湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(学生版+解析)

这是一份湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(学生版+解析)，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
考试时间：2023年4月18日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为( )
A. 1B. 2C. D.
2. 已知在复平面内，是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6. 宜昌奥林匹克体育中心了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带．已知灯带米，米， 米，且，则( )

A. B.
C. D.
7. 在中，已知，，外接圆半径为，点分别是的三等分点( )，与相交于点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知在上的最小值为，则的解有( )个
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面内四点可构成平行四边形，其中，则点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
10. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )
A B. C. D.
11. 在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是( )
A. 若，则点的轨迹不可能经过的外心
B. 若，则点轨迹不可能经过的垂心
C. 若，则点的轨迹可能经过的重心
D. 若，则点的轨迹可能经过的内心
12. 已知是边长为的等边三角形，平面内有两动点满足 ．若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，则______．
14. 若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等，且，则______．
15. 在中，已知是的一元二次方程的两个实根，则______．
16. 已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，．
(1)若，，且三点共线，求的值．
(2)当实数为何值时，与垂直？
18. 要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

19. 已知函数在区间上的最大值为5
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间．
20. 已知函数为奇函数，．
(1)求实数；
(2)求函数在区间上的最小值；
21. 宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷，它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合，设计的十分精致优美．为了迎接2023年的春天，公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜，其斜边米．为了方便游客观光，欲在上选择一点，修建两条观赏小径，点分别在边上，且小径与边的夹角都是．区域和区域种植粉色油菜，区域种植黄色油菜．
(1)随着春天到来，油菜均已开花，为了游客深度体验观赏，准备在种植黄色油菜区域内修建小径，当点在何处时，三条小径()的长度之和最小？
(2)种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用．
22. 定义非零向量的“伴随函数”为，非零向量为函数的“伴随向量”(其中为坐标原点)．
(1)设，求出与的“伴随向量”共线的单位向量；
(2)已知点满足，向量“伴随函数”在处取得最小值，求的取值范围；
(3)向量，其“伴随函数”为，已知，求的取值范围．
2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高一期中联考
数学试题
考试时间：2023年4月18日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为( )
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，根据弦长得到为等边三角形，得到答案.
【详解】根据题意：作出如下图形，，
则为等边三角形，故.

故选：C
2. 已知在复平面内，是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由向量的减法运算及复数的运算得出，根据虚部的定义即可得出答案．
【详解】对应复数，
所以向量对应的复数的虚部是9，
故选：D．
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为,所以，
所以.
故选：B.
4. 已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量的公式，代入计算即可．
【详解】向量在向量上的投影向量为：，
故选：C．
5. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断出，构造，根据的奇偶性得到的奇偶性和单调性，从而对变形，得到不等式，根据单调性求出解集.
【详解】不妨设，且，
因为，所以，
不等式两边同除以得，，即，
令，则，
所以在上单调递减，
定义域为，
又是定义在上的奇函数，
故，
所以为偶函数，
故在上单调递增，
因为，所以，
当时，变形得到，即，解得，
所以解集为，
当时，变形得到，即，解得，
所以解集为，
所以不等式的解集为.
故选：D
6. 宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带．已知灯带米，米， 米，且，则( )

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在和分别用余弦定理得到的等量关系，再由和平方关系将等量关系转化为关于C的三角方程，求出C的三角函数值即可．
【详解】
如图，连接 BD .
在中，由余弦定理有：
,①
在 中，由余弦定理有：
,②
由①②得：,
又,
又. 或,
若 ,则 (舍)
故选：A .
7. 在中，已知，，外接圆半径为，点分别是的三等分点( )，与相交于点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理可得，由余弦定理可得，以为原点，所在的直线为轴，过做的垂线，为轴，建立平面直角坐标系利用向量法可得.
【详解】由正弦定理可得，所以，
由余弦定理可得，
，解得，
以为原点，所在的直线为轴，过做的垂线为轴，建立平面直角坐标系，如下图，
则，，，，
所以，
所以，，，
所以
.
故选：C.

