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高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)课件PPT
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这是一份高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)课件PPT，共41页。PPT课件主要包含了内容索引，热点分类突破，真题押题精练，热点一三角恒等变换，押题预测，真题体验等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
热点二 利用正弦、余弦定理解三角形
热点三 正弦、余弦定理的实际应用
1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
2sin B，则该三角形的外接圆的半径R为
例2 (1)(2019·东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考)在△ABC
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B.又因为sin A＋sin C＝2sin B，所以a＋c＝2b，
跟踪演练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为
解析 由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccs A，
(2)(2019·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，
A.(0,3) B.(1,3) C.(0,1] D.(1,2]
1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.2.解决三角形应用题的基本思路
3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理.
解析 如图所示，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，∴B＝180°－75°－60°＝45°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcs 30°
(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600 m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A，B在同一水平面上，则此楼高度CD＝______m.(精确到1 m)
在Rt△BCD中，因为∠DBC＝30°，
跟踪演练3 (1)如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m.(取 ＝1.732)
解析 如图所示，∴108 s＝0.03 h，∴AB＝1 000×0.03＝30(km).
∴山顶的海拔高度为15 000－8 660＝6 340(m).
(2)如图所示，为测量竖直旗杆CD的高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距 m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD的高度为_____m.
解析 设CD＝x，x>0.∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BC＝x.∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴旗杆CD的高度为12 m.
在△ABC中，∵∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，∴∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs 150°，
1.(2017·山东，理，9)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cs C)＝2sin Acs C＋cs Asin C，则下列等式成立的是A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
解析 ∵等式右边＝sin Acs C＋(sin Acs C＋cs Asin C)＝sin Acs C＋sin(A＋C)＝sin Acs C＋sin B，等式左边＝sin B＋2sin Bcs C，∴sin B＋2sin Bcs C＝sin Acs C＋sin B.由cs C>0，得sin A＝2sin B.根据正弦定理，得a＝2b.
解析 由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝45°，c＝3，点P是平面ABC内的一个动点，若∠BPC＝60°，则△PBC面积的最大值是________.
解析 ∵A＝30°，C＝45°，c＝3，
又∠BPC＝60°，∴在△PBC中，令PB＝m，PC＝n，
NEIRONGSUOYIN
热点二 利用正弦、余弦定理解三角形
热点三 正弦、余弦定理的实际应用
1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
2sin B，则该三角形的外接圆的半径R为
例2 (1)(2019·东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考)在△ABC
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B.又因为sin A＋sin C＝2sin B，所以a＋c＝2b，
跟踪演练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为
解析 由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccs A，
(2)(2019·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，
A.(0,3) B.(1,3) C.(0,1] D.(1,2]
1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.2.解决三角形应用题的基本思路
3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理.
解析 如图所示，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，∴B＝180°－75°－60°＝45°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcs 30°
(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600 m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A，B在同一水平面上，则此楼高度CD＝______m.(精确到1 m)
在Rt△BCD中，因为∠DBC＝30°，
跟踪演练3 (1)如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m.(取 ＝1.732)
解析 如图所示，∴108 s＝0.03 h，∴AB＝1 000×0.03＝30(km).
∴山顶的海拔高度为15 000－8 660＝6 340(m).
(2)如图所示，为测量竖直旗杆CD的高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距 m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD的高度为_____m.
解析 设CD＝x，x>0.∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BC＝x.∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴旗杆CD的高度为12 m.
在△ABC中，∵∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，∴∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs 150°，
1.(2017·山东，理，9)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cs C)＝2sin Acs C＋cs Asin C，则下列等式成立的是A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
解析 ∵等式右边＝sin Acs C＋(sin Acs C＋cs Asin C)＝sin Acs C＋sin(A＋C)＝sin Acs C＋sin B，等式左边＝sin B＋2sin Bcs C，∴sin B＋2sin Bcs C＝sin Acs C＋sin B.由cs C>0，得sin A＝2sin B.根据正弦定理，得a＝2b.
解析 由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝45°，c＝3，点P是平面ABC内的一个动点，若∠BPC＝60°，则△PBC面积的最大值是________.
解析 ∵A＝30°，C＝45°，c＝3，
又∠BPC＝60°，∴在△PBC中，令PB＝m，PC＝n，
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