数列求和-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

数列—数列求和

专题综述

数列求和是高考的高频考点，考查方式灵活，选择题、填空题、解答题都可以涉及,考查考生的运算求解能力和等价转化能力.除等差、等比数列有求和公式可直接利用以外，其它的数列都要通过其通项公式的结构特征选择适当的方法求和，必要时要进行适当的放缩，变形为特殊数列再求和.数列求和常用的方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、绝对值求和,放缩求和.数列求和除单独考查以外，也会和不等式结合，考查不等式的证明或求解.本专题就几种求和方法，及数列求和与不等式的问题展开探究.

专题探究

探究1：裂项相消法

裂项相消法是数列求和最为灵活的方法，一方面对数列的通项公式进行裂项求和，故要熟悉常见的裂项的形式；另一方面对于本来无法裂项的数列，进行适当放缩使数列可进行裂项求和.常见方法有：

1.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．

①若为等差数列，则，，即分母为同一个等差数列中的两项相乘即可裂项；

②；③；

④；⑤

⑥；⑦；

⑧；⑨

⑩；⑾

2.放缩后裂项

①；②；

③；

④.

(2021浙江省温州市期末)已知数列的前n项和为，满足
（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为求证：；

（3）数列满足，试比较与 的大小，并说明理由.

【审题视点】

第（2）问是数列求和的证明问题，若能直接求出，可以借助单调性；若不能利用常规方法直接求和，可以放缩求和实现证明.第（3）问求数列的前项和，由倒数结构初步判断需裂项相消法求和.                              

【思维引导】

放缩为等比数列求和或将分母变形为两因式相乘的结构，放缩后裂项求和.两式相减得出求和比较大小.

【规范解析】

解：（1），，

由及得，即，

是以2为首项，2为公比的等比数列，

（2）证明：，

，，

，

， 

又
 

 
综上所述：

（3），   

，且，

， ，

，
 

当时，，

【探究总结】

典例1重点考查了裂项相消法求和的两种类型，直接裂项或放缩后裂项.裂项相消的形式较多，灵活性强，需要放缩时，结合上述常见裂项的形式放缩.第（3）问中从递推公式出发进行裂项，凑出，同样在解决已知递推公式，求一个新数列的前项和时，也可以对递推公式变形，变形的同时完成裂项.

(2021福建省漳州市一模)已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，.

（1）若等差数列满足，求，的通项公式；

（2）若___________，求数列的前项和.

在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.

注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.

探究2：数列求和中的分类讨论

数列求和，有些题目需分类讨论，对于分奇偶讨论，或者分段讨论.

答题思路：

1.求数列的前项和：令，明确从第几项开始数列的项为正或为负，如数列的前5项为正，从第6项开始为负，则；

2.数列的通项公式为分段形式：如，求和要分段进行；

3.数列涉及奇偶项问题：数列的奇数项与偶数项的通项公式不一致，求和要分奇偶，求与；

4.数列涉及放缩，若放缩的情况只从第项使用个，求和要分段进行.

5.等比数列公比不明确时，需讨论公比为1或不为1.

(2021湖南省益阳市模拟) 已知数列的前项和是，数列的前项和是，若，，，再从三个条件：①；②，；③，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答.
（1）求数列，的通项公式；
（2）定义：，记，求数列的前项和

【审题视点】

数列的通项公式是分段的形式，求和时要分段进行.

【思维引导】

第（1）问求出数列的通项公式，比较大小后，求出的通项公式，分与两种情况求和.

【规范解析】

解：（1）由，得，

又，则，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
即
若选①当时，，当时，，
当时，满足上式，

若选②由，得，又因为，
所以数列是以20为首项，为公差的等差数列，

若选③
（2）由（1）知，，，
 

则，

当时，，
 

当时，，

综上所述：

【探究总结】

典例2是数列求和中比较典型的分段讨论的求和情况，除此之外，还有求数列的前项和，写出通项公式的分段形式，分段求和.

(2021山东省潍坊市月考) 已知等差数列中，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）设，求的前项和

探究3：数列求和的不等式问题

数列与不等式相结合的考查方向有：一是证明，二是解不等式，三是恒成立问题求参.

