湖北省荆荆襄宜七校考试联盟2023-2024学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省荆荆襄宜七校考试联盟2023-2024学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数 学 试 题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l经过点-3,-2，1,2，则下列不在直线l上的点是（ ）
A．-2,-1B．-1,0C．0,1D．2,1
2．2023年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：
则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ）
A．52B．29.2C．10D．6.4
3．如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M满足OM=2MA，点N为BC的中点，则MN=（ ）
A．12a-23b+12cB．-23a+12b+12c
C．12a+12b-12cD．23a+b-12c
4．已知直线l1：ax+y+a=0与l2：a-6x+a-4y-4=0，则“a=2”是“l1//l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1,F2是椭圆的左､右焦点，若PF1⋅PF2=-2，且△PF1F2的面积为1，则a2的最小值为（ ）
A．2B．22C．23D．4
6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知SD:DA=CF:FS=2:1，SE:EB=3:1这个容器最多可盛原来水的（ ）
A．34 B．49C．56 D．797．已知点P是直线l1：mx-ny-5m+n=0和l2：nx+my-5m-n=0m,n∈R,m2+n2≠0的交点，点Q是圆C：x+32+(y+5)2=1上的动点，则PQ的最大值是（ ）
A．9+22B．10+22C．11+22D．12+23
8．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0，过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且F1F2=2OB（O为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）
B的坐标为（a,b）；②BF1-BF2>2a；③若AB=3F1A，则双曲线C的离心率1+173；
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为s12，平均数x1：去掉的两个数据的方差为s22，平均数x2；原样本数据的方差为s2，平均数x，若x1=x2，则（ ）
A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变B．x=x1
C．剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数
D．10s2=9s12+s22
10．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
C．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为12 ，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为56
D．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为710
11．已知圆O:x2+y2=4，过直线l:x+y-5=0上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B，则（ ）
A．若点P(3, 2)，则直线AB的方程为3x+2y-4=0
B．△PAO面积的最小值为34
C．直线AB过定点23,23
D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O
12．已知椭圆C:x24+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l:y=kxk≠0与椭圆C交于M，N两点，点T32, 4，则（ ）
A．1MF1+4NF1的最小值为9B．四边形MF1NF2的周长为8
C．直线BM，BN的斜率之积为-12
D．若点P为椭圆C上的一个动点，则PT-PF1的最小值为26-4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．求经过（2, 2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
14．已知平面α内一点P8, 9, 5，点Q1, 2, 2在平面α外，若α的一个法向量为
n=4, 3, -12，则Q到平面α的距离为______________．
15．已知双曲线的方程为x29-y216=1，点F1,F2是其左右焦点，A是圆x2+(y-5)2=4上的一点，点M在双曲线的右支上，则|MF1|+|MA|的最小值是_____________．
16．已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB=BC=CA=4，三棱锥S-ABC的体积为833，则三棱锥的外接球的表面积为__________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，是棱上的中点．
(1)证明平面；
(2)求三棱锥的体积．
18．已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求直线的方程．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面与FC，EC分别交于P，Q两点．
(1)若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及理由；
(2)线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面所成角的正弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆C：x24+y2=1，其上顶点为A；
(1) 若直线y=12x+m(m≠0)与椭圆C交于P､Q两点，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；
(2) 由椭圆C上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆C的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数．.
21．某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客．某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查､来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约．以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表．
(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出的值和这组数据的分位数；

(2)据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，（单位：个）为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人，则取8000．每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理．若该店每日准备1000杯饮品，记为该店每日的利润（单位：元），求和的函数关系式；
(3)以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率．
22．已知点在双曲线上．
(1) 已知点Q为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点Q到C的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
年级
抽查人数
平均时间
方差
高一
40
50
4
高二
60
40
6
人数万
频数（天）
8
8
16
24
48
32