8. 已知在上的最小值为，则的解有( )个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论，和三种情况，结合余弦函数的图像和性质，进一步缩小的范围，再利用复合函数的单调性与零点存在定理，以及数形结合即可得解.
【详解】当时，，而，显然不满足题意；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，所以，
此时在处取得最小值，即，
令，
因为，所以在上单调递减，
又在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又因为，
由函数零点存在性定理可知，此时函数有唯一的零点，
也即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，解得，
当时，则，结合余弦函数的图象可知，
函数在上的最小值为，解得，满足题意；
当时，则，此时在处取得最小值，即，
从而将问题转化为与的图像有多少个交点，
因为，所以在上单调递增，
又，，
则与的大致图像如下，

所以与的图像有唯一交点，
即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
综上可知，的解有3个，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论和时，要结合余弦函数的性质进一步缩小的范围，同时将问题转化为的零点个数问题，由此得解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面内四点可构成平行四边形，其中，则点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，设点分情况讨论可分别根据，，，由此求得答案即可；
【详解】因为四点可构成平行四边形，平行四边形有三种可能
当四边形是平行四边形，所以，
设点D的坐标为，
所以,所以,即点D的坐标,A选项正确．
当四边形是平行四边形，所以，
设点D的坐标为，
所以,所以,即点D的坐标,D选项正确．
当四边形是平行四边形，所以，
设点D的坐标为，
所以,所以,即点D的坐标，C选项正确．
故选：ACD.
10. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】依次判断选项的周期和单调性即可得到答案.
【详解】对于A：的最小正周期，且在区间上单调递增，故A符合题意；
对于B：，将在x轴下方的图象翻折到上方，
可知最小正周期，在区间上单调递减，故B不符合题意；
对于C，的最小正周期，
，则在区间上单调递增，故C正确；
对于D，，的最小正周期，
，则在区间上有增有减，故D不正确.
故选：AC.
11. 在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是( )
A. 若，则点的轨迹不可能经过的外心
B. 若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C. 若，则点的轨迹可能经过的重心
D. 若，则点的轨迹可能经过的内心
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，结合向量共线的推论判断的轨迹，讨论形状判断A、B正误；根据重心的性质得判断C；根据题设设等边三角形，确定，点的轨迹可能经过的内心判断D.
【详解】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，
中，当时，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；
若，不妨取
当时,
此时的轨迹经过的垂心，B错；
若为的重心，必有，此时，C错；
若，设为等边三角形，结合，
则点在的中线上，也在的平分线上，的轨迹可能经过的内心，D正确.
故选：ABC
12. 已知是边长为的等边三角形，平面内有两动点满足 ．若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由条件化简变形可得，根据的取值范围确定点的位置，再由转化思想得，求出的取值范围，即可得出答案.
【详解】因为，
所以
所以，即，
因为，所以，所以点在的内部或边上
取的中点，则，
，
因为，所以，
即，所以，
所以，即，
所以，.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由平方关系以及商数关系得出，即可得出.
【详解】由,
以及
得出
故答案为：
14. 若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律，结合向量数量积的定义求解作答.
【详解】因为平面向量两两的夹角相等，则，而，
，
所以.
故答案为：.
15. 在中，已知是的一元二次方程的两个实根，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得的值，可得的值，从而求得的值．
【详解】因为是的一元二次方程的两个实根，
由题有，而，
∴，
又，∴.
故答案为：.
16. 已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，根据函数与方程的关系，转化为函数交点的问题，利用数形结合进行求解即可.
【详解】设，则由得，
若，作出函数的图象如图，

当或时，，此时，无解；
当时，由，得只有一个解且，此时，
最多有3个零点，不满足条件，故，不成立；
当时，作出函数的图象如图，

，则，
由，得方程有3个不同的根，其中，
其中，
当时，，只有一个根，
当时，，只有一个根，
要使函数有5个零点，则必有，有3个零点，
由，得，即，此时只要即可，
得，即，得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，．
(1)若，，且三点共线，求的值．
(2)当实数为何值时，与垂直？
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由A，B，C三点共线，则存在实数，使得，列出方程求解即可；
(2)由平面向量垂直的坐标表示，列出方程求解即可．
【小问1详解】
因为，，，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，
所以存在实数，使得，
整理得，
所以，解得，
故的值为．
【小问2详解】
由，，得，，
因为与垂直，
所以，即，
解得．
18. 要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

