2022-2023学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二上学期期中联考数学试题含答案

  2022年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考

数学试题

一、单选题

1. 设复数满足,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

,.

故选：A.

2. 已知圆锥的表面积等于,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【详解】

设圆锥的底面圆的半径为,母线长为,侧面展开图是一个半圆,,圆锥的表面积为,,故圆锥的底面半径为.

故选：B.

3. 己知直线经过,且在轴上的截距的取值范围为,则直线的斜率的取值范围为（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D.

答案：

A

解析：

由直线在轴上的截距的取值范围为可知直线过的斜率为,过点的斜率,且过点的斜率不存在；

故的斜率或.

故选:A

4. 如图在平行六面体中,相交于,为的中点,设,,,则（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

C

解析：

由已知得,,

故选：C.

5. 同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子,则两枚骰子的点数和为的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

同时抛掷两枚骰子,所有可能的结果有种；

其中点数和为的有,共种情况,

点数和为的概率.

故选：C.

6. 直线被圆截得的弦长为整数,则满足条件的直线的条数为（    ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

圆的圆心为,直线化为,则直线过定点,∵,故直线被圆截得的弦长范围为,由圆的对称性,故整数弦长的直线条数为条.

又过定点且垂直于轴的直线,即,被圆截得的弦长为,不合题意,故所求直线的条数为条.

故选：A.

7.是的外心,,,则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

答案：

D

解析：

当在上,则为的中点,满足,符合题意,

∴,则；

当不在上,取的中点,连接,则,

则,

同理可得：

∵,

,

联立可得,解得,

故选：D.

8. 已知椭圆的左右焦点为,过的直线与椭圆交于两点,为的中点,,则该椭圆的离心率为（    ）

A. B.  C.  D.

答案：

B

解析：

设则,所以

由于,所以为锐角,故,

在中,由余弦定理得,

因此,故为直角三角形,

所以,

由的周长为,

所以故,

故选：B.

二、多选题

9.是衡量空气质量的重要指标.下图是某地月日到日的日均值（单位：）的折线图,则下列说法正确的是（    ）

A. 这天中日均值的中位数大于平均数

B. 这天中日均值的中位数是

C. 这天中日均值的众数为

D. 这天中日均值前天的方差小于后天的方差

答案：

B、C

解析：

【分析】

将数据从小到大排列,判断中位数,根据平均数公式计算整组数据的平均数与前天、后天的平均数,再由方差公式计算前天、后天的方差.

【详解】

将数据从小到大排序得：,

则中间两个数为,所以中位数为,

平均数为,

所以平均数大于中位数,故A错误,B正确；

所有数据中出现次数最多的数为,所以众数为,C正确；

前天的平均数为,

后天的平均数为,

所以前天的方差为

,

后天的方差为

,

因为,所以前天的方差大于后天的方差,D错误.

故选：BC.

10.某次智力竞赛的一道多项选择题,要求是：“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得分,部分选对的得分,有选错的得分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,下列表述正确的是（    ）

A. 甲同学仅随机选一个选项,能得分的概率是

B. 乙同学仅随机选两个选项,能得分的概率是

C. 丙同学随机选择选项,能得分的概率是

D. 丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是

答案：

A、B、C

解析：

【分析】

对各项中的随机事件,计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数,再计算出相应的概率后可得正确的选项.

【详解】

甲同学仅随机选一个选项,共有个基本事件,分别为,

随机事件“若能得分”中有基本事件,故“能得分”的概率为,故A正确；

乙同学仅随机选两个选项,共有个基本事件,

分别：,

随机事件“能得分”中有基本事件,故“能得分”的概率为,故B正确；

丙同学随机选择选项（丙至少选择一项）,

由A、B中的分析可知共有基本事件种,分别为：

选择一项：；

选择两项：；

选择三项或全选：,,

随机事件“能得分”中有基本事件,

故“能得分”的概率为,故C正确；

丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知：共有基本事件个,

随机事件“能得分”中有基本事件,故“能得分”的概率为,故D错；

故选：ABC.

11. 已知点,且点在圆上,为圆心,则下列结论正确的是（    ）

A. 的最大值为

B. 以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：

C. 当最大时,的面积为

D. 的面积的最大值为

答案：

B、D

解析：

由已知圆心为,半径为,

,,即在圆外,在圆内,

,当且仅当是的延长线与圆的交点时等号成立,所以最大值是,A错；

中点为,圆方程为,

此方程与圆方程相减并化简得,即为两圆公共弦所在直线方程,B正确；

直线的方程为,即,圆心在直线上,到直线的距离的最大值等于圆半径,

,所以的面积的最大值为,D正确；

当的面积为时,,而最大时,是圆的切线,此时,不可能有,因此C错误．

故选：BD．

12. 在中,所对的边为,,边上的高为,则下列说法中正确的是（    ）

A.  B.      C. 的最小值为 D. 的最大值为

答案：

A、B、D

解析：

设边上的高为,则

,,

,即,A正确；

由余弦定理得：,

又,,

,B正确；

,,,,

；

,,,

,C错误,D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13. 样本数据的分位数是_________.

答案：

解析：

因为一共有个数据,所以有,

这个数据从小到大排列为：,

所以这组数据的的分位数是,

故答案为：.

14. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为_________.

