河北省廊坊市大城县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案）

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河北省廊坊市大城县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意，选项错误；
B、，整理得，是一元二次方程，符合题意，选项正确；
C、是分式方程，不符合题意，选项错误
D、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．解题关键是熟练掌握其概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．
2．下列图案中，是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题关键是熟练掌握其定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3．在抛物线上的一个点是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐项检验即可．
【详解】解：A. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意；
B. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意；
C. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意；
D. 当时，，所以点在该抛物线上，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与抛物线的位置关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
4．如图，该图形在绕点按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将该图形平分成五部分，每部分被分成的圆心角是，因为圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，据此即可得到答案．
【详解】解：将该图形平分成五部分，每部分被分成的圆心角是，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
因而A、C、D选项都符合题意，
旋转角为时，旋转后不能与自身重合，B选项不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
5．一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：），则其俯视图的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据主视图与左视图可得此长方体的俯视图是长宽分别为和的长方形，即可求出其面积．
【详解】解：根据主视图与左视图可得，此长方体的俯视图是长宽分别为和的长方形，
俯视图的面积，
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，根据题意得出俯视图的长与宽是解题关键．
6．下列事件中，是随机事件的是（    ）
A．通常加热到100℃，水沸腾
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．掷一次骰子，向上一面的点数大于6
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】D
【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数大于6，是不可能事件，不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．
7．如图，，分别与相切于，两点，，则等于（    ）

A．55° B．60° C．45° D．70°
【答案】B
【分析】连接，根据切线的性质以及四边形内角和求得，进而根据圆周角定理求得．
【详解】解：如图，连接，

分别与相切于两点，
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，求得是解本题的关键．
8．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（  　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果人参加了这次聚会，则每个人需握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手次.
【详解】设人参加了这次聚会，则每个人需握手次，
依题意，可列方程.
故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用.
9．反比例函数的图象如图所示，现有以下结论：①常数；②在每个象限内，随的增大而增大；③若，在图象上，则；④若在图象上，则也在图象上．其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】解：由反比例函数的图象可知，，故①错误；
当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；
∵，在图象上，且，在每三象限内，y随x的增大而减小，
∴，故③正确；
将代入得到，将代入得到，
故点在图象上，则点也在图象上，故④正确，
综上，③④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
10．的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15，则的边的长为（    ）
A．15 B．36 C．39 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质得到相似比，求出的三边长，即可得到答案．
【详解】解：的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15，
与的相似比为，
的三边长分别为，，，
的边的长为或或，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
11．二次函数的对称轴是（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次函数对称轴公式计算即可．
【详解】解： 中，，，
所以对称轴为：，
故答案为：C．
【点睛】本题考查二次函数对称轴的计算，需要熟记二次函数对称轴计算公式．
12．观察下表，一元二次方程的解的范围是（    ）

















0.09
0.34
0.61

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．
【详解】解：时，，
时，，
一元二次方程的解的范围是，
故选C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
13．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，颜色搭配正确的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
【详解】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．
经过搭配所能产生的结果如下：

Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则    的长为（　　）

A． B． C．2π D．
【答案】D
【详解】分析：先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．
详解：连接OD，

∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长== ，
故选D．
点睛：本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
15．一个用电器的电阻是可调节的，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示，则这个用电器功率的范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，利用反比例函数的性质分析可知随的增大而减小，及电阻越大功率越小，将，代入解析式求解即可得出答案．
【详解】根据物理中电学知识可知，当电压为时，，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，；当时，，
∴用电器功率的范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握物理公式及反比例函数的性质是解题的关键．
16．二次函数（，，为常数，且）中，与的部分对应值如下表：


0
1
2


2
3
2

结论I：；
结论II：当时，的值随值的增大而减小；
结论III：是方程的一个根．
其中说法正确的是（    ）A．结论I、II正确，结论III错误 B．结论II、III正确，结论I错误
C．结论都错误 D．结论都正确
【答案】D
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：（1）由图表中数据可得出：时，，和时，，
二次函数开口向下，；
又时，，
，所以，故（I）正确；
（2）二次函数开口向下，且对称轴为，
当时，的值随值的增大而减小，故（II）正确；
（3）时，，
，
，
，
，
时，，

解得：
当时，方程，左边所以是方程的一个根，故（III）正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

二、填空题
17．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则______．
【答案】
【分析】先化为一般形式，根据一元二次方程的一般形式，得出的值，进而即可求解．
【详解】解：
整理得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）．

三、解答题
18．如图，已知是的直径，点、在上，，，过点作，垂足为，延长交于点．

（1）是等边三角形吗？______（选填“是”或“不是”）
（2）弦和所围成的图形（阴影部分）的面积______
【答案】     是    
【分析】（1）根据垂径定理可以得到，结合可得到，从而得到是等边三角形；
（2）先求出三角形的面积，再求出扇形的面积，利用扇形的面积减去三角形的面积即可得到答案．
【详解】解：（1）如下图所示，连接
∵，
∴，
∵，
∴

