高中数学高考第1部分 板块3 基础考点练透提速不失分 第3讲 平面向量(1)

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第3讲　平面向量1.(2019·佛山模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a⊥(2a＋b)，则k等于(　　)A.－8  B.－6  C.6  D.8答案　A解析　∵a＝(2,1)，b＝(－1，k)，∴2a＋b＝(3,2＋k)，∵a⊥(2a＋b)，则a·＝6＋2＋k＝0，解得k＝－8.2.(2019·福建三校联考)若平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且a＝，＝2，则等于(　　)A.5  B.3  C.18  D.25答案　A解析　∵a＝，∴|a|＝1，又a·＝3⇒2＋a·b＝3⇒a·b＝2，∴(a＋b)2＝2＋2a·b＋2＝1＋4＋20＝25，∴＝5.3.(2019·乐山模拟)如图所示，AD是△ABC的中线，O是AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为(　　)A.－   B.C.－   D.答案　A解析　由题意知＝(＋)＝×＝(－)＋＝－，则λ＝，μ＝－，故λ＋μ＝－.4.(2019·宜昌模拟)已知＝1，＝，且a⊥，则向量a与向量b的夹角为(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　∵ a⊥，∴ a·＝0，即a2＋a·b＝0.又＝1，∴ a·b＝－，∴向量a与向量b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝＝＝－，又∵0≤〈a，b〉≤π，∴向量a与向量b的夹角为.5.(2019·株洲模拟)在Rt△ABC中，点D为斜边BC的中点，|AB|＝8，|AC|＝6，则·等于(　　)A.48  B.40  C.32  D.16答案　C解析　因为点D为斜边BC的中点，所以＝(＋)，所以·＝(＋)·＝2＋·，又Rt△ABC中，AC⊥AB，所以·＝2＝||2＝32.6.若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是(　　)A.(0,2)   B.(－∞ ,2)C.(－2,2)   D.(－∞，0)∪(2，＋∞)答案　D解析　a－b＝，由于a－b与b的夹角为钝角，由夹角公式得＝<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.当向量a－b，b共线时，0·m－·1＝0，m＝2，此时a－b＝，与b的夹角不是钝角，不合题意.故m的取值范围是m<0或m>2.7.(2019·福州模拟)已知点O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)A.  B.3  C.1  D.2答案　C解析　因为＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以△OBC的面积是△ABC面积的，因为·＝2，所以||·||cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以||·||＝4，所以S△ABC＝||·||sin∠BAC＝3，所以△OBC的面积为1.8.在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·的值为(　　)A.1  B.  C.  D.5答案　D解析　如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.∵AB＝1，∠ABC＝60°，∴A.设C(a,0).∵·＝－1，∴·＝－＋＝－1，解得a＝4.∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，∴＝＝×＝＝.∴·＝·＝5.9.(2019·长沙长郡中学模拟)已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为(　　)A.2  B.3  C.4  D.5答案　D解析　设△ABC的外接圆的圆心为O，则圆的半径为×＝， ＋＋＝0，故＋＋2＝4＋.2＝51＋8·≤51＋24＝75，故≤5，当，同向共线时取最大值.10.(2019·三湘名校联考)在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D在AB边上，且＝t＋(1－t)，∠ACD＝60°，则t的值为(　　)A.   B.－1C.   D.答案　A解析　∵＝t＋(1－t)，∴A，B，D三点共线，∴以点C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，设AC＝BC＝1，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，直线AB的方程为x＋y＝1，直线CD的方程为y＝x，联立解得x＝，y＝，故D，故＝，＝(1,0)，＝(0,1)，故t＋(1－t)＝(t,1－t)，故＝(t,1－t)，故t＝.11.(2019·黄山模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则|AP|的最小值为(　　)A.  B.  C.3  D.答案　B解析　设＝3a，＝b，则△ABC的面积为×3absin ＝2，解得ab＝，由＝m＋＝m＋，且C，P，D三点共线，可知m＋＝1，即m＝，故＝＋.以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点，过A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，D，B，C，则＝，＝，＝，则2＝2＋2＝b2＋a2＋ab＋b2＝b2＋a2＋1≥2＋1＝ab＋1＝3.故的最小值为.12.(2019·天津六校联考)已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且＋＝λ，则λ的值为(　　)A.  B.－  C.  D.－答案　D解析　如图所示，O是锐角△ABC的外心，D，E分别是AB，AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，设△ABC外接圆半径为R，则||＝R，由图得，＝＋，则·＝·(＋)＝· ＝·＝－2＝－||2，同理可得，·＝－||2，由＋＝λ得，·＋·＝λ2，所以－·||2－·||2＝λ2，则cos B·||·＋cos C·||·＝－2λ||2，①在△ABC中，由正弦定理得＝＝2R，代入①得，2Rcos B||＋2Rcos C||＝－2λR2，则cos B||＋cos C||＝－λR，②由正弦定理得，||＝2Rsin C，||＝2Rsin B，代入②得，2Rsin Ccos B＋2Rcos Csin B＝－λR，所以2sin(C＋B)＝－λ，即2sin ＝－λ，解得λ＝－.13.(2019·洛阳模拟)已知向量a＝(1，－1)，b＝(t,2)，若(a＋b)∥(a－b)，则实数t＝________.答案　－2解析　向量a＝(1，－1)，b＝(t,2)，a＋b＝(1＋t,1)，a－b＝(1－t，－3)，根据(a＋b)∥(a－b)得，－3(1＋t)＝1－t，解得t＝－2.14.(2019·海淀模拟)已知向量a，b满足＝5，＝6，＝4，则向量b在向量a上的投影为________.答案　－1解析　|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，所以所以a·b＝－5，则向量b在向量a上的投影为＝＝－1.15.(2019·大庆模拟)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝________.答案　3解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，根据已知条件可知A(0,0)，B(4,0)，C(－1，).根据外心的几何性质可知W在直线x＝2上.AC中点坐标为，AC的斜率为－，故AC中垂线的斜率为，故中垂线所在方程为y－＝，令x＝2，解得W.由＝λ1＋λ2，得＝λ1＋λ2，解得λ1＝，λ2＝，所以2λ1＋λ2＝＋＝3.16.已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________.答案　解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，则＋＝(2－2λ，2－4λ)，∴|＋|＝＝，0≤λ≤1，当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，∴|＋|∈.