2023湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二上学期期中联考数学试题含解析

2022年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考

数学试题

命题学校：钟祥一中  命题人：胡雷15872957565

李铠峰13477573871   审题人：王登清13971960678

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 设复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数模长运算的定义和运算法则可直接求得结果.

【详解】，.

故选：A.

2. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，故圆锥的底面半径为，故选B.

考点：圆锥的几何性质及侧面积公式.

3. 己知直线l经过，且在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据在x轴上的截距的取值范围先求出直线在端点处的斜率，再根据斜率变化趋势得出范围.

【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为可知直线过的斜率为，过点的斜率，且过点的斜率不存在；

故线l的斜率或.

故选:A

4. 如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案.

【详解】由已知得，，

故选：C

5. 同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰子的点数和为的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先确定所有可能结果种数，列举出点数和为的情况，由古典概型概率公式可求得结果.

【详解】同时抛掷两枚骰子，所有可能的结果有种；

其中点数和为的有，，，，共种情况，

点数和为的概率.

故选：C.

6. 直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线l的条数为（    ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】A

【解析】

【分析】圆C的圆心为，直线l过定点，故直线l被圆C截得的弦长范围为，结合圆的对称性，再排除斜率不存在的直线l的情况即可求

【详解】圆的圆心为，直线l化为，则直线l过定点，

∵，故直线l被圆C截得的弦长范围为，由圆的对称性，故整数弦长的直线条数为11条.

又过定点且垂直于x轴的直线，即，被圆截得的弦长为，不合题意，故所求直线l的条数为10条.

故选：A

7. O是的外心，，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上.

【详解】当在上，则为的中点，满足，符合题意，

∴，则；

当不在上，取的中点，连接，则，

则，

同理可得：

∵，

，

联立可得，解得，

故选：D.

8. 已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】在中，由余弦定理可得的长度，进而根据边的关系得为直角三角形，根据焦点三角形即可得关系.

详解】设则，所以

由于，所以为锐角，故，

在中，由余弦定理得，

因此,故为直角三角形，

所以，

由的周长为，

所以故，

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（    ）

A. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

B. 这10天中PM2.5日均值的中位数是32

C. 这10天中PM2.5日均值的众数为33

D. 这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差

【答案】BC

【解析】

【分析】将数据从小到大排列，判断中位数，根据平均数公式计算整组数据的平均数与前4天、后4天的平均数，再由方差公式计算前4天、后4天的方差.

【详解】将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，

则中间两个数为31，33，所以中位数为，

平均数为，

所以平均数大于中位数，故A错误，B正确；

所有数据中出现次数最多的数为33，所以众数为33，C正确；

前4天的平均数为，

后4天的平均数为，

所以前4天的方差为

，

后4天的方差为

，

因为，所以前4天的方差大于后4天的方差，D错误.

故选：BC

10. 某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ）

A. 甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是

B. 乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是

C. 丙同学随机选择选项，能得分的概率是

D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是

【答案】ABC

【解析】

【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.

【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，

随机事件“若能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故A正确；

乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，

分别：，

随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故B正确；

丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），

由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：

选择一项：；

选择两项：；

选择三项或全选：，，

随机事件“能得分”中有基本事件，

故“能得分”的概率为，故C正确；

丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知：共有基本事件11个，

随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故D错；

故选：ABC.

11. 已知点，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最大值为

B. 以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：

C. 当最大时，的面积为

D. 的面积的最大值为

【答案】BD

【解析】

【分析】由求得最大值判断A，求出以AC为直径的圆的方程与圆C的方程相减得公共弦所在直线方程，判断B，由圆心在直线上，确定当时，直线距离最大为圆半径，从而求得的面积的最大值判断D，当最大时，是圆的切线，不可能，这样可判断C．

【详解】由已知圆心为，半径为，

，，即在圆外，在圆内，

，当且仅当是的延长线与圆的交点时等号成立，所以最大值是，A错；

中点为，圆方程为，

此方程与圆方程相减得并化简得，即为两圆公共弦所在直线方程，B正确；

直线的方程为，即，圆心在直线上，到直线的距离的最大值等于圆半径，

，所以的面积的最大值为，D正确；

当的面积为时，，而最大时，是圆的切线，此时，不可能有，因此C错误．

故选：BD．

12. 在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）

A.  B.  C. 的最小值为 D. 的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】设边上的高为，利用面积桥可知A正确；利用余弦定理和可整理得到，则，知B正确；将转化为，利用三角恒等变换知识化简整理得，由正弦函数值域可知CD正误.

【详解】设边上的高为，则

，，

，即，A正确；

由余弦定理得：，

又，，

，B正确；

，，，，

；

，，，

，C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 样本数据8，7，6，5，4，3，2，1的分位数是______.

【答案】6.5##

【解析】

【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.

【详解】因为一共有个数据，

所以有，

这个数据从小到大排列为：，

所以这组数据的的分位数是，

故答案为：

14. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据投影的定义,应用在方向上的投影公式求解可得出答案．

【详解】根据投影的定义可得：

在方向上的投影向量为：．

故答案为：

15. 己知椭圆的一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为2，则该椭圆的标准方程为______.

【答案】##

【解析】

【分析】利用待定系数法，结合点差法、椭圆中关系进行求解即可.

