3.4.1 力的合成和分解 -高一物理精讲精练（人教版必修第一册）

3.4.1 力的合成和分解
考点精讲

考点1：合力与分力的关系
1．合力与分力的性质

2．合力与分力的大小关系
（1）大小范围：|F2－F1|≤F≤F1＋F2。
（2）合力的大小与两分力夹角的关系：

两分力大小一定时，随着两分力夹角的增大，合力减小。
（3）合力与分力的大小关系：
① 合力可能比分力都大。
② 合力可能比分力都小。
③ 合力可能等于分力。
【例1】(2020－2021学年河北省石家庄市第二中学高一(上)期中)关于合力和分力的关系，下列说法正确的是( )
A．两个力的合力至少大于其中一个分力
B．两个分力的夹角不变，其中一个分力变大，那么合力一定变大
C．两个分力的大小不变，夹角逐渐变大，合力一定变小
D．将某一个确定的力分解成两个分力，其中一个分力的大小确定，那么另外一个分力也唯一确定
【解析】 A．合力可以大于分力也可以小于分力，故A错误；
B．若两个分力夹角为180°，其中一个分力变大，合力可能变小，故B错误；
C．分力大小不变，夹角越大合力越小，C正确；
D．根据平行四边形法则，另一个分力不确定，D错误。故选C。
【答案】 C
【针对训练】
1．(合力与与分力的性质)如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　　)
A．F2就是物体对斜面的压力
B．物体受N、F1、F2三个力作用
C．物体受mg、N、F1、F2四个力作用
D．F1、F2两个分力共同作用的效果跟重力mg的作用效果相同
【解析】F2是重力的一个分力，不是物体对斜面的压力，故A错误；F1与F2是重力的分力，不是物体实际受到的力，所以物体受重力和支持力两个力作用，B、C错误；F1、F2是重力的两个分力，它们共同作用的效果与重力的作用效果相同，故D正确。
【答案】D
2．(合力与分力的大小)两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F。下列说法正确的是(　　)
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小
B．合力F可能比任何一个分力都小
C．合力F总比任何一个分力都大
D．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
【解析】若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A错误；由力的合成方法可知，两个力合力的范围|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两个分力都相等，故B正确，C错误；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力可能增大，可能减小，如图所示，故D错误。

【答案】B
3．(2020－2021学年福建省三明市一中高一(上)期中)下列关于合力与分力的说法中正确的是(　　)
A．合力与分力同时作用在物体上
B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
C．合力一定大于分力
D．合力大小不变时，增大两等大分力间的夹角，则分力增大；当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力增大。
【解析】 AB．合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，故A错误，B正确；
CD．当两个分力大小不变时，由平行四边形定则可知，分力间的夹角越大，合力越大，合力可能大于分力(如两分力间的夹角为锐角时)，也可能小于分力(如两分力间的夹角为钝角时)，故CD错误。故选B。
【答案】 B

考点2：力的合成和分解
1．力的合成和分解都遵循平行四边形定则。
2．合力的求解
（1）作图法(如图所示)

根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

（2）计算法
两分力共线时：
①若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同。
②若F1与F2方向相反，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同。
两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。
以下为求合力的两种常见特殊情况：
类型
作图
合力的计算
两分力相互垂直

大小：F＝
方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ

大小：F＝2F1cos
方向：F与F1夹角为

【例2】　如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　)

A．50 N　 B．60 N　　　
C．120 N　 D．100 N
【分析】　①轻绳跨过定滑轮，BC段绳和BD段绳的拉力大小相等。
②重物静止，BD段绳的拉力为mg＝100 N。
③BC段和BD段绳的拉力间夹角为120°。
【解析】D　轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示。由于F1＝F2，所以平行四边形为菱形，故F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即绳子对滑轮的作用力大小为100 N，选项D正确。

