高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
热点一　三角形基本量的求解
热点二　与三角形面积有关的问题
热点三　以平面几何为背景的解三角形问题
求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果.
例1　(2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知acs A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2＋c2－b2＝ 其中S为△ABC的面积.(1)求sin C；
∴sin 2A＝1，又0<2A<π，
跟踪演练1　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acs A＝bcs C＋ccs B.(1)求A；
得2acs A＝bcs C＋ccs B＝a，
方法二　由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，得4Rsin Acs A＝2Rsin Bcs C＋2Rsin Ccs B＝2Rsin(B＋C)，
(2)若a＝7，b＝8，求c.
解　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
即c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.
三角形面积的最值问题主要有两种解决方法：一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值.
例2　(2019·衡水质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且是acs B与bcs A的等差中项.(1)求角A；
所以2ccs A＝acs B＋bcs A.由正弦定理得2sin Ccs A＝sin Acs B＋sin Bcs A，从而可得2sin Ccs A＝sin C，
(2)若2a＝b＋c，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积.
解　设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，
即3＝12－3bc，所以bc＝3.
跟踪演练2　(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝3，sin 2C＋sin A＝0.(1)求c；
解　由sin 2C＋sin A＝0，知2sin C·cs C＋sin A＝0，
∴c(a2＋b2－c2)＋a2b＝0，而a＝2，b＝3，∴c(4＋9－c2)＋12＝0，即c3－13c－12＝0，∴(c＋1)(c＋3)(c－4)＝0，而c>0，∴c＝4.
(2)求△ABC的面积.
解　在△ABC中，由余弦定理得：
解决以平面几何为载体的解三角形问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系
例3　(2019·深圳调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cs∠BCD＝(1)若 AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长；
解　若对角线AC平分∠BCD，即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD，
(2)若∠CBD＝45°，求CD的长.
又∵∠CBD＝45°，∴sin∠CDB＝sin(180°－∠BCD－45°)＝sin(∠BCD＋45°)
(1)求sin∠BAC的值；
解　如图所示，∠BOC＝2∠BAC，∴cs∠BOC＝cs 2∠BAC
解　延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴CE＝AB，
由余弦定理得，AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cs∠ACE，
(2019·全国Ⅰ，理，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.(1)求A；
解　由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
因为0°解　由(1)知B＝120°－C，
所以c2＝a2＋b2－2abcs C＝84，