【答案】(1)答案见解析
(2)作图见解析
【解析】
【分析】(1)根据三角函数图象变换求解即可；
(2)利用“五点法”画出图象.
【小问1详解】
步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；
步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象．
或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；
步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象．
小问2详解】
因为列表：

19. 已知函数在区间上的最大值为5
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先应用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再根据最值求出常数即可；
(2)根据正弦函数的递减区间计算求解即得.
【小问1详解】
，
因为，所以，
则当时，取得最大值，故，即．
【小问2详解】
的单调递减区间需要满足：，
解得，
所以的单调递减区间为：．
20. 已知函数为奇函数，．
(1)求实数；
(2)求函数在区间上的最小值；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)根据奇函数的定义，可判断，求；
(2)通过换元法，转化为二次函数求最小值问题，要注意分类讨论.
【小问1详解】
解：因为奇函数，所以，
所以在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立，所以，解得，
当时，的定义域为，定义域不关于原点对称，此时没有奇偶性，
当时，的定义域为，关于原点对称，
且，符合题意，
综上可得：；
【小问2详解】
，，令，
则上述函数化为，．因为，则对称轴
①当，即时，函数在上单调递增，故；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故；
③当，即时，函数在上单调递减，故．
综上所述：①当时，的最小值为；
②当时，的最小值为；
③当时，的最小值为．
21. 宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷，它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合，设计的十分精致优美．为了迎接2023年的春天，公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜，其斜边米．为了方便游客观光，欲在上选择一点，修建两条观赏小径，点分别在边上，且小径与边的夹角都是．区域和区域种植粉色油菜，区域种植黄色油菜．
(1)随着春天到来，油菜均已开花，为了游客深度体验观赏，准备在种植黄色油菜区域内修建小径，当点在何处时，三条小径()的长度之和最小？
(2)种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)在中由正弦定理求得，同理可得，在中，由余弦定理结合基本不等式求出的最小值，即可得出当点是的中点时，三条小径(QM，QN，MN)的长度之和最小；
(2)求出的面积和，利用基本不等式求最小值，即可得出的结论.
【小问1详解】
在中，，由正弦定理可得：，
因为，
即＝＝，同理可得，
所以＝；
在中，由余弦定理可得：，
即，
所以，，又因为＝，
故，当且仅当时等号成立．
故当点是的中点时，三条小径(QM，QN，MN)的长度之和最小，最小为(米)；
【小问2详解】
由(1)可知，故＝，
同理可得：，所以＝＝＝＝＝
(当且仅当时取得最小值，
故最少费用为元．
22. 定义非零向量的“伴随函数”为，非零向量为函数的“伴随向量”(其中为坐标原点)．
(1)设，求出与的“伴随向量”共线的单位向量；
(2)已知点满足，向量的“伴随函数”在处取得最小值，求的取值范围；
(3)向量，其“伴随函数”为，已知，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)根据降幂公式及两角和的余弦公式化简，根据“伴随向量”的定义即可得出，再求出与共线的单位向量即可；
(2)由辅助角公式得出，，由在处取得最小值，得出，再由得出，进而得出的范围，根据二倍角公式，范围及的单调性得出的范围，最后由两角差的正切公式及的单调性得出的取值范围；
(3)由题意可知，根据两角和的余弦公式整理得，再根据辅助角公式及同角三角函数的平方关系得，其中，分类讨论，当时不合题意，当时，，求出的范围即可得出的取值范围．
【小问1详解】
因为
，
故的“伴随向量”，
所以与共线单位向量为：．
【小问2详解】
的“伴随函数”，，
因为在处取得最小值，
所以当，即时，有最小值，
所以，，
所以，
因为，所以，解得，
所以，则，
令，则，
因为和均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，故，
所以，
又，令，
因为在上单调递增，故，
故的取值范围为．
【小问3详解】
由题意知，则，
即，化简得，
所以，其中，
即，
当时，则，不成立，舍去；
当时，，
设，则，令，
因为和在上单调递增，所以在上单调递增，
当时，即，解得或(，舍去)，
当时，即，解得或(，舍去)，
所以当，，
因为在上单调递减，且，
所以，故．
【点睛】关键点点睛：第三问，应用三角恒等变换及辅助角公式得且，结合三角函数性质、研究的范围，进而得到范围.