∴，
∵，
∴是等边三角形，
故答案为：是；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理．

四、填空题
19．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，．

（1）点在抛物线上，则______；
（2）将绕点旋转得，交轴于点，则抛物线的解析式为；将绕点旋转得，交轴于点，则抛物线的解析式为______；……
（3）如此进行下去，直至得，若在第13段抛物线上，则______
【答案】     2          2
【分析】（1）将点代入抛物线：中，即可求出的值；
（2）根据抛物线，求出，再利用旋转的性质得到、，结合二次函数交点式即可求出抛物线的解析式；
（3）由（2）规律推出抛物线与轴的交点为、，图象在开口向下，得到抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式即可求出的值．
【详解】解：（1）将点代入抛物线：中，
，
故答案为：2；
（2）抛物线：，
抛物线与轴的交点为：、，
，
将绕点旋转得，交轴于点，
,
，
，
抛物线的解析式为，
将绕点旋转得，交轴于点，
,
抛物线的解析式为，
故答案为：；
（3）由（2）可知，抛物线与轴的交点为：、，图象开口向下；
抛物线与轴的交点为：、，图象开口向上；
抛物线与轴的交点为：、，图象开口向下；
……
如此进行下去，直至得，则抛物线与轴的交点为、，图象开口向下；
则抛物线的解析式为，
若在第13段抛物线上，
则，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，旋转的性质，二次函数交点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．

五、解答题
20．（1）解下列方程：①；②
（2）已知关于的一元二次方程的两实数根为，，求的值．
【答案】（1）①，，②，；（2）
【分析】（1）①直接根据平方法即可求解；②先将移到方程左边，再根据因式分解法求解；
（2）先根据根与系数的关系求出和，再根据多项式乘以多项式计算出的结果，最后代入求值即可．
【详解】解：（1）①



，
②


或，
，
（2）∵关于的一元二次方程的两实数根，，
∴，，
∴
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．

(1)求密度关于体积的函数解析式；
(2)当时，求该气体的密度．
【答案】(1)
(2)1

【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．
【详解】（1）设密度关于体积的函数解析式为，
把点A的坐标代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
（2）当时，（）．
即此时该气体的密度为1．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键．
22．已知抛物线的解析式为．
(1)求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，

【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即即可；
（2）根据题意，令，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与轴必有两个不同的交点.
（2）解：把代入中，得
把代入中，得，
∵抛物线与直线的交点在轴，
∴，
解得，
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．
23．如图，已知的边，，边上的高．

(1)求的长；
(2)如果有一个正方形的边在上，另外两个顶点分别在，上，求这个正方形的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据勾股定理即可分别求得、的长，据此即可解答；
(2)根据相似三角形的判定与性质及矩形的判定与性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，，，
，，
；
（2）解：四边形是正方形，边在边上，点在边上，点在边上，
，，
，
，
又，
，
四边形是矩形，
，
设正方形的边长为x，则，
解得，
∴正方形的面积为：
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键
24．一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为：；
（2）解： 画树状图，如图所示：

共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
25．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：

（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1：并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．并写出点B的对应点B2的坐标．
（3）△ABC内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标．
【答案】（1）见解析，点B的对应点B1的坐标为（3，1）；（2）见解析，点B的对应点B2的坐标为（2，﹣6）；（3）M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标（﹣2a，﹣2b）．
【分析】（1）将三个顶点分别顺时针旋转90°得到其对应的点，然后首尾顺次连接即可，继而根据直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）分别作出三个顶点位似变换的对应点，再首尾顺次连接即可，继而根据直角坐标系写出点B2的坐标；
（3）根据位似变换的定义即可得到答案．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求，其中点B的对应点B1的坐标为（3，1）．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点B的对应点B2的坐标为（2，﹣6）；
（3）M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标（﹣2a，﹣2b）．
【点睛】本题考查作图—位似变换，旋转变换，解题的关键是熟练掌握位似变换和旋转变换的步骤及性质作出正确的图形．
26．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为．  

(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？
(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
【答案】(1)
(2)能通过
(3)不能通过

【分析】（1）抛物线的解析式为，根据E点及D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；
（2）当时代入（1）的解析式求出y的值和高作比较，就求出结论；
（3）据题意，求出当或时，对应的y值，与高相比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意，．
设抛物线的解析式为，把或代入得
．
得 ．
抛物线的解析式为．
（2）解：根据题意，把代入解析式，  
得．
∵，
∴货运卡车能通过
（3）解：根据题意，或，  
把代入解析式，
得．
∵，
∴货运卡车不能通过
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．