2023高考数学复习专项训练《圆的方程》

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2023高考数学复习专项训练《圆的方程》一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若圆C的圆心在直线3x+2y=0上，且与x轴交于点（-2，0），（6，0），则该圆的标准方程是（ ）A. （x-2）2+（y+3）2=25 B. （x-2）2+（y-1）2=16C. （x+1）2+y2=16 D. （x+2）2+（y-3）2=252.（5分）已知两定点F1(-2,0)，F2(2,0)，点P是平面上一动点，且|PF1|+|PF2|=4，则点P的轨迹是(    )A. 圆 B. 直线 C. 椭圆 D. 线段3.（5分）圆心为（-2，3），且与y轴相切的圆的方程是（ ）A. x2+y2+4x-6y+9=0 B. x2+y2+4x-6y+4=0C. x2+y2-4x+6y+9=0 D. x2+y2-4x+6y+4=04.（5分）已知圆心为(-2,1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是()A、(x+2)2+(y-1)2=4B、(x+2)2+(y-1)2=1C、(x-2)2+(y+1)2=4D、(x-2)2+(y+1)2=1A. (x+2)2+(y-1)2=4 B. (x+2)2+(y-1)2=1C. (x-2)2+(y+1)2=4 D. (x-2)2+(y+1)2=15.（5分）如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，P为底面ABCD内的一动点，若PB→.PS→=1，则动点P的轨迹在(    )A. 圆上 B. 双曲线上 C. 抛物线上 D. 椭圆上6.（5分）已知P(a,b)为圆C:x2+y2-2x-4y+4=0上任意一点，则b-1a+1的最大值为(    )A. 2                                B. 43 C. -43 D. 07.（5分）若点P(x,y)在曲线上x-1-y2=0，则yx-2的取值范围为( )A. (-∞,-33]⋃[33,+∞) B. [-33,33]C. (-∞,-12]⋃[12,+∞) D. [-12,12]8.（5分）以（2，0）为圆心，经过原点的圆方程为（ ）A. （x+2）2+y2=4B. （x-2）2+y2=4C. （x+2）2+y2=2D. （x-2）2+y2=2二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知点是椭圆上的动点，是圆上的动点，点则( ) A. 椭圆的离心率为B. 椭圆中以为中点的弦所在直线方程为C. 圆在椭圆的内部D. 的最小值为10.（5分）已知O(0,0)，A(0,-3)，动点P满足|PA|=2|PO|，记动点P的轨迹为曲线C，则以下选项正确的有( )A. 曲线C的方程为：x2+(y-1)2=4B. 过O且被曲线C所截得的弦长为15的直线有两条C. 曲线C上只有1个点到点A的距离为42D. 若D，E为曲线C上的两点，且OD⊥OE，则|DE|的最大值为1+711.（5分）若过点2,0有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切，则实数m的可能取值是( )A. -3                      B. 3                          C. 0                          D. 1212.（5分）已知圆x2+y2-2ax+4a-4=0在曲线|x|+|y|=4的内部，则实数a的值可以是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 313.（5分）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若M(1,y0)为抛物线C上一点，直线MF的斜率为-3，且以M为圆心的圆与C的准线相切于点Q，则下列说法正确的是( )A. 抛物线C的准线方程为x=-3B. 直线MF与抛物线C相交所得的弦长为15C. ΔMFQ外接圆的半径为4D. 若抛物线C上两点之间的距离为8，则该线段的中点到y轴距离的最小值为1三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）动圆过定点(0,-2)和定圆x2+(y-2)2=4相外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．15.（5分）若直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于2x+y+b=0对称，则2k+b的值为____．16.（5分）已知圆O:x2+y2=1，点C为直线l：2x+y-2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是_____________.17.（5分）已知动圆P过定点A(-3,0)，且在定圆B：(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为 ______.18.（5分）已知圆C:(x+1)2+y2=10及定点A(1,0)，点P，Q为圆C上两动点，点M为弦PQ为的中点，若AP→⋅AQ→=0，则点M到点N(3,4)的距离的最大值为____.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知圆M经过两点A(3,3)，B(2,2)且圆心M在直线y=x-2上． (Ⅰ)求圆M的方程； (Ⅱ)设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且k1⋅k2=2，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标．