高中数学高考55第九章 平面解析几何 9 2　两条直线的位置关系

§9.2　两条直线的位置关系

1．两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔    ＝    .

(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

②两条直线垂直：

(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，

则有l1⊥l2⇔    ＝    .

(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

(2)两条直线的交点

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

2．几种距离

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离

|P1P2|＝.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d＝.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.

概念方法微思考

1．若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？

2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　 　)

(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　 　)

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　 　)

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　 　)

(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　 　)

题组二　教材改编

2．[P110B组T2]已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)

A.  B．2－  C.－1  D.＋1

3．[P101A组T10]已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.

4．[P110B组T1]若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．

题组三　易错自纠

5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)

A．2   B．－3

C．2或－3   D．－2或－3

6．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．

7．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.

题型一　两条直线的平行与垂直

例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.

(1)试判断l1与l2是否平行；

(2)当l1⊥l2时，求a的值．

跟踪训练1 (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)

A．－   B．0

C．－或0   D．2

(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

题型二　两直线的交点与距离问题

1．(2018·西宁调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)

A．－  B.  C．－  D.

2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

3．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．

4．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________________．

题型三　对称问题

命题点1　点关于点中心对称

例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．

命题点2　点关于直线对称

例3　如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．3   B．6

C．2   D．2

命题点3　直线关于直线的对称问题

例4　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．

跟踪训练2 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．

妙用直线系求直线方程

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．

一、平行直线系

例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．

二、垂直直线系

例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

三、过直线交点的直线系

例3 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)

A．平行   B．垂直

C．相交但不垂直   D．不能确定

2．若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)

A．－10  B．－2  C．0  D．8

4．过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是(　　)

A．2x－y＋8＝0   B．x－2y＋7＝0

C．x＋2y＋4＝0   D．x＋2y－1＝0

5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)

A.   B．4

C.   D．2

6．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 (　　)

A．(0,4)   B．(0,2)

C．(－2,4)   D．(4，－2)

7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．

8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝____.

9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．

10．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．

11．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．

(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.

12．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

13．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)

A．(－2,4)   B．(－2，－4)

C．(2,4)   D．(2，－4)

14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)

A.  B.  C．2  D．2

15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)

A．4x＋2y＋3＝0   B．2x－4y＋3＝0

C．x－2y＋3＝0   D．2x－y＋3＝0

16．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程．