【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以该椭圆的焦点在纵轴上，

因此可设该椭圆的标准方程为：，且，

设该椭圆被直线所截得弦为，设，

把代入直线方程中，得，即的中点坐标为，

因此有，

由，

因为在椭圆上，

所以有，，得由，

所以该椭圆的标准方程为，

故答案为：

16. 已知在菱形中，，，平面外一点满足：，，设，过作交于，平面与线段交于点，则四棱锥体积的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用、可构造方程组求得，由此可得为中点，由线面平行的性质定理可知，得到为中点，利用体积桥可知，则当平面时，体积最大，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】

四边形为菱形，，，，，

，，又，

，整理得：；

，

，整理可得：；

，解得：，

，，为中点，

，平面，平面，平面，

又平面，平面平面，

，为中点；

，，，

当平面时，取得最大值；

，，

，又，

，.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （1）设与是两个不共线向量，，，，若三点共线，求的值.

（2）己知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程；

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由，可构造方程组求得的值；

（2）设，由此可得中点坐标，代入中线方程可求得点坐标；由可求得方程，与方程联立可求得点坐标，利用坐标可求得直线方程.

【详解】（1）若三点共线，则存在实数，使得，

，

又，，解得：；

（2）由题意知：在直线上，则可设，

中点为，，解得：，；

，，直线方程为：，即；

由得：，即；

，则直线方程为：，即.

18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足

（1）求角B的大小；

（2）若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可；

（2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可.

【小问1详解】

，

又，则，

即，                              

又，则；

【小问2详解】

由BD平分得：

则有，即            

在中，由余弦定理可得：

又，则

联立                    

可得

解得：（舍去）                 

故.

19. 某厂为了提高产品的生产效率，对该厂的所有员工进行了一次业务考核，从参加考核的员工中，选取50名员工将其考核成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，

（1）利用频率分布直方图中的数据估计本次考核成绩的众数，中位数和平均数；

（2）己知考核结果有优秀、良好、一般三个等级，其中考核成绩不小于90分时为优秀等级，不少于80且低于90分时为良好等级，其余成绩为一般等级.若从获得优秀和良好等级的两组员工中，随机抽取5人进行操作演练，其中考核获得良好等级的员工每人每小时大约能加工80件产品，优秀员工每人每小时大约能加工90件产品，求本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率.

【答案】（1）众数为75，中位数为67，平均数为66.8   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图即可求解；

(2)先根据频率分布直方图分别求出考核良好和优秀的人数，根据条件抽取对应的人，然后根据古典概型的概率公式即可求解.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知，众数为75                          

中位数设为m，则，                

平均

【小问2详解】

考核良好的人数为：人，可记为A，B，C，D；考核优秀的人数为：

人，可记为a，b，c；

设考核优秀的人数为n，，              

考核优秀的3人中最多1人不参加操作演练.

则从7人中任取2人不参加演练，有，

,

，共21种情况；                                                   

考核优秀的3人中最多1人不参加演练的情况有：

，

，共18种情况；                               

∴本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率.

20. 在平面直角坐标系中，已知点与直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上．

（1）若点在圆上，求圆的方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心 的横坐标的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】(1)结合已知条件设出圆的方程，然后将代入圆的方程即可求解；(2)结合已知条件求出为圆：与圆的公共点，然后利用两圆的位置关系求解即可.

【小问1详解】

因为圆心在直线：上，不妨设圆心的坐标，

因为圆的半径为1，所以圆的方程为：，

因为点在圆上，所以或，

故圆的方程为：或.

【小问2详解】

不妨设，则，

又由，，

故，化简得，

从而在以圆心，半径为的圆上，

故为圆：与圆：的公共点，

即圆与圆：相交或相切，

从而，即或，

故圆心 的横坐标的取值范围为.

21. 如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.

（1）若点为棱的中点，证明：平面；

（2）已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析.   

（2）.

【解析】

【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；

(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.

【小问1详解】

延长交于点，连接，

在中，

是的平分线，且，

是等腰三角形，点是的中点，

又是中点，

，

又平面平面，

直线平面.

【小问2详解】

在中，，

则，即，

由已知得，

又平面平面平面

所以平面，即，

所以以为二面角的平面角，

所以，

又，所以为正三角形，

取的中点为，连，则平面

如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设分别为平面和平面的法向量，则

，即，取，则，

，即，取，则，

所以.

则平面和平面所成夹角的余弦值为.

22. 如图，已知点分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且，连接，且交于点Q．

（1）当时，求点B的横坐标；

（2）若的面积为，试求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设出点A，B的坐标，利用给定条件列出方程组，求解方程组即可作答.

（2）延长交椭圆C于D，可得，再结合图形将用的面积及表示，设出直线AD方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理求出即可求解作答.

【小问1详解】

设，依题意，，由，得，

即，由得，两式相减得，

即有，则，即，

由得，

所以点B的横坐标为．

【小问2详解】

因，则，即有，记，，，

则，即．同理，而，

连并延长交椭圆C于D，连接，如图，则四边形为平行四边形，，有点D在直线上，

因此，，，

因此，即，

设直线，点，有，

即，则，

由消去x并整理得：，有，

，，则，

于是得，解得，

所以．

【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；

过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.