高中数学高考第1部分 板块3 基础考点练透提速不失分 第3讲 平面向量(1)

第3讲　平面向量

1.(2019·佛山模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a⊥(2a＋b)，则k等于(　　)

A.－8  B.－6  C.6  D.8

答案　A

解析　∵a＝(2,1)，b＝(－1，k)，∴2a＋b＝(3,2＋k)，

∵a⊥(2a＋b)，则a·＝6＋2＋k＝0，

解得k＝－8.

2.(2019·福建三校联考)若平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且a＝，＝2，则等于(　　)

A.5  B.3  C.18  D.25

答案　A

解析　∵a＝，∴|a|＝1，

又a·＝3⇒2＋a·b＝3⇒a·b＝2，

∴(a＋b)2＝2＋2a·b＋2＝1＋4＋20＝25，

∴＝5.

3.(2019·乐山模拟)如图所示，AD是△ABC的中线，O是AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为(　　)

A.－   B.

C.－   D.

答案　A

解析　由题意知＝(＋)＝×

＝(－)＋＝－，

则λ＝，μ＝－，故λ＋μ＝－.

4.(2019·宜昌模拟)已知＝1，＝，且a⊥，则向量a与向量b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　∵ a⊥，

∴ a·＝0，

即a2＋a·b＝0.

又＝1，∴ a·b＝－，

∴向量a与向量b的夹角的余弦值为

cos〈a，b〉＝＝＝－，

又∵0≤〈a，b〉≤π，

∴向量a与向量b的夹角为.

5.(2019·株洲模拟)在Rt△ABC中，点D为斜边BC的中点，|AB|＝8，|AC|＝6，则·等于(　　)

A.48  B.40  C.32  D.16

答案　C

解析　因为点D为斜边BC的中点，

所以＝(＋)，

所以·＝(＋)·

＝2＋·，

又Rt△ABC中，AC⊥AB，

所以·＝2＝||2＝32.

6.若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是(　　)

A.(0,2)   B.(－∞ ,2)

C.(－2,2)   D.(－∞，0)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　a－b＝，由于a－b与b的夹角为钝角，由夹角公式得＝<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.当向量a－b，b共线时，0·m－·1＝0，m＝2，此时a－b＝，与b的夹角不是钝角，不合题意.故m的取值范围是m<0或m>2.

7.(2019·福州模拟)已知点O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)

A.  B.3  C.1  D.2

答案　C

解析　因为＋＋＝0，

所以O为△ABC的重心，

所以△OBC的面积是△ABC面积的，

因为·＝2，

所以||·||cos∠BAC＝2，

因为∠BAC＝60°，

所以||·||＝4，

所以S△ABC＝||·||sin∠BAC＝3，

所以△OBC的面积为1.

8.在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·的值为(　　)

A.1  B.  C.  D.5

答案　D

解析　如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

∵AB＝1，∠ABC＝60°，

∴A.设C(a,0).

∵·＝－1，

∴·＝－＋

＝－1，

解得a＝4.

∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，

∴＝＝×

＝＝.

∴·＝·＝5.

9.(2019·长沙长郡中学模拟)已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为(　　)

A.2  B.3  C.4  D.5

答案　D

解析　设△ABC的外接圆的圆心为O，

则圆的半径为×＝， ＋＋＝0，

故＋＋2＝4＋.

2＝51＋8·≤51＋24＝75，

故≤5，

当，同向共线时取最大值.

10.(2019·三湘名校联考)在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D在AB边上，且＝t＋(1－t)，∠ACD＝60°，则t的值为(　　)

A.   B.－1

C.   D.

答案　A

解析　∵＝t＋(1－t)，∴A，B，D三点共线，

∴以点C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，

设AC＝BC＝1，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，

直线AB的方程为x＋y＝1，直线CD的方程为y＝x，

联立解得x＝，y＝，故D，

故＝，＝(1,0)，＝(0,1)，

故t＋(1－t)＝(t,1－t)，

故＝(t,1－t)，故t＝.

11.(2019·黄山模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则|AP|的最小值为(　　)

A.  B.  C.3  D.

答案　B

解析　设＝3a，＝b，

则△ABC的面积为×3absin ＝2，

解得ab＝，

由＝m＋＝m＋，

且C，P，D三点共线，可知m＋＝1，即m＝，

故＝＋.

以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点，过A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A，D，

B，C，

则＝，＝，

＝，

则2＝2＋2

＝b2＋a2＋ab＋b2＝b2＋a2＋1

≥2＋1＝ab＋1＝3.

故的最小值为.

12.(2019·天津六校联考)已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且＋＝λ，则λ的值为(　　)

A.  B.－  C.  D.－

答案　D

解析　如图所示，O是锐角△ABC的外心，D，E分别是AB，AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，

设△ABC外接圆半径为R，

则||＝R，由图得，＝＋，

则·＝·(＋)＝·

＝·＝－2＝－||2，

同理可得，·＝－||2，

由＋＝λ得，

·＋·＝λ2，

所以－·||2－·||2＝λ2，

则cos B·||·＋cos C·||·

＝－2λ||2，①

在△ABC中，由正弦定理得＝＝2R，

代入①得，2Rcos B||＋2Rcos C||＝－2λR2，

则cos B||＋cos C||＝－λR，②

由正弦定理得，||＝2Rsin C，||＝2Rsin B，

代入②得，2Rsin Ccos B＋2Rcos Csin B＝－λR，

所以2sin(C＋B)＝－λ，即2sin ＝－λ，解得λ＝－.

13.(2019·洛阳模拟)已知向量a＝(1，－1)，b＝(t,2)，若(a＋b)∥(a－b)，则实数t＝________.

答案　－2

解析　向量a＝(1，－1)，b＝(t,2)，a＋b＝(1＋t,1)，

a－b＝(1－t，－3)，根据(a＋b)∥(a－b)得，

－3(1＋t)＝1－t，解得t＝－2.

14.(2019·海淀模拟)已知向量a，b满足＝5，＝6，＝4，则向量b在向量a上的投影为________.

答案　－1

解析　|a|＝5，|a－b|＝6，

|a＋b|＝4，所以

所以a·b＝－5，

则向量b在向量a上的投影为＝＝－1.

15.(2019·大庆模拟)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝________.

答案　3

解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，根据已知条件可知A(0,0)，B(4,0)，C(－1，).

根据外心的几何性质可知W在直线x＝2上.

AC中点坐标为，AC的斜率为－，

故AC中垂线的斜率为，

故中垂线所在方程为y－＝，令x＝2，

解得W.

由＝λ1＋λ2，

得＝λ1＋λ2，

解得λ1＝，λ2＝，所以2λ1＋λ2＝＋＝3.

16.已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________.

答案　

解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，

设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，

故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，

则＋＝(2－2λ，2－4λ)，

∴|＋|＝

＝，0≤λ≤1，

当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，

当λ＝时，|＋|取得最小值为，

∴|＋|∈.