高中数学高考第1部分 板块3 基础考点练透提速不失分 第2讲 不等式(1)

第2讲　不等式

1.(2019·武汉联考)下列命题中正确的是(　　)

A.若a>b，则ac2>bc2

B.若a>b，c<d，则>

C.若a>b，c>d，则a－c>b－d

D.若ab>0，a>b，则<

答案　D

解析　对于A选项，当c＝0时，不成立，故A选项错误.当a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1时，<，故B选项错误.当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C选项错误.

2.已知a>b>0，有下列命题：

①若－＝1，则a－b<1；

②若a2－b2＝1，则a－b<1；

③若a3－b3＝1，则a－b<1；

④若a4－b4＝1，则a－b<1；

其中真命题的个数为(　　)

A.1  B.2  C.3  D.4

答案　C

解析　①取a＝4，b＝1，则－＝1，但a－b>1，故①错；

②因为a2－b2＝1＝，a>b>0，

所以0<a－b<a＋b，因此a－b＝<1，即②正确；

③因为a3－b3＝1＝>(a－b)·(a－b)2，所以a－b<1，故③正确；

④因为a4－b4＝1＝

＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)，

由a>b>0，得0<a－b<(a＋b)(a2＋b2)，

所以a－b＝<1，故④正确.

3.(2019·湘潭模拟)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是(　　)

A.1  B.16  C.20  D.22

答案　B

解析　由题意画出约束条件所表示的可行域，

如图所示(阴影部分含边界)，

结合图象可知当l：2x＋y＝0平移到过点A时，目标函数取得最大值，

又由解得A，此时目标函数的最大值为zmax＝16.

4.(2019·江南十校联考)已知实数x满足>1，则函数y＝8x＋的最大值为(　　)

A.－4  B.8  C.4  D.0

答案　D

解析　由>1，求得0<x<，

从而得到0<1－2x<1，

y＝8x＋＝4(2x－1)＋＋4

＝－＋4≤－4＋4＝0，

当且仅当x＝时，上式取等号.

5.(2019·黄山模拟)已知实数x，y满足则的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　画出x，y满足的可行域如图阴影部分(含边界)，如下图：

由解得B(2,0)，由解得

C，可看作定点A(－1，－1)与可行域内的动点P(x，y)间的斜率，当动点P在B处时，取最小值为，当动点P在C处时，取最大值为＝，故≤≤.

6.(2019·福建四校联考)若x，y满足约束条件且向量a＝(3,2)，b＝(x，y)，则a·b的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　因为a＝(3,2)，b＝(x，y)，所以a·b＝3x＋2y，

设z＝3x＋2y，作出约束条件所表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界).

由z＝3x＋2y，则y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，由图象可知，当直线y＝－x＋经过点B时，直线y＝－x＋在y轴上的截距最大，此时z最大，由解得x＝y＝1，即B(1,1)，此时zmax＝3×1＋2×1＝5，

经过点A时，直线y＝－x＋在y轴上的截距最小，此时z最小，由解得x＝y＝，

即A，此时zmin＝3×＋2×＝，

则≤z≤5.

7.(2019·柳州模拟)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种.已知4辆大型货车与5辆小型货车的运费之和少于22万元，而6辆大型货车与3辆小型货车的运费之和多于24万元.则2辆大型货车的运费与3辆小型货车的运费比较(　　)

A.2辆大型货车运费贵   B.3辆小型货车运费贵

C.二者运费相同   D.无法确定

答案　A

解析　设大型货车每辆运费x万元，小型货车每辆运费y万元，依题意得

作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.

可知z＝2x－3y过C时，z最小.

∴z>2×3－3×2＝0，即2x>3y.

8.(2019·德阳模拟)已知实数x，y满足若y≥k(x＋1)－1恒成立，那么k的取值范围是(　　)

A.   B.

C.[3，＋∞)   D.

答案　D

解析　作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)，其中M(0,2)，N(1,0).