答案：

解析：

根据投影的定义可得：

在方向上的投影向量为：．

故答案为：.

15. 己知椭圆的一个焦点为,该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为,则该椭圆的标准方程为_________.

答案：

解析：

因为椭圆的一个焦点为,所以该椭圆的焦点在纵轴上,

因此可设该椭圆的标准方程为：,且,

设该椭圆被直线所截得弦为,设,

把代入直线方程中,得,即的中点坐标为,

因此有,

由,

因为在椭圆上,

所以有,,得由,

所以该椭圆的标准方程为,

故答案为：.

16. 已知在菱形中,,,平面外一点满足：,,设,过作交于,平面与线段交于点,则四棱锥体积的最大值为_________.

答案：

解析：

四边形为菱形,,,,,

,,又,

,整理得：；

,

,整理可得：；

,解得：,

,,为中点,

,平面,平面,平面,

又平面,平面平面,

,为中点；

,,,

当平面时,取得最大值；

,,

,又,

,.

故答案为：.

四、解答题

17. （1）设与是两个不共线向量,,,,若三点共线,求的值.

（2）己知的顶点,边上的中线所在的直线方程为,边上的高所在直线方程为,求直线的方程；

答案：

见解析

解析：

（1）若三点共线,则存在实数,使得,

,

又,,解得：；

（2）由题意知：在直线上,则可设,

中点为,,解得：,；

,,直线方程为：,即；

由得：,即；

,则直线方程为：,即.

18. 在中,角的对边分别是,且满足

（1）求角的大小；

（2）若,为边上的一点,,且是的平分线,求的面积.

答案：

见解析

解析：

（1）

,

又,则,

即,                              

又,则；

（2）由平分得：

则有,即            

在中,由余弦定理可得：

又,则

联立                    

可得

解得：（舍去）                 

故.

19. 某厂为了提高产品的生产效率,对该厂的所有员工进行了一次业务考核,从参加考核的员工中,选取名员工将其考核成绩分成六组：第组,第组,第组,第组,第组,第组,得到频率分布直方图（如图）,观察图形中的信息,

（1）利用频率分布直方图中的数据估计本次考核成绩的众数,中位数和平均数；

（2）己知考核结果有优秀、良好、一般三个等级,其中考核成绩不小于分时为优秀等级,不少于且低于分时为良好等级,其余成绩为一般等级.若从获得优秀和良好等级的两组员工中,随机抽取人进行操作演练,其中考核获得良好等级的员工每人每小时大约能加工件产品,优秀员工每人每小时大约能加工件产品,求本次操作演练中,产品的人均生产量不少于件的概率.

答案：

见解析

解析：

（1）由频率分布直方图可知,众数为                          

中位数设为,则,                

平均数

（2）考核良好的人数为：人,可记为；考核优秀的人数为：

人,可记为；

设考核优秀的人数为,,              

考核优秀的人中最多人不参加操作演练.

则从人中任取人不参加演练,有,

,

,共种情况；                                                   

考核优秀的人中最多人不参加演练的情况有：

,

,共种情况；                               

∴本次操作演练中,产品的人均生产量不少于件的概率.

20. 在平面直角坐标系中,已知点与直线：,设圆的半径为,圆心在直线上．

（1）若点在圆上,求圆的方程；

（2）若圆上存在点,使,求圆心 的横坐标的取值范围．

答案：

见解析

解析：

（1）因为圆心在直线：上,不妨设圆心的坐标,

因为圆的半径为,所以圆的方程为：,

因为点在圆上,所以或,

故圆的方程为：或.

(2)不妨设,则,

又由,,

故,化简得,

从而在以圆心,半径为的圆上,

故为圆：与圆：的公共点,

即圆与圆：相交或相切,

从而,即或,

故圆心 的横坐标的取值范围为.

21. 如图,在四棱锥中,平面平面,是的平分线,且.

（1）若点为棱的中点,证明：平面；

（2）已知二面角的大小为,求平面和平面的夹角的余弦值.

答案：

见解析   

解析：

（1）

延长交于点,连接,

在中,

是的平分线,且,

是等腰三角形,点是的中点,

又是中点,,

又平面平面,

直线平面.

（2）在中,,

则,即,

由已知得,

又平面平面平面

所以平面,即,

所以以为二面角的平面角,所以,

又,所以为正三角形,

取的中点为,连,则平面

如图以建立空间直角坐标系,

则,

所以,

设分别为平面和平面的法向量,则

,即,取,则,

,即,取,则,

所以.

则平面和平面所成夹角的余弦值为.

22. 如图,已知点分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上不同的两点,且,连接,且交于点．

（1）当时,求点的横坐标；

（2）若的面积为,试求的值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）设出点的坐标,利用给定条件列出方程组,求解方程组即可作答.

（2）延长交椭圆于,可得,再结合图形将用的面积及表示,设出直线方程,与椭圆的方程联立,借助韦达定理求出即可求解作答.

【详解】

(1)设,依题意,,由,得,

即,由得,两式相减得,

即有,则,即,

由得,

所以点的横坐标为．

(2)因,则,即有,记,,,则,即．同理,而,

连并延长交椭圆于,连接,如图,则四边形为平行四边形,,有点在直线上,

因此,,,

因此,即,

设直线,点,有,

即,则,

由消去并整理得：,有,

,,则,

于是得,解得,

所以．