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【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题01 新定义型问题（原卷版+解析版）
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这是一份【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题01 新定义型问题（原卷版+解析版），文件包含专题01新定义型问题解析版docx、专题01新定义型问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）
第四篇 常考的亮点专题
专题01 新定义型问题
1．已知 表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9时， ．当 时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于<1，根据有理数乘方的性质可知， 可得x2=， 解方程即知答案．
∵<1，
∴，
∴ =x2，
∴x2=，
x=或x=-（不符合题意舍去）．
∴x=
故选：A．
【点睛】本题主要考查了新定义，以及实数大小比较，有理数乘方，解决此题的关键是根据题意判断出．
2.（2022湖南常德）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】根据定义逐项分析判断即可．
，
是完美方根数对；
故①正确；
不是完美方根数对；
故②不正确；
若是完美方根数对，则
即
解得或
是正整数
则
故③正确；
若是完美方根数对，则
,
即
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．
3.（2022四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【答案】5
【解析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=c，
∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
4.（2022黑龙江绥化）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【解析】根据代入进行计算即可．
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
5.（2022四川遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．
（1）求双曲线上的“黎点”；
（2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．
【答案】（1）上的“黎点”为，
（2）
【解析】【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；
（2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论．
【小问1详解】
设双曲线上的“黎点”为，
则有，解得，
∴上的“黎点”为，．
【小问2详解】
∵抛物线上有且只有一个“黎点”，
∴方程有且只有一个解，
即，，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
6．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
【答案】C
【解析】根据题意描述的概念逐项分析即可．
A.对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B.因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C.由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D.例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：
①.如，；
②.如，；
③.如，.
按照以上变换有：，那么等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意的描述，可得三种变换的规律，按此规律化简f（h（5，-3））可得答案，注意从题目中所给的变化范例中找到验证规律．
根据题意，f（h（5，-3））=f（-5，3）=（5，3）；故选B.
【点睛】本题考查了点的坐标，几何变换，读懂题目信息，理解f、g、h的变化方法是解题的关键．
8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可．
设、是方程是常数，的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”
∴或
∴当a=2时，t有最大值，最大值为4．故选C.
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
9．已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（ ）
A．6个 B．10个 C．16个 D．20个
【答案】C
【解析】由，以及若x不是整数，则
∴n的值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，
故选：C.
【点睛】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解表示不超过x的最大整数，得到，即n是6的倍数，由此解决问题.
10.对于实数a、b，定义运算“★”：
a★b=，
关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t＜ D．t＞
【答案】D
【解析】分两种情况：①当2x+1≤2x-3成立时；②当2x+1＞2x-3成立时；进行讨论即可求解．
①当2x+1≤2x-3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b时不成立；
②当2x+1＞2x-3成立时，即1＞-3，所以a＞b时成立；
则（2x-3）2-（2x+1）=t，化简得：4x2-14x+8-t=0，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，△=142-4×4×（8-t）＞0；
解得：t＞．故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．
11．如图，直线l：经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是__．
【答案】或
【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．
【详解】直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），
当x＝2时，y＝，即：B2（2，），
∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），
若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1﹣d＝，解得：d＝；
同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；
若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨．
12．设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1•y2＝x2•y1，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝ ．
【答案】6
【解析】根据材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；
∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，
∴4m＝3×8，
∴m＝6；
故答案为6；
【点评】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键．
13.我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为__________．
【答案】或或
【解析】将关联数为代入函数得到：
，由题意将y=0和x=0代入即可．
解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
14．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.
依题意得：
解得．故答案是：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.
15.定义：如果三角形的两个内角∠与∠满足∠=2∠,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为
【答案】或
【解析】当∠为底角时，用内角和公式求得∠=，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值；当当∠为顶角时，用内角和公式求得∠=，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值。
16.定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是 ．
【答案】2
【解析】根据一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”解答即可．
因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，
可得：k＝2，故答案为：2．
17. （2022苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【解析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
18．我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形． 如图，已知△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求BC边上的高AD的长．（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
【答案】高AD的长是140米．
【解析】根据最稳定三角形得出∠B=∠C=51°，且AB=AC，再利用三线合一得出BD，最后利用三角函数求出AD.
∵ △ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°，且AB=AC，∵ ADBC，
∴BD=BC=116.4m，∴ AD= 116.4×tan51°=139.68 ≈140m，
∴BC边上的高AD的长是140米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是理解题中最稳定三角形的概念.
19.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【答案】（1）∠E＝α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②
【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，[来源:Z#xx#k.Com]
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，[来源:Z|xx|k.Com]
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AG＝，
Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，[来源:学_科_网]
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2021甘肃威武定西平凉）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代入求值即可．
∵（m，n）是“相随数对”，
∴+＝，
∴＝，
即9m+4n＝0，
∴3m+2[3m+（2n﹣1）]
＝3m+2[3m+2n﹣1]
＝3m+6m+4n﹣2
＝9m+4n﹣2
＝0﹣2
＝﹣2
21．（2021四川雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min（x+1，﹣x2+2x+3），则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
22.（2021黑龙江绥化）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】根据题意列出算式，求解即可
．
【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．
23.定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】将按照题中的新运算方法展开，可得，
所以可得，
化简得：，，
可得，即可得出答案.
