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(新高考)高考数学二轮复习讲义09《概率、随机变量及其分布列》(解析版)
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这是一份(新高考)高考数学二轮复习讲义09《概率、随机变量及其分布列》(解析版)，共15页。
09 概率、随机变量及其分布列
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
古典概型、几何概型
【2020新课标Ι文】设O为正方形的中心，在中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
1.随机事件的概率、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；
2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数据建模”将会不断加大考查力度.
【2019新课标Ⅱ文】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
【2018新课标Ⅰ】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）
条件概率及相互独立事件的概率
【2020新高考全国5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
【2019新课标Ⅰ】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_________．
【2020天津卷】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.
【2020新课标Ι理19】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
随机变量的分布列、均值与方差
【2018新课标Ⅲ】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）
【2017新课标Ⅱ】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)略．
概率与统计的综合问题
【2016新课标I】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
核心考点一 古典概型、几何概型
1.古典概型的概率公式：
P(A)＝＝.
2.几何概型的概率公式：
P(A)＝.
1.【2020新课标Ι文】设O为正方形的中心，在中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图，从5个点中任取3个有，
,共种不同取法，3点共线有:,共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为．故选A．
2．【2018新课标Ⅰ】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】解法1：设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积，所以，由几何概型的知识知，故选A．
解法2：不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积，区域Ⅲ的面积．根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，，，故选A．
1.【2019新课标Ⅱ文】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，故选B．
2．【2017新课标Ⅰ】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【解析】设正方形的边长为，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为．选B．
核心考点二 条件概率及相互独立事件的概率
1.条件概率.
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.
2.相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).
3.若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A).
1．【2020新高考全国5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为．故选C．
2.【2014新课标Ⅱ】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【解析】根据条件概率公式，可得所求概率为．故选A．
3．【2020新课标Ι理19】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【解析】（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为：
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，
所以甲赢的概率为．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为．
1．【2019新课标Ⅰ】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是
2.【2020天津卷】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.
【解析】甲、乙两球都落入盒子的概率P＝×＝；设事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是：“甲、乙两球都不落入盒子”，P()＝×＝，所以P(A)＝1－＝.
3．【2019新课标Ⅱ】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
核心考点三 随机变量的分布列、均值与方差
1.独立重复试验与二项分布：
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.
2.超几何分布：
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.
3.离散型随机变量的均值、方差：
(1)离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
n
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).
(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差.
(3)数学期望、方差的性质.
①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
1．【2018新课标Ⅲ】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则=（ ）
A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．由，得
，即，所以，所以．故选B．
2.【2019天津卷】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，故X～B，从而P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})
＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)
＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)
＝×＋×＝.
1．【2017新课标Ⅱ】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数，由二项分布的方差公式可得：．
2. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：
小组
甲
乙
丙
丁
人数
9
12
6
3
(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；
(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.
【解析】(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，
从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C＝45种，
这两名学生来自同一小组的取法共有C＋C＋C＝10(种)，
所以p＝＝.
(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.
X的可能取值为0，1，2.则P(X＝k)＝(k＝0，1，2).
∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
核心考点四 概率与统计的综合问题
1.统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.
2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键：
(1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率；
(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列.
1．【2016新课标I】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列为：
16
17
18
19
20
21
22
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19.
（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，
.
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
2．【2017新课标Ⅲ理】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量(单位：瓶)为多少时，的数学期望达到最大值？
【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知：
，，．
因此的分布列为：
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑，
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
1.为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c构成以2为公比的等比数列.
文科生
理科生
合计
获奖
6
不获奖
合计
400
(1)求a，b，c的值；
(2)填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
(3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】(1)由题意，得(a＋b＋c＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，
而a，b，c构成以2为公比的等比数列，
所以(a＋2a＋4a＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，解得a＝0.005.
则b＝0.010，c＝0.020.
(2)获得“优秀作文”的人数为400×0.005×10＝20.
因为文科生与理科生人数之比为1∶4，所以文科生与理科生人数分别为80，320.
故完成2×2列联表如下：
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
由表中数据可得
K2的观测值k＝≈1.316＜6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
(3)由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005×10＝0.05，
将频率视为概率，所以X可取0，1，2，且X～B(2，0.05).
则P(X＝k)＝C(k＝0，1，2).
故X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(X)＝2×0.05＝0.1).
2.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.
(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：
①P(μ－σ
(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y).
【解析】(1)由题意知，μ＝14，σ＝2，由频率分布直方图得
P(μ－σ0.682 6，
P(μ－2σ
(2)由(1)知P(μ－2σ
所以任取两件产品得到的次品数Y可能值为0，1，2，且Y～B.