则由图象知x≥0，由不等式y≥k(x＋1)－1恒成立，

得k(x＋1)≤1＋y，即k≤恒成立，

设z＝，

所以k≤zmin，

则z的几何意义是平面区域内的点与定点A(－1，－1)连线的斜率，

由图象知AN的斜率最小，

此时z的最小值为z＝＝，即k≤，

即实数k的取值范围是.

9.(2019·株洲模拟)已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是(　　)

A.   B.

C.3   D.

答案　A

解析　作出可行域，为图中四边形ABCD及其内部，

由图象得A(1,1)，B(5,1)，C(2.5,3.5)，D(1,2)四点共圆，BD为直径，

所以|MN|的最大值为|BD|＝＝，选A.

10.(2019·九江模拟)设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by的最小值为1，则＋的最小值为(　　)

A.7＋2   B.7＋2

C.3＋2   D.3＋2

答案　D

解析　画出不等式组表示的可行域如图阴影部分(含边界)，

当直线z＝ax＋by(a>0，b>0)过直线y＝1和2x－y－3＝0的交点(2,1)时，z有最小值为1，

∴2a＋b＝1，＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当a＝1－，b＝－1时等号成立.

11.(2019·湖南五市十校联考)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)

A.3  B.  C.1  D.0

答案　C

解析　由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，

得－＋＝1≥，

当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值，

又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，

所以此时c＝12b2，

所以＋－＝≤＝1，

当且仅当b＝1时等号成立.故最大值为1.

12.已知不等式组表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(x，y)恰有3个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点)，则m的值是(　　)

A.1  B.2  C.3  D.4

答案　B

解析　根据题意可知m>0，又m是整数，

所以当m＝1时，平面区域M为

此时平面区域M内只有整点(0,0)，(1,0)，共2个，

不符合题意；

当m＝2时，平面区域M为

此时平面区域M内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)，

共3个，符合题意；

当m＝3时，平面区域M为

此时平面区域M内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共5个，不符合题意；

依次类推，当m>3时，平面区域M内的整点一定大于3个，不符合题意.

综上，整数m的值为2.

13.(2019·安徽模拟)已知实数x，y满足其中m>0，若z＝2x＋y的最小值为1，则实数m的值为________.

答案　

解析　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，联立直线方程可得

A(1，－3m)，B，C(1,2)，

平移直线z＝2x＋y，由图可知，

当直线z＝2x＋y过点A时，z有最小值，即2－3m＝1，解得m＝.

14.已知实数x，y满足不等式组则目标函数z＝4x2＋y2的最大值与最小值之和为________.

答案　

解析　令t＝2x，则x＝，

原可行域等价于作出可行域如图(阴影部分含边界)所示，

z＝4x2＋y2＝t2＋y2的几何意义是可行域内的点P(t，y)到原点O的距离d的平方，由图可知，当点P与点C重合时，d取最大值；d的最小值为点O到直线AB：t－y－1＝0的距离，又C，故zmax＝＋1＝，zmin＝2＝，所以z＝4x2＋y2的最大值与最小值之和为.

15.(2019·榆林模拟)已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则＋的最小值为________.

答案　2

解析　∵正数x，y满足x2＋y2＝1，令z＝＋>0，

可得z2＝＋＋＝＋＋

＝2＋＋＋≥2＋2＋＝4＋，

当且仅当＝即x＝y时取等号，

而由题意可得1＝x2＋y2≥2xy，可得≥2，

当且仅当x＝y时取等号，∴z2≥4＋4＝8，

∴z≥2，当且仅当x＝y时取等号，

∴＋的最小值为2.

16.(2019·乐山模拟)已知实数x，y满足x>1，y>0且x＋4y＋＋＝11.则＋的最大值为________.

答案　9

解析　由x＋4y＋＋＝11，

得＋＝10－[(x－1)＋4y]，

则2＝10－[(x－1)＋4y]＝10－

≤10－(5＋2)＝10－9，

当且仅当＝，即2y＝x－1>0时成立，

令t＝＋，则有t2≤10t－9，解得1≤t≤9，

故＋的最大值为9.