随机变量及其分布-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

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概率统计-随机变量及其分布专题综述随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题，离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算常常相结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布. 注重基础，回归教材，在着重理解知识本身内涵的同时，还要注意知识的灵活性与应用性. 专题探究   探究1：独立重复与二项分布   解决二项分布问题的关键：二项分布的判断：判断一个随机变量是否服从二项分布，应判断两个方面，一是判断是否为次独立重复试验，二是判断随机变量是否为这次独立重复试验中某事件发生的次数.还要注意二项分布的期望与方差公式,.特别的，若，又称随机变量服从两点分布，则,.         (2022 沈阳) 北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜、打破4项世界纪录、创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为第二批占，次品率为为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查.从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.【审题视点】考查离散型随机变量 【思维引导】由题知，随机变量的所有可能的取值为得出其对应的概率，可得随机变量的分布列和数学期望. 【规范解析】解：由题知，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2， ，
，
，随机变量的分布列为X0120.360.480.16 随机变量的数学期望【探究总结】服从二项分布解题的一般思路是：根据题意设出随机变量-分析出随机变量服从二项分布-找到参数-写出二项分布的分布列-将值代入求解概率-列出分布列，求期望.             (2021山东省泰安市一模)为了庆祝改革开放40周年，某社区举办有奖答题知识竞赛活动，甲、乙两人分别独立参加该活动，抢答一道题目，甲抢答正确的概率为，乙抢答正确的概率为,(1)甲抢答了4道题目，求至少有3道抢答正确的概率；(2)若甲、乙两人各抢答了2道题,记两人抢答正确题目的数量为,求的分布列及数学期望． 探究2：超几何分布  解决超几何分布的实际应用问题时,应关注: (1)定义:在含有件次品的件产品中,任取件,其中恰有件次品数,则事件发生的概率为,,其中,且称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列,则称随机变量服从超几何分布.(2) 其特点:①对于服从该分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出,如, 可作参考备之。②该分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典概型.        (2020湖北省期末)为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅一户) ,如表6:阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯每月用电范围/度表6
某市随机抽取10个用户同一个月的用电情况,如表7 所示:居民用电编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410表7
(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算居民用电户月用电410度时应交电费多少元。 (2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的用户数的分布列与期望.【审题视点】先结合题干信息及常见的离散型随机变量的分布列得到为超几何分布.【规范解析】解(1)由题意知,居民用电户月用电度时应交电费(元)。
(2)设取到第二阶梯电量的用户数为,可知第二阶梯电量的用户有 户,则可取0,1,2,3,,  ,, 故的分布列如表8:0123   所以【探究总结】本题考查超几何分布，结合超几何分布求解即可.                     (2021湖南省四校联考)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.
 （1）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；（2）现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取件产品，再从这件中任意抽取件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列；（3）已知该生产线原先的年产量为万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入万元，升级后该生产线年产量降为万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.                            探究3：正态分布  解决这类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化，解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及划归思想的运用。 化归思想的运用.(1)熟记，的值。(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间面积为1。(3)正态曲线关于直线对称,从而在关于对称的区间上概率相同。(4) (2021江苏月考试卷)设随机变量，函数没有零点的概率是，则（　　）附：若，则A. 0.1587     B. 0.1359     C. 0.2718      D. 0.3413【审题视点】题干中唯一的关系是，没有零点的概率是0.5，从此关系入手.【思维引导】由已知结合正态曲线的对称性即可求解【规范解析】解：由函数没有零点可得，解得，故.由题意得， 故选：B．【探究总结】正态曲线关于直线对称，及曲线与轴之间的面积为1，并注意下面的结论：（1）（2）（3）             (2021广东省单元测试)随机变量服从正态分布， ​​， ​​​，则的最小值为___________.专题升华解决概率题的基本流程为审题-辨析-列式-计算，第一步是审题，由于概率题通常为实际应用题，所以需要提高阅读理解能力，抓住题中的重要信息，弄清题中事件间的关系，第二步是辨析事件所属概率模型，第三步是将题中数据带入概率公式，最后是计算求解，由此可见辨析概率模型是解题的关键，概率模型选择的正确与否，决定了解题的成败.                    【答案详解】 变式训练1【解析】(1)甲抢答了4道题目，记“至少答对3道”为事件A，(2)由题意的取值为 故X的分布列为：X01234P变式训练2                                          【解析】 抽取的100件产品是一级品的频率是，故从出厂的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，设从出厂所有产品中随机选3件，至少有一件是一级品的事件为则由题意可知10件产品中一级品7件,二级品2件,三级品1件,故的取值范围是 ， ， ， 的分布列为：012P今年利润为：万元，明年预计利润为：万元因为，所以该升级方案合理．变式训练3【答案】【解析】解：，，，∴，∴，∴，当且仅当且时，等号成立，∴的最小值为.