则P(Y＝0)＝＝；
P(Y＝1)＝C××＝；
P(Y＝2)＝＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(Y)＝2×＝.)
09 概率、随机变量及其分布列
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
古典概型、几何概型
【2020新课标Ι文】设O为正方形的中心，在中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
1.随机事件的概率、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；
2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数据建模”将会不断加大考查力度.
【2019新课标Ⅱ文】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
【2018新课标Ⅰ】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）
条件概率及相互独立事件的概率
【2020新高考全国5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
【2019新课标Ⅰ】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_________．
【2020天津卷】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.
【2020新课标Ι理19】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
随机变量的分布列、均值与方差
【2018新课标Ⅲ】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）
【2017新课标Ⅱ】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)略．
概率与统计的综合问题
【2016新课标I】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
核心考点一 古典概型、几何概型
1.古典概型的概率公式：
P(A)＝＝.
2.几何概型的概率公式：
P(A)＝.
1.【2020新课标Ι文】设O为正方形的中心，在中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图，从5个点中任取3个有，
,共种不同取法，3点共线有:,共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为．故选A．
2．【2018新课标Ⅰ】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】解法1：设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积，所以，由几何概型的知识知，故选A．
解法2：不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积，区域Ⅲ的面积．根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，，，故选A．
1.【2019新课标Ⅱ文】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，故选B．
2．【2017新课标Ⅰ】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【解析】设正方形的边长为，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为．选B．
核心考点二 条件概率及相互独立事件的概率
1.条件概率.
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.
2.相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).
3.若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A).
1．【2020新高考全国5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为．故选C．
2.【2014新课标Ⅱ】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【解析】根据条件概率公式，可得所求概率为．故选A．
3．【2020新课标Ι理19】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【解析】（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为：
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，
所以甲赢的概率为．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为．
1．【2019新课标Ⅰ】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是
2.【2020天津卷】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.
【解析】甲、乙两球都落入盒子的概率P＝×＝；设事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是：“甲、乙两球都不落入盒子”，P()＝×＝，所以P(A)＝1－＝.
3．【2019新课标Ⅱ】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
核心考点三 随机变量的分布列、均值与方差
1.独立重复试验与二项分布：
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.
2.超几何分布：
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.
3.离散型随机变量的均值、方差：
(1)离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
n
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).
(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差.
(3)数学期望、方差的性质.
①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
1．【2018新课标Ⅲ】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则=（ ）
A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．由，得
，即，所以，所以．故选B．
2.【2019天津卷】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，故X～B，从而P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})
＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)
＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)
＝×＋×＝.
1．【2017新课标Ⅱ】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数，由二项分布的方差公式可得：．
2. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：
小组
甲
乙
丙
丁
人数
9
12
6
3
(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；
(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.
【解析】(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，
从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C＝45种，
这两名学生来自同一小组的取法共有C＋C＋C＝10(种)，
所以p＝＝.
(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.
X的可能取值为0，1，2.则P(X＝k)＝(k＝0，1，2).
∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
核心考点四 概率与统计的综合问题
1.统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.
2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键：
(1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率；
(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列.
1．【2016新课标I】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列为：
16
17
18
19
20
21
22
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19.
（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，
.
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
2．【2017新课标Ⅲ理】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量(单位：瓶)为多少时，的数学期望达到最大值？
【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知：
，，．
因此的分布列为：
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑，
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
1.为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c构成以2为公比的等比数列.
文科生
理科生
合计
获奖
6
不获奖
合计
400
(1)求a，b，c的值；
(2)填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
(3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】(1)由题意，得(a＋b＋c＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，
而a，b，c构成以2为公比的等比数列，
所以(a＋2a＋4a＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，解得a＝0.005.
则b＝0.010，c＝0.020.
(2)获得“优秀作文”的人数为400×0.005×10＝20.
因为文科生与理科生人数之比为1∶4，所以文科生与理科生人数分别为80，320.
故完成2×2列联表如下：
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
由表中数据可得
K2的观测值k＝≈1.316＜6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
(3)由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005×10＝0.05，
将频率视为概率，所以X可取0，1，2，且X～B(2，0.05).
则P(X＝k)＝C(k＝0，1，2).
故X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(X)＝2×0.05＝0.1).
2.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.
(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：
①P(μ－σ
(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y).
【解析】(1)由题意知，μ＝14，σ＝2，由频率分布直方图得
P(μ－σ
P(μ－2σ
(2)由(1)知P(μ－2σ
所以任取两件产品得到的次品数Y可能值为0，1，2，且Y～B.
则P(Y＝0)＝＝；
P(Y＝1)＝C××＝；
P(Y＝2)＝＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(Y)＝2×＝.)
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