答题思路：

1.不等式的证明：

①先求和后放缩型证明数列不等式：利用已知不等结论或性质，，基本不等式，二项式定理.

②先放缩后求和型证明数列不等式：通过放缩将数列变为“可求和数列”，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见（探究一）；放缩时，要注意从第几项适用，若不从第一项放缩，求和要分情况讨论，且放缩方式不唯一，放缩幅度大了，需调整.

③求和后利用函数单调性证明数列不等式：前项和看作关于的函数，利用单调性求最值，证明不等式.

2.解不等式问题：利用常用不等式的解法，如因式分解法解不等式，或者结合单调性解不等式.

3.恒成立问题求参：求出数列的前项和，将恒成立不等式分离参数，构造关于的函数，求最值.

（2022山东省日照市联考）已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足：，当，时，…
求数列，的通项公式；
令，证明：…

【审题视点】

由第（1）的条件初步判断为等比数列，第（2）问用错位相减法求数列的前项和.

【思维引导】

错位相减法求数列的前项和，再放缩证明不等式.

【规范解析】

解：（1）设数列的首项为，公差为，
则：，解得：，

…①
…②
 

①-②得：，，
由于，得常数，，
当时，，得，
又也成立，
 

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以，所以
证明：（2）由（1）得，设前项和为，
①，
 

②
①-②得：，

即…

【探究总结】

数列的解答题中经常出现关于数列前项和的证明，往往数列能够用裂项相消法、错位相减法等方法求和，再进行放缩，证明不等式.有时还有利用数列的项为正，前项和递增，证明其恒大于某个数.

（2021山东济南高三模拟）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值.

专题升华

数列求和是数列中的一种重要题型，高考常考的内容．除上述探究的内容外，其他的方法适用的通项公式的类型，以及运算思路都要熟练掌握.

1.公式法：熟练的应用等差等比数列的前和公式，特别要注意等比数列的公比是否为1.

2.倒序相加法：等差数列的前和公式用倒序相加法推出，理解倒序相加法的思路，在函数部分也会出现.已知，求，不难看出，故可使用倒序相加法求值.

3.错位相减法：若数列 是等差数列，是等比数列，求数列的前 项和，则可以采用错位相减法求和.等比数列的前项和用错位相减法导出.错位相减法使用时，若公比用字母表示，需讨论公比等于1或不等于1.思路清晰，但需运算仔细.

4.裂项相消法：一般对于通项公式为分式结构，可考虑裂项，或者先放缩再裂项（上述）.

5.分组求和法：（1）某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论.

（2）若数列 的通项公式分奇偶项表示时，可以采用分组求和法求数列的前项和；（专题1.2.3 ）

6.并项求和：若数列的通项公式可看作 的结构，可以先求相邻两项的和，再求前项和.

7.含绝对值求和：常见于或的等差数列，求数列的前项和时，要分清数列哪些项为正或为负，分2种情况求和.

8.利用周期性求和：数列中的项具有周期性，可先求出每个周期的和，再求前项和；或通项公式的某个部分具有周期性，如，的周期为4，且数列从第1项开始，每个周期的和为-4.

另外，与数列求和有关的不等式证明问题，还可能和导数结合考查，利用已证结论进行放缩，从而证明不等式（专题1.3.8 探究二）.

【答案详解】

变式训练1

【解答】解：（1）设数列的公比为，则.

，

，解得：或（舍），

又，，，

，

则，，

设数列的公差为，则，

则.

（2）选择①：

，，

则，

.

选择②：

，，

则，

，

.

选择③：由（1）知，

.

，

.

变式训练2

【解答】  解：（1）设等差数列的公差为，
，且，，成等比数列，
，
即，
解得或
当时，，此时，，不成等比数列，
，
，

（2）由（1）得，
当为偶数时，
当为奇数时，
数列的奇数项构成以为首项，以为公比的等比数列;
偶数项构成以8为首项，以16为公比的等比数列.
当为偶数时，数列的前项和
……

当为奇数时，数列的前项和
，
经检验时等式也成立，
所以

变式训练3

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，

由题知 ，

故

又，则，解得，

故.

（2）由（1）知，故

设恰取到的前一项，则

，，

①当时，，

②当时，，

故，

当的的最大值为201.