高中数学高考第九章 9 6双曲线-学生版

这是一份高中数学高考第九章 9 6双曲线-学生版，共13页。试卷主要包含了双曲线定义，双曲线的标准方程和几何性质，已知直线l与双曲线C，已知M是双曲线C，已知点A，B分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn<0)．
例题解析
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( )
【例2】1、若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B．5
C.eq \r(2) D．2
2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq \r(3)，则C的实轴长为( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C．4 D．8
3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq \f(x2,4)＝1
4．设双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
题型二 双曲线的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹方程
【例3】 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)．
命题点3 利用定义解决焦点三角形问题
【例5】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2＝________.
【变式练习】
1、本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
【同步练习】(1)已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.eq \r(37)＋4 B.eq \r(37)－4
C.eq \r(37)－2eq \r(5) D.eq \r(37)＋2eq \r(5)
(2)设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(9,4) D．3
题型三 双曲线的几何性质
【例6】(1)已知椭圆C1：eq \f(x2,m2)＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：eq \f(x2,n2)－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)满足关系式e2＝1＋k2.
【同步练习】1、已知F1，F2是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，则E的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(3,2) C.eq \r(3) D．2
题型四 直线与双曲线的综合问题
【例7】已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【同步练习】1、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D．3
2、已知双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
课后练习
1．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)＝1
2．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，eq \r(3))
C．(0,3) D．(0，eq \r(3))
3．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为( )
A．16 B．20 C．21 D．26
4．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(F2M,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，且|eq \(MF1,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \(MF2,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5)－1 B.eq \f(\r(3)＋1,2)
C.eq \f(\r(5)＋1,2) D.eq \r(3)＋1
5．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点．若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
6．已知椭圆eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B．1 C.eq \r(3) D．2
7．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
8．已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋eq \r(2)) D．(2,1＋eq \r(2))
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝________；b＝________.
10．已知点A，B分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．
11．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
12．已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6eq \r(6))．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)