根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
24．（2021呼和浩特）若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ．
【答案】0，1，0，1．
【解析】根据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的yn即可．
当n＝1时，x0＝x4＝1＝x2，
∴y1＝0，
当n＝2时，x1≠x3，
∴y2＝1，
当n＝3时，x2＝x4，
∴y3＝0，
当n＝4时，x3≠x5＝x1，
∴y4＝1，
∴“伴生数列”B是：0，1，0，1，
故答案为0，1，0，1．
25.（2022贵州遵义）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】（1），顶点为
（2）①或；②或．
【解析】【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
解：(1)抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点
(2)解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）
第四篇 常考的亮点专题
专题01 新定义型问题
1．已知 表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9时， ．当 时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于<1，根据有理数乘方的性质可知， 可得x2=， 解方程即知答案．
∵<1，
∴，
∴ =x2，
∴x2=，
x=或x=-（不符合题意舍去）．
∴x=
故选：A．
【点睛】本题主要考查了新定义，以及实数大小比较，有理数乘方，解决此题的关键是根据题意判断出．
2.（2022湖南常德）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】根据定义逐项分析判断即可．
，
是完美方根数对；
故①正确；
不是完美方根数对；
故②不正确；
若是完美方根数对，则
即
解得或
是正整数
则
故③正确；
若是完美方根数对，则
,
即
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．
3.（2022四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【答案】5
【解析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=c，
∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
4.（2022黑龙江绥化）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【解析】根据代入进行计算即可．
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
5.（2022四川遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．
（1）求双曲线上的“黎点”；
（2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．
【答案】（1）上的“黎点”为，
（2）
【解析】【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；
（2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论．
【小问1详解】
设双曲线上的“黎点”为，
则有，解得，
∴上的“黎点”为，．
【小问2详解】
∵抛物线上有且只有一个“黎点”，
∴方程有且只有一个解，
即，，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
6．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
【答案】C
【解析】根据题意描述的概念逐项分析即可．
A.对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B.因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C.由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D.例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：
①.如，；
②.如，；
③.如，.
按照以上变换有：，那么等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意的描述，可得三种变换的规律，按此规律化简f（h（5，-3））可得答案，注意从题目中所给的变化范例中找到验证规律．
根据题意，f（h（5，-3））=f（-5，3）=（5，3）；故选B.
【点睛】本题考查了点的坐标，几何变换，读懂题目信息，理解f、g、h的变化方法是解题的关键．
8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可．
设、是方程是常数，的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”
∴或
∴当a=2时，t有最大值，最大值为4．故选C.
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
9．已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（ ）
A．6个 B．10个 C．16个 D．20个
【答案】C
【解析】由，以及若x不是整数，则
∴n的值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，
故选：C.
【点睛】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解表示不超过x的最大整数，得到，即n是6的倍数，由此解决问题.
10.对于实数a、b，定义运算“★”：
a★b=，
关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t＜ D．t＞
【答案】D
【解析】分两种情况：①当2x+1≤2x-3成立时；②当2x+1＞2x-3成立时；进行讨论即可求解．
①当2x+1≤2x-3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b时不成立；
②当2x+1＞2x-3成立时，即1＞-3，所以a＞b时成立；
则（2x-3）2-（2x+1）=t，化简得：4x2-14x+8-t=0，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，△=142-4×4×（8-t）＞0；
解得：t＞．故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．
11．如图，直线l：经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是__．
【答案】或
【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．
【详解】直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），
当x＝2时，y＝，即：B2（2，），
∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），
若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1﹣d＝，解得：d＝；
同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；
若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨．
12．设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1•y2＝x2•y1，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝ ．
【答案】6
【解析】根据材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；
∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，
∴4m＝3×8，
∴m＝6；
故答案为6；
【点评】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键．
13.我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为__________．
【答案】或或
【解析】将关联数为代入函数得到：
，由题意将y=0和x=0代入即可．
解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
14．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.
依题意得：
解得．故答案是：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.
15.定义：如果三角形的两个内角∠与∠满足∠=2∠,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为
【答案】或
【解析】当∠为底角时，用内角和公式求得∠=，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值；当当∠为顶角时，用内角和公式求得∠=，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值。
16.定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是 ．
【答案】2
【解析】根据一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”解答即可．
因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，
可得：k＝2，故答案为：2．
17. （2022苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【解析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
18．我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形． 如图，已知△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求BC边上的高AD的长．（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
【答案】高AD的长是140米．
【解析】根据最稳定三角形得出∠B=∠C=51°，且AB=AC，再利用三线合一得出BD，最后利用三角函数求出AD.
∵ △ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°，且AB=AC，∵ ADBC，
∴BD=BC=116.4m，∴ AD= 116.4×tan51°=139.68 ≈140m，
∴BC边上的高AD的长是140米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是理解题中最稳定三角形的概念.
19.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【答案】（1）∠E＝α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②
【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，[来源:Z#xx#k.Com]
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，[来源:Z|xx|k.Com]
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AG＝，
Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，[来源:学_科_网]
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2021甘肃威武定西平凉）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代入求值即可．
∵（m，n）是“相随数对”，
∴+＝，
∴＝，
即9m+4n＝0，
∴3m+2[3m+（2n﹣1）]
＝3m+2[3m+2n﹣1]
＝3m+6m+4n﹣2
＝9m+4n﹣2
＝0﹣2
＝﹣2
21．（2021四川雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min（x+1，﹣x2+2x+3），则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
22.（2021黑龙江绥化）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】根据题意列出算式，求解即可
．
【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．
23.定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】将按照题中的新运算方法展开，可得，
所以可得，
化简得：，，
可得，即可得出答案.
根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
24．（2021呼和浩特）若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ．
【答案】0，1，0，1．
【解析】根据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的yn即可．
当n＝1时，x0＝x4＝1＝x2，
∴y1＝0，
当n＝2时，x1≠x3，
∴y2＝1，
当n＝3时，x2＝x4，
∴y3＝0，
当n＝4时，x3≠x5＝x1，
∴y4＝1，
∴“伴生数列”B是：0，1，0，1，
故答案为0，1，0，1．
25.（2022贵州遵义）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】（1），顶点为
（2）①或；②或．
【解析】【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
解：(1)抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点
(2)解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
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