课后素养落实(三)　向量的减法运算

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)

A．－＝0　　　　 B．－＝

C．－＝   D．＋＝0

C　[因为四边形ABCD是平行四边形，

所以＝，－＝0，

－＝＋＝，

－＝，

＋＝＋＝0，故只有C错误．]

2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)

A．a＋b   B．－a＋(－b)

C．a－b   D．b－a

B　[如图，∵＝＋＝a＋b，

∴＝－＝－a－b．]

3．已知非零向量a与b同向，则a－b(　　)

A．必定与a同向

B．必定与b同向

C．必定与a是平行向量

D．与b不可能是平行向量

C　[a－b必定与a是平行向量．]

4．(多选题)下列各式中能化简为的是(　　)

A．(－)－

B．－(＋)

C．－(＋)－(＋)

D．－－＋

ABC　[选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0＝；选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝；选项D中，－－＋＝＋＋＝2＋．]

5．(多选题)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是(　　)

A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同

B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反

C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|

D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同

ABD　[当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．]

二、填空题

6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________．

0　[因为D是边BC的中点，

所以－＋

＝＋－

＝－＝0．]

7．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．(用a，b，c表示)

a－b＋c　[由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，

所以＝＝a－b，

所以＝＋＝a－b＋c．]

8．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．

[2,6)　[根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6．]

三、解答题

9．已知点B是平行四边形ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及．

[解]　∵四边形ACDE为平行四边形，

∴＝＝c；

＝－＝b－a；

＝－＝c－a；

＝－＝c－b；

＝＋＝b－a＋c．

1．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)

A．8　　　B．4　　　C．2　　　D．1

C　[根据|＋|＝|－|可知，

△ABC是以A为直角的直角三角形，∵||2＝16，

∴||＝4，又∵M是BC的中点，

∴||＝||＝×4＝2．]

2．(多选题)对于菱形ABCD，下列各式正确的是(　　)

A．＝ 

B．||＝||

C．|－|＝|＋| 

D．|＋|＝|－|

BCD　[菱形ABCD中，如图，||＝||，∴B正确．

又|－|＝|＋|＝|＋|＝2||，

|＋|＝|＋|＝2||＝2||，

∴C正确；又|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||＝||，∴D正确；A肯定不正确，故选BCD．]

3．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|a＋b|＝________，△AOB的面积为________．

2　　[由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a＋b，＝a－b，

由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，

∴△OAB为正三角形，

∴|a＋b|＝||＝2×＝2，

S△OAB＝×2×＝．]

4．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________．

　[如图，延长CB到点D，使CB＝BD，连接AD．

在△ABD中，AB＝BD＝1，

∠ABD＝120°，

－＝＋

＝＋＝．

易求得AD＝，

即||＝．

所以|－|＝．]

如图，在▱ABCD中，＝a，＝b．

(1)用a，b表示，；

(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？

(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?

(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？

[解]　(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b．

(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝．

∵a＋b与a－b所在直线互相垂直，∴AC⊥BD．

又四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|．

(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||．

∵矩形的两条对角线相等，

∴当a与b所在直线互相垂直，

即AD⊥AB时，满足|a＋b|＝|a－b|．

(4)不可能．因为▱ABCD的两条对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．