【变式训练】
上例中，若将横梁一端A处改为铰链，绳子系于横梁另一端B处，此时横梁恰好水平，如图所示。则AB杆和BC绳所受弹力分别为多大？

【解析】　AB杆和BC绳合力与BD绳的拉力大小相等，方向相反，即

FBC＝＝200 N，
FAB＝FBDtan 60°＝100 N。

解决分力与合力问题的注意点
1 作图法求合力
①作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度。
②严格采用作图工具作图，并用测量工具测出对应力的大小及方向。
③作图时表示分力和合力的有向线段共点且要画成实线，与分力平行的对边要画成虚线，表示力的线段上要画上刻度和箭头。
2 计算法求合力时常用到的几何知识
①应用直角三角形中的边角关系求解，适用于平行四边形的两边垂直、平行四边形的对角线与一条边垂直及菱形的情况。
②应用等边三角形的特点求解。
③应用相似三角形的知识求解，适用于力的矢量三角形与实际三角形相似的情况。
【针对训练】
1．(2020－2021学年天津市南开区南开中学高一(上)期中)用斧头劈木柴的情景如图甲所示。劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，当在劈背加一个力F时的受力示意图如乙所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力F1为(　　)

A． B． C． D．
【解析】 根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以根据三角形相似
解得。故A正确，BCD错误。故选A。
【答案】 A
2．如图甲所示，射箭时，释放箭的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝0.6)(　　)

A．53° B．127° C．143° D．106°
【解析】 弓弦拉力的合成如图所示，

由于F1＝F2， 由几何知识得2F1cos ＝F，有cos ＝＝0.6，所以＝53°
即α＝106°，故D正确.
【答案】 D
3．(2020－2021学年海南省海口市海南中学高一(上)期中)如图所示，质点受到同一平面内的三个力作用，力的图示恰构成一平行四边形。下列说法正确的是(　　)

A．质点受到的合力为2F2
B．质点受到的合力为F2
C．F1、F2共同作用的效果与F3相同
D．F2、F3共同作用的效果与F1相同
【解析】 AB．由平行四边形定则可知，F1、F3的合力为F2，则质点受到的合力为2F2，故A正确；
CD．由图且结合合力与分力的关系可知，F1、F3共同作用的效果与F2相同，故CD错误。故选A。
【答案】 A

考点3：力的分解的讨论
1．一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力
将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的。实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力。

2．一个合力分解为一组分力的情况分析
（1）已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。

甲　　　　　　乙
（2）已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。

甲　　　　　　乙
（3）已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：

① 当Fsin α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示。
② 当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示。
③ 当F2＜Fsin α时，无解，如图丙所示。
④ 当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示。
3．力的正交分解法
定义
把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法
坐标轴的选取原则
坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
① 使尽量多的力处在坐标轴上
② 尽量使某一轴上各分力的合力为零
适用情况
比较适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况
优点
① 可借助数学中的直角坐标系对力进行描述
② 分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简单且容易求解
③ 分解多力时，可将矢量运算化为代数运算
一般步骤
① 建坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系

② 正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示
③ 分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和。(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即：
Fx＝F1x＋F2x…；Fy＝F1y＋F2y…
④ 求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为φ，则tan φ＝。

【点拨】　正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法。
【例3】如图所示，重力为G的风筝用轻细绳固定于地面上的P点，风的作用力垂直于风筝表面AB，风筝处于静止状态。若位于P点处的拉力传感器测得绳子拉力大小为T，绳与水平地面的夹角为α，则风筝表面与水平面的夹角φ满足(　　)

A．tan φ＝　 B．tan φ＝
C．tan φ＝　 D．tan φ＝
【解析】 对风筝受力分析，并建立如图所示的直角坐标系，将N及T沿坐标轴分解，在x轴方向有Tcos α＝Nsin φ，在y轴方向有Ncos φ＝G＋Tsin α，联立解得tan φ＝，故A正确。

【答案】 A

① 正交分解法适用于三个或三个以上力的合成。
② 分解的目的是为了更方便地合成，将力的矢量运算转化为代数运算。
③ 若F＝0，则可推出Fx＝0，Fy＝0。这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法，以后常常用到。
【针对训练】
1．(力的分解中定解的条件)把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A.F　　　　　　　 B．F
C.F D．F
【解析】C　[如图所示，由于F时，F2只有一解，故A、D错误；当F1＝Fsin α时，两分力和合力恰好构成矢量直角三角形，F2有唯一解，B正确；F1