湖北省荆荆襄宜七校考试联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份湖北省荆荆襄宜七校考试联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（ ）
A.B.C.D.
2.2023年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：
则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ）
A.52B.29.2C.10D.6.4
3.如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知直线与，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（ ）
A.2B.C.2D.4
6.如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ）
A.B.C.D.
7.已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A.B.C.D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）
①的坐标为；②；③若，则双曲线的离心率；
A.①②B.②③C.①③D.①②③
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
B.
C.剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数
D.
10.下列叙述正确的是（ ）
A.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B.从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
C.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
D.在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
11.已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A.若点，则直线的方程为
B.面积的最小值为
C.直线过定点
D.以线段为直径的圆可能不经过点
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（ ）
A.的最小值为9
B.四边形的周长为8
C.直线，的斜率之积为
D.若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
14.已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为
，则到平面的距离为______________.
15.已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是_____________.
16.已知三棱锥中，平面，，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.
（1）证明平面；
（2）求三棱锥的体积.
18.已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程.
19.如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，是线段上的一动点，过点和直线的平面与，分别交于，两点.
（1）若为的中点，请在图中作出线段，并说明，的位置及理由；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
20.已知椭圆，其上顶点为；
（1）若直线与椭圆交于、两点，求证：为定值；
（2）由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数.
21.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查、来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约.以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表.
（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出的值和这组数据的分位数；
（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，（单位：个）为进入该沙滩的人数（为10的整倍数.如有8006人，则取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记为该店每日的利润（单位：元），求和的函数关系式；
（3）以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
22.已知点在双曲线上.
（1）已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
（2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上.
2023年秋七校考试联盟高二年级数学试题参考答案
1.【答案】D
【分析】由已知的两点求出直线的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点，，都在直线上，点不在直线上.
故选：D.
2.【详解】由题意估计高一高二日阅读时间的平均数为，
方差为.
故选：B.
3.【答案】B
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得.
【详解】在空间四边形中，，点为的中点，
则.
故选：B
4.【详解】若，则即或3，
当时，则直线与，显然两直线重合；
当时，则直线与，显然两直线平行；
综上所述，若，则.
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5.【详解】如图所示：
不妨设，，（，），，
则可知，，
两式相除可得，所以，
又，所以，
可得（，），
由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），所以.
故选：B.
6.
【详解】连接，，，当，，三点共面时，容器可盛水最多，
因为，所以，
又因为，所以到平面的距离是到平面的距离的，
所以，容器可盛水原来水的.
故选：C
7.【详解】因为直线，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：C
8.【详解】对于①：由题意可知：直线，
设，则，可得
即，故①正确；
对于②：设直线与双曲线的右支交于点，
由双曲线的定义可得：，
在中可得，即，
所以，即，故②错误；
对于③：设，由，可得，，
因为，则，解得，
即，由点在双曲线上可得，
整理得，解得，故③正确；
选C
二、多选题
9.ABD 【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为，，，…，，则剩下的18个样本数据为，，…，，
对于A：原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，A正确；
对于B，依题意，，，，
由，得，即，，
于是，因此，即，B正确；
对于C，因为，则剩下18个数据的22%分位数为，
又，则原样本数据的22%分位数为，C错误；
对于D，因为，则，，，
于是，，
因此，即，D正确.
故选：ABD
10.ACD 【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；
对于B选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，B错误；
对于C选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，
则甲不输的概率为，C正确；
对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，
其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，
从而所求概率为，D正确.
故选：ACD.
11.AD 【详解】A选项，若，则以为直径的圆的方程为，
由，两式相减得，所以A选项正确.
B选项，到直线的距离为，
而，所以的最小值为，
所以三角形面积的最小值为，所以B选项错误.
C选项，设，，
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为，，
由，两式相减得，，
由，解得，所以直线过定点，C选项错误.
D选项，由A选项，
由，得，
即，则，，
即此时以线段为直径的圆可能不经过点，D选项正确.
