2023高考数学复习专项训练《棱柱、棱锥、棱台的表面积》

这是一份2023高考数学复习专项训练《棱柱、棱锥、棱台的表面积》，共16页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023高考数学复习专项训练《棱柱、棱锥、棱台的表面积》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线的倾斜角是A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角3.（5分）下列四个命题中，正确的是A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4.（5分）如图，若长方体的六个面中存在三个面的面积分别是，，，则该长方体中线段的长是
 A.  B.  C.  D. 5.（5分）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为A.  B.  C.  D. 6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为A.  B.  C.  D. 7.（5分）无论实数取何值，直线都过定点，则该定点的坐标为A.  B.  C.  D. 8.（5分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A、B、C、D、
 A.  B.  C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知空间中三点，，，则下列结论正确的有A. 与共线的单位向量是
B.
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是10.（5分）已知直线：，直线：，则下列命题正确的有A. 直线恒过点 B. 存在使得直线的倾斜角为
C. 若，则或 D. 不存在实数使得11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值12.（5分）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 与直线平行13.（5分）如图，在棱长均相等的正四棱锥中，、分别为侧棱、的中点，是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有
 A. 平面 B. 平面平面
C.  D. 平面三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为，写出点的一个坐标 ______.15.（5分）已知，则的最大值是             ．16.（5分）已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为 ______.
 17.（5分）平面的一个法向量，平面的一个法向量，则平面、平面夹角的余弦值是 ______.18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线过点 
若直线与直线垂直，求直线的方程； 
若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．20.（12分）正三棱柱中，，，点，分别为，的中点.
 求证：；求三棱锥的体积21.（12分）已知的顶点，过点的内角平分线所在直线方程是，过点的中线所在直线的方程是 
求顶点的坐标； 
求直线的方程.22.（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为，的中点， 
证明：； 
若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值．
 23.（12分）如图，四边形为梯形，，，侧面为等边三角形，平面平面，，点在边上，且
 证明：平面当二面角的平面角的正切值为时，求四棱锥的体积.
答案和解析1.【答案】null;【解析】解：的斜率为， 
则所求倾斜角为 
故选： 
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 
此题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
 2.【答案】C;【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理，， 
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理有， 
，则， 
又， 
，，，四点共面，故正确； 
对于：，，且，， 
当，时，，故错误， 
故选： 
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案． 
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 3.【答案】B;【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 4.【答案】A;【解析】解：设长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为，，， 
长方体的六个面中存在三个面的面积分别是，，， 
，解得，，， 
该长方体中线段的长是： 
故选： 
由长方体的三个面的面积先求出同一顶点出发的三条棱长，由此能求出该长方体中线段的长． 
此题主要考查长方体的结构特征、体对线长等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 5.【答案】A;【解析】解：直线与直线平行， 
，求得， 
故两条平行直线与直线， 
则它们之间的距离为， 
故选： 
由题意利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果． 
此题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
 6.【答案】B;【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 7.【答案】A;【解析】解：直线， 
可得， 
解得：， 
定点的坐标为 
故选： 
直接根据的系数为以及即可求解结论． 
此题主要考查直线经过的定点的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 8.【答案】null;【解析】解：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 
 
则， 
所以， 
则 
故选： 
以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得各点坐标，再由向量的夹角公式得解． 
此题主要考查利用空间向量求异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题．
 9.【答案】BD;【解析】解：空间中三点，，， 
，，单位向量是与不共线，故错误； 
，，，故正确； 
，，故错误； 
设，则，，， 
平面的一个法向量是，故正确． 
故选： 
利用共线向量和单位向量的定义判断；利用向量垂直的性质判断；利用向量夹角余弦公式判断；利用法向量定义判断 
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】AB;【解析】解：直线：，令，解得，可得直线恒过点，因此正确； 
B.时，直线化为，此时直线的斜率不存在，倾斜角为，因此正确． 
C.直线与的方向向量分别为，，由，解得，经过验证时两条直线重合，舍去，因此，则，故不正确； 
D.时，两条直线分别化为，，此时两条直线垂直，因此不正确． 
故选： 
A.直线：，令，解得，可得直线恒过的定点； 
B.时，直线化为，此时直线的斜率不存在，可得直线的倾斜角． 
C.直线与的方向向量分别为，，利用，解得，并且经过验证两条直线是否重合，即可得出的值，进而判断出结论； 
D.时，两条直线分别化为，，可知两条直线垂直，即可判断出正误． 
此题主要考查了相互垂直或平行的直线与斜率之间的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 11.【答案】ABC;【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 12.【答案】null;【解析】解：直线的倾斜角等于，则是直线的方向向量，斜率为， 
由于经过点，于是：，即 
对于：由于，所以正确； 
对于：中由得：，错误； 
对于：直线的斜率为，由于，则与直线垂直，正确； 
对于：与直线斜率相同，纵截距不同，因此两者平行，正确． 
故选： 
根据条件写出直线的方程，根据直线间位置关系的等价条件进行判断即可． 
此题主要考查直线的方程以及平行垂直的等价条件，属于基础题．
 13.【答案】ABC;【解析】解：如图，连接，易得，所以平面，结论正确． 
 
