数列的递推公式-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

这是一份数列的递推公式-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义，共10页。试卷主要包含了待定系数法构造等比数列，取对数法构造等比数列等内容，欢迎下载使用。
数列—数列的递推公式专题综述数列的递推公式是求通项公式的重要方法之一，数列的通项是数列部分的基础内容之一，在数列中占有重要地位，在高考中很少独立命题，但求数列的通项公式过程中的归纳、猜想、递推意识却融入数列的试题之中.求数列通项公式的方法有：归纳法、利用求、递推公式推导通项公式、派生数列等，其中递推公式推导通项公式较之其他方法，模型较多，过程体现转化思想，将非特殊数列问题转化为特殊数列问题来解答.复习数列的递推公式特别注意：构造特殊数列求通项，本专题就递推公式的常用的方法进行探究.专题探究探究1：构造等比数列 1.待定系数法构造等比数列答题思路：（1）形如（其中均为常数，）变形为用待定系数法求，即构造以为首项，为公比的等比数列.（2）形如（其中均为常数）变形为用待定系数法求，即构造以为首项，为公比的等比数列.（3）形如 （其中为常数，）①（其中均为常数，）待定系数法求，即构造以为首项，为公比的等比数列说明：若，则，变形为累加法；变形为构造等差数列.②（）待定系数法求，即构造以为首项，为公比的等比数列.说明：其它的形如 的递推公式都可以利用待定系数法构造等比数列，不一一说明.2.取对数法构造等比数列答题思路：形如（）两边同时取对数设，即转化为待定系数法构造等比数列. (2021浙江省台州市模拟) 已知数列满足，若，则数列的通项（   ）A.  B.  C.  D. 【审题视点】已知的值，相邻3项之间的递推关系，尝试变形为的形式.                           【思维引导】，构造等比数列.【规范解析】解：由题意得，，
即，即，即，
又 ，即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
 
 ，
，
则数列的通项为，
故选【探究总结】递推公式往往比较复杂，需要变形简化关系，明确用何种方法求通项公式.函数相邻3项的递推公式，变形后往往会出现 的形式，注意构造等比数列或等差数列.(2021山西省太原市模拟) 已知首项为1的正项数列满足若，则实数的值为（   ）A. 64 B. 60 C. 48 D. 32探究2：构造等差数列构造特殊数列是解决数列问题的重要方法，除构造等比以外，还要熟练的构造等差数列.答题思路：（1）同除法构造等差数列①形如转化为构造数列等差数列；②形如变形为构造等差数列；（2）倒数变换法构造等差数列形如（为常数，）两边取倒数，变形为若即构造等差数列；若，则可利用待定系数法构造等比数列. (2021福建省福州市)数列中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．【审题视点】递推关系为分式结构，联想到等式两边先取倒数，再观察递推公式符合何种类型. 【思维引导】将递推公式两边同时取倒数，变形为，构造等差数列.【规范解析】 解：，，即，又，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，， 不等式化为：，当且仅当时取等号，由，则当时，取最小，最小值为，故答案为：，．【探究总结】求数列通项公式的题目往往会和其它知识点综合考查，求通项公式是解题的第一步.递推关系为分式结构时，可以先想到两边同时取倒数，变形为，转化为数列的递推公式，再构造数列. (2021湖南省四校联考) 已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．探究3：累加法与累乘法累加法与累乘法是递推公式求通项公式的基本方法，递推公式变形后为或的形式，可利用累加法或累乘法求通项公式，注意两种方法求出当时的通项公式，要验证当时，是否满足.说明：与也可用迭代法求通项公式. (2021浙江省温州市模拟) 已知数列满足，，且，则数列的前18项和为（   ） A. 120 B. 174 C. -204 D. 【审题视点】递推公式变形后满足，用累乘法求通项公式；的通项公式中有“周期”，求和时可以相邻3项一起求和，呈现规律性. 【思维引导】递推公式变形为，累乘法或迭代法求出的通项公式，再求出的通项公式，具有周期性，所以数列求和时，可以相邻3项为一“周期”，先求和再汇总.【规范解析】解：，
 故即，，…，故，即，即当时，，，，数列的前18项和为：
 故选： 【探究总结】累加法或累乘法求通项公式时，要注意求出的通项公式是从第几项使用，对于未取到的项需验证. (2021湖北省荆州市高三模拟) 已知数列、满足，，当时，，求数列、的通项公式.                                             专题升华利用数列的递推公式求通项公式，解题方法灵活多样，技巧性较强.在数学思想方法上考查了待定系数法、不完全归纳法、递推思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想等.大致可分为三大类：累加法、累乘法、构造特殊数列，其中构造特殊数列的递推公式的形式有①（其中均为常数，）；②（其中均为常数，）；③其中均为常数）；④ （）；⑥（）；⑦（其中均为常数）；⑧；⑨（）.每一种形式，都有多种求通项公式的方法，不局限于上述探究方法.如常见的形式①②：形式①：（1）待定系数法：上述；（2）累加法：相加得，求出（3）迭代法：形式②（1）当时，，累加法或迭代法；（2）当时，①，累加法或迭代法；②转化为形式①解决；③，待定系数法求出，构造等比数列.掌握由递推公式求通项公式常见的方法，在解题时能够熟练变形，注意细节，快速求出通项公式.            【答案详解】变式训练1 【答案】A.【解析】解：由题意得
，

令，则，两边取对数得，
又，
则数列是首项为，公比为2的等比数列
，
，即，
，由，

故选变式训练2 【答案】B.                                      【解答】解：由得：，，即，数列是首项为，公差为的等差数列，，，即，，数列是单调递减数列，对于，，即，即， 令，，在上单调递增，在，上单调递减，又，，当时，，即，，即实数的取值范围是，，故选：．变式训练3 【解答】解：，，即，，.当时，，故.