故选：AD
12.BCD 【详解】对于A，由于，关于原点对称，故，
所以，
当且仅当，结合，即，时等号成立，A错误；
对于B，由题意知对于椭圆，，，，与椭圆交于，两点，
则，关于原点对称，且，，
故四边形的周长为，B正确；
对于C，设，则，而，
故，
而在椭圆上，即，
即，故，C正确；
对于D，由于点为椭圆上的一个动点，故，
则，故，
当且仅当,,共线时，且在,之间时等号成立，
而，，
故|的最小值为，D正确，
故选：BCD
13.或
【详解】当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则有，解得，
故直线方程为，即，
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或.
14.1 【详解】因为，点，所以，
又的一个法向量为，
所以到平面的距离为
故答案为：1.
15. 【解析】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，
于是，转化求解即可.
【详解】解：由题意可得，，即，则，的坐标分别为，，
由双曲线的定义，得，
又是圆上的点，圆的圆心为，半径为2，
由图可知，，
，
则的最小值为，
16.
【详解】如图，设球心为点，为外接圆的圆心，则，连接.
由已知可得，为等边三角形，且.
又，所以.
过点作交于点，则，.
设，则，
由可得，，
所以，.所以，.
根据正弦定理可得，，所以，
所以，.
所以，三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
17.【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】（1）令、的交点为，连接
因为四边形是菱形，所以是的中点，
又因为是棱上的中点，所以在中，，
因为平面，平面
所以平面.
（2）因为四边形是菱形，所以.
又，，平面，且，所以平面
因为平面，所以
因为，，所以，所以.
因为，平面，且，所以平面.
因为是棱上的中点，所以到平面的距离.
四边形是菱形，，，
则中，，，，
∵，
∴三棱锥的体积为.
18.【答案】（1）（2）
【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）设，，直线，联立得
，，解得，
所以，，，
因为，，，
所以，解得或（舍去），
所以直线.
19.【答案】（1）作图见解析，为的中点，为靠近点的三等分点
（2）存在，
【详解】（1）如图，取为的中点，为靠近点的三等分点.
理由如下：由四边形为正方形得，，，
又平面，平面，所以平面.
又平面平面，为的中点，得，且为的中点.
因为，，，平面，，平面，
所以，平面，
又，，平面，所以平面平面，
平面平面，平分，得平分，
又，得到为的三等分点，且，从而作出线段.
（2）由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，于是，，，
设，则的坐标为.
设平面的法向量为，则由，得，
令，得平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则，
假设存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，
则有，解得，.
所以线段上存在点，位于靠近点的三等分点处，使得直线与平面所成角的正弦值为.
20.【答案】（1）；（2）3个
【详解】：（1）椭圆方程，联立，消元得，当，即且时，
则，，则
，∴；
（2）设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为，，
设，，显然，不与坐标轴平行，且，
所以不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
由，消去得到，所以，，
求得，
同理可求.
因为为以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，
所以，整理得，
所以，所以或，
所以，以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有3个.
21.【答案】（1），65%分位数为1.1，频率分布直方图见解析
（2）（3）0.65
【详解】（1）由题意，，解得，
因为，，
所以65%分位数在区间上，则65%分位数为；
画出频率分布直方图如图所示：
（2）由题意知，当时，元，
当时，，
所以；
（3）设销售的利润不少于7000元的事件记为，实际上得到人数，
此时.
22.【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）将代入双曲线中，，解得，故双曲线方程为，
设点的坐标为，则，即.
双曲线的两条渐近线，的方程分别为，，
则点到两条渐近线的距离分别为，，
则.
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值.
（2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
故直线斜率存在，设直线方程，与联立得
，由，
因为恒成立，所以，故，
解得，设，，则，，
设点的坐标为，则由得，，
变形得到，将，代入，解得，将代入中，解得，
则，
故点恒在一条定直线上.
年级
抽查人数
平均时间
方差
高一
40
50
4
高二
60
40
6
人数（万）
频数（天）
8
8
16
24
48
32