同理，所以平面平面，结论正确． 
由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，又，所以，结论正确． 
由于，分别为侧棱，的中点，所以，又四边形为正方形，所以，因为与不垂直，故错误． 
故选： 
对个命题分别进行判断，即可得出结论． 
此题主要考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 14.【答案】（2，0，0）（答案不唯一）;【解析】解：设， 
因为点到坐标原点的距离为， 
所以， 
故答案为：答案不唯一 
利用空间两点间的距离求解． 
此题主要考查两点间的距离公式，属于基础题．
 15.【答案】 ;【解析】  
试题分析  
 
的几何意义可以看做点到点和点距离之差的最大值而  
所以  
考点：函数的最值 两点的距离公式  
点评：本题的关键是根据函数的几何意义将代数问题转化成几何问题属中档题．
 16.【答案】17;【解析】解：，，，，， 
， 
， 
故答案为 
利用，两边平方即可求得的长． 
此题主要考查求线段的长，考查转化思想的运用，属中档题．
 17.【答案】;【解析】解：平面的一个法向量，平面的一个法向量， 
， 
设平面与平面夹角为， 
， 
故答案为： 
根据向量与的坐标，分别算出的模和与的数量积，然后用向量的夹角公式算出它们夹角的余弦值，再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系即可求解． 
此题主要考查了二面角的计算，属于中档题．
 18.【答案】;【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 19.【答案】解：（1）∵直线l与直线2x+y+3=0垂直， 
∴设直线l的方程为x-2y+m=0， 
∵直线l过点P（1，-2）， 
∴1-2×（-2）+m=0，解得m=-5， 
∴直线l的方程为x-2y-5=0． 
（2）当直线l过原点时，斜率为-2，由点斜式求得直线l的方程是y=-2x, 
即2x+y=0， 
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x-y=a,把点P（1，-2）代入方程得a=3， 
直线l的方程是x-y-3=0， 
故直线l的方程为2x+y=0或x-y-3=0．;【解析】 
根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式公式，即可求解． 
根据已知条件，分直线过原点，不过原点两种情况讨论，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，考查转化能力，属于基础题．
 20.【答案】解：取的中点，连接，，因为，分别是中点，点，分别为，的中点. 
，， 
又因为， 
，，即四边形为平行四边形， 
因此， 
又因为平面，平面， 
所以平面 
 
取的中点，是正三角形， 
，又平面平面，平面平面， 
平面， 
是正三角形，，所以 
， 
， 
;【解析】此题主要考查了直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积公式，属于基础题． 
取的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，于是可得，利用线面平行的判定即可求得答案 
根据等体积法即可求得体积.
 21.【答案】解：设，则中点，由，解得，故 设点关于直线的对称点为，则，得，即直线经过点和点， 
故直线的方程;【解析】此题主要考查了待定系数法求直线方程的运用，考查了计算能力，属于中档题．先设点的坐标，根据的内角平分线方程是得到关于，的一个方程，再结合中点在过点的中线上，即可求出点的坐标；先求出点关于直线的对称点，因为直线经过点和点，根据和点的坐标即可求出直线的方程．
 22.【答案】（1）证明：因为PA=PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD， 
又PE⊥CD，且AD∩CD=D，所以PE⊥平面ABCD， 
又因为BD⊂面ABCD，所以PE⊥BD； 
（2）解：因为底面ABCD为直角梯形，BC∥DE，BC=DE，所以四边形BEDC为矩形， 
所以BE⊥AE， 
又AE∥BC，AE=BC，PE⊥平面ABCD， 
所以四边形ABCE是平行四边形，则AB∥EC， 
所以∠PCE=45°，则， 
以E为坐标原点，以EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系： 
 
则， 
所以， 
设平面EBF的一个法向量为， 
则，即，令z=1，则， 
平面ABE的一个法向量为， 
则， 
所以平面FBE和平面ABE所成角的余弦值．;【解析】 
由和证明平面即可得出； 
以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和面的法向量，利用向量关系即可求出． 
此题主要考查了空间中的垂直关系以及两个平面的夹角问题，属于中档题．
 23.【答案】证明：连结交于，再连结， 
由知，又，所以， 
所以，又平面，平面， 
所以平面； 
 
作于，平面平面， 
平面平面，平面，平面， 
以为坐标原点， 建立空间直角坐标系， 设， 
，，， 
， 
设平面的一个法向量，平面的一个法向量 
则，令，得， 
，令，得， 
设二面角的平面角的平面角为，则，， 
，解得， 
;【解析】此题主要考查空间线面平行的判定以及空间几何体体积的求法，考查利用向量求二面角的方法. 
连结交于，证明，由线面平行的判定定理即可证得平面 
作于，设，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，由解得，即可求得体积.