2022-2023学年湖北省荆荆襄宜四地七校考试联盟高一下学期期中联考数学试题含答案

  2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高一期中联考

数学试题

考试时间：2023年4月18日 考试用时：120分钟  试卷满分：150分

★祝考试顺利★

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆心角为（    ）

 A.1 B.2 C. D.

2. 已知在复平面内,是原点,向量对应的复数分别为,那么向量对应的复数的虚部是（    ）

 A． B． C． D．

3. 已知,则（    ）

 A． B． C． D．

4. 已知，为单位向量,当向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为（    ）

 A． B． C． D．

5. 设是定义在上的奇函数,对任意的满足且,则不等式的解集为（    ）

 A． B．

 C． D．

6. 宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式,将中心内一块平面四边形区域设计灯带.已知灯带米,米, 米,且,则（    ）

 A.   B.

 C.  D.
7. 在中,已知,,外接圆半径为,点分别是的三等分点（ ）,与相交于点,则的余弦值为（    ）

 A. B. C. D.

8. 已知在上的最小值为,则的解有（    ）个

 A.1 B.2  C.3  D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知平面内四点可构成平行四边形,其中,则点的坐标可能为（    ）

 A. B. C. D.

10. 下列函数中,以为最小正周期,且在区间上单调递增的是（    ）

 A. B. C. D.

11. 在所在的平面上存在一点,,则下列说法错误的是（    ）

 A．若，则点的轨迹不可能经过的外心

 B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心

 C．若，则点的轨迹可能经过的重心

 D．若，则点的轨迹可能经过的内心

12. 已知是边长为的等边三角形,平面内有两动点满足 .若,则的值可能为（    ）

 A. B.   C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知,,则______．

14. 若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等,且,则______．

15. 在中,已知是的一元二次方程的两个实根,则______．

16. 已知函数,若函数有5个零点,则实数的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

 已知.

 (1)若,且三点共线,求的值.

 (2)当实数为何值时,与垂直?

18.（本题满分12分）

要得到函数的图象,可以从正弦函数或余弦函数图象出发,通过图象变换得到,也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．

(1)由图象变换得到函数的图象,写出变换的步骤和函数；

(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

19.（本题满分12分）

已知函数在区间上的最大值为5

(1)求常数的值;

(2)求函数的单调递减区间.

20.（本题满分12分）

已知函数为奇函数，,.

(1)求实数;

(2)求函数在区间上的最小值;

21.（本题满分12分）

 宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷,它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合,设计的十分精致优美.为了迎接2023年的春天,公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜,其斜边米.为了方便游客观光,欲在上选择一点,修建两条观赏小径,点分别在边上,且小径与边的夹角都是.区域和区域种植粉色油菜,区域种植黄色油菜.

(1)随着春天到来,油菜均已开花,为了游客深度体验观赏,准备在种植黄色油菜区域内修建小径,当点在何处时，三条小径()的长度之和最小?

(2)种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用.

22.（本题满分12分）

 定义非零向量的“伴随函数”为,非零向量为函数的“伴随向量”（其中为坐标原点）．

(1)设,求出与的“伴随向量”共线的单位向量;

(2)已知点满足,向量的“伴随函数”在处取得最小值,求的取值范围;

(3)向量,其“伴随函数”为,已知,求的取值范围.

2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高一期中联考

数学参考答案

一、单项选择题

1.C   2.D   3.B   4.C   5.D   6.A   7.C   8.C

二、多项选择题s

9.ACD   10.AC   11.ABC   12.BCD

三、填空题

13.   14.   15.   16.

四、解答题

17.解：（1）（2分）

因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得

整理得所以，解得.故的值为.（5分）

（2）（7分）

因为与垂直，

所以解得.（10分）

18.解：（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；

步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．（6分）

或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；

步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．（6分）

（2）因为列表：

（12分）

19.解：（1）化简可得：，因为，所以，

则当时，取得最大值，故，即.（6分）

（2）的单调递减区间需要满足：，

解得，

所以的单调递减区间为：.（12分）

20.解：（1）解：因为为奇函数，所以，

所以在定义域内恒成立，

整理，得在定义域内恒成立，所以，解得，

当时，的定义域为，定义域不关于原点对称，此时没有奇偶性，

当时，的定义域为，关于原点对称，

且，符合题意，

综上可得：；（5分）

（2），，令，

则上述函数化为，.因为，则对称轴

1）当，即时，函数在上单调递增，故；

2）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故；

3）当，即时，函数在上单调递减，故.

综上所述：①当时，的最小值为；②当时，的最小值为；③当时，的最小值为.（12分）

21．解：（1）在中,,由正弦定理可得：,

即＝＝，同理可得，

所以＝；（3分）

在中，由余弦定理可得：，

即，

所以，，又因为＝，

故，当且仅当时等号成立.

故当点是的中点时，三条小径（QM，QN，MN）的长度之和最小，最小为；（7分）

（2）由（1）可知，故＝，

同理可得：，所以＝＝＝＝＝（当且仅当时取得最小值），

故最少费用为.（12分）

22.解：（1）因为

故的“伴随向量”，所以，与共线的单位向量为（3分）

（2）的“伴随函数”，

因为在处取得最小值，所以，当，即时，有最小值，所以，，

所以，因为，所以，即

所以，则，令，则，

因为均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，故，所以，，

又因为，令，在上单调递增，故，故的取值范围为.（8分）

（3）由题意可知，，则，化简可得，即，即，当时，不符合题意，舍去；当时，，故（12分）