且，

根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.

在中，，

，，

，，

即的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够根据图形关系确定动点的轨迹，进而确定最大值点.

12．【答案】

【解析】

如图建立平面直角坐标系，,

∴

，

当sin时，得到最小值为

故答案为：

13．【答案】

【解析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得y=（x﹣3），当该直线与直线BC相交时，||取得最大值．

【详解】

∵中，，，

∴∴b=10，∴B=90°；

以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

如图所示，

∵AB=5，AC=10，∠BAC=60°，

∴A（0，0），B（5，0），C（5，5），

设点P为（x，y），0≤x≤5，0≤y≤，

∵=﹣λ，

∴（x，y）=（5，0）﹣λ（5，5）=（3﹣2λ，﹣2λ），

∴，

∴y=（x﹣3），①

直线BC的方程为x=5，②，

联立①②，得，

此时||最大，

∴|AP|==．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．

14．【答案】.

【解析】根据题意，求出，，得到，进而可得，再由三点共线，得到存在实数，使得，进而可求出结果.

【详解】

由题意，因为， ，，上的高，

所以，，

所以 ，即，即，

因为为△的垂心，所以三点共线，

因此存在实数，使得，

所以，

又，

所以.

故答案为

【点睛】

本题主要考查平面向量的应用，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.

15．【答案】

【解析】分析：首先根据已知条件求出，然后将转化为，再结合均值不等式即可求解.

详解：因为D在线段BC上，CD=2BD，所以，

设，则，

所以

又

即.

即，当且仅当，即时取等.

故答案为：.