20.（12分）已知平面内动点M到两定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离之和为4． (Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程； (Ⅱ)已知直线l1和l2的倾斜角均为α，直线l1过坐标原点O(0,0)且与曲线E相交于A，B两点，直线l2过点F2(1,0)且与曲线E是交于C，D两点，求证：对任意α∈[0,π)，|OA||OB||F2C||F2D|=43．21.（12分）已知平面上动点M(x,y)与定点(1,0)的距离和M到定直线x=2的距离的比是常数22，动点M的轨迹为曲线C.直线l的斜率存在，且与曲线C交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两个不同的点． (1)求曲线C的方程； (2)若△OPQ的面积为22，证明：x12+x22为定值．22.（12分）已知过原点的动直线与圆C1：x2+y2-8x+4=0相交于不同的两点A，B． (1)求线段AB的中点M的轨迹C的方程； (2)是否存在实数k，使得直线l：y=k(x-6)与曲线C只有一个公共点？若存在，求出k的取值范围，若不存在，说明理由．23.（12分）如图，已知抛物线C：y2=x和⊙M：(x-4)2+y2=1，过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0⩾1)作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．   (1)当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率； (2)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．答案和解析1.【答案】A;【解析】解：∵圆与x轴的交点分别为（-2，0），（6，0）， ∴由圆的性质可知，圆心的横坐标为2， 又∵圆心在直线3x+2y=0上， ∴圆心的纵坐标为-3， ∴可设圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=r2，（r＞0）， 将（6，0）代入， 得r2=25， ∴圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25． 故选：A．2.【答案】D;【解析】解：F1，F2为平面上两个不同定点，|F1F2|=4，  动点P满足：|PF1|+|PF2|=4，  则动点P的轨迹是以F1，F2为端点的线段．  故选：D． 点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间(或与F1、F2重合)时，符合题意．由此得到本题答案．  该题考查了轨迹方程，解答的关键是对题意的理解，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：根据圆心坐标（-2，3）到y轴的距离d=|-2|=2， 则所求圆的半径r=d=2， 所以圆的方程为：（x+2）2+（y-3）2=4， 化为一般式方程得：x2+y2+4x-6y+9=0． 故选A4.【答案】null;【解析】解：圆心为(-2,1)的圆与x轴相切， 则该圆的半径为1， 故该圆的标准方程是(x+2)2+(y-1)2=1. 故选：B. 根据已知条件，求出圆的半径，即可求解． 此题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：由题意建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，A为坐标原点，则B(2,0,0)，S(0,0,c)，设P(x,y,0)因为PB→.PS→=(2-x,-y,0)(-x,-y,c)=x2-2x+y2+0=(x-1)2+y2， 由题意可得：(x-1)2+y2=1，可得动点P的轨迹为：以(1,0)为圆心，以1为半径的圆． 故选：A． 建立空间直角坐标系，设坐标，由数量积可得P的轨迹为圆． 考查求轨迹方程，属于中档题．6.【答案】B;【解析】【试题解析】  此题主要考查圆的标准方程、圆有关的最值问题，为中档题. 根据题意，求出圆心与半径，b-1a+1表示点(a,b)与A(-1,1)连线的斜率，结合图形，转化为点到直线的距离，即可求出结果.  解：依题意，圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的标准方程是x-12+y-22=1， ∴圆心是C(1,2)，半径r=1， P(a,b)是圆上任意一点，b-1a+1表示点(a,b)与A(-1,1)连线的斜率， 通过数形结合可得，当过点A的直线与圆相切时，b-1a+1取得最大值， 设此时直线的斜率是k， 则直线方程是y-1=k(x+1)，即kx-y+k-1=0， 此时圆心到直线的距离等于半径， ∴k-2+k+1k2+1=1，解得：k=0或k=43， 显然43>0， ∴b-1a+1的最大值是43. 故选B.7.【答案】B;【解析】 此题主要考查了圆的最值问题，和直线的倾斜角与斜率问题，属于中档题； 先把x-1-y2=0，转化成圆的标准方程形式，则yx-2的几何意义是右半圆上的点与点(2,0)的直线的斜率的取值范围.  解：由x-1-y2=0得x2+y2=1,x⩾0， 表示以(0,0)为圆心，半径为1的圆的右半部分， yx-2的几何意义是右半圆上的点与点(2,0)的直线的斜率， 可以得到yx-2∈-33,,33. 故选B.8.【答案】B;【解析】解：∵圆经过圆点， ∴半径r=2， 则以（2，0）为圆心，经过原点的圆方程为（x-2）2+y2=4， 故选：B9.【答案】ABC;【解析】 此题主要考查椭圆的性质及圆与椭圆的综合，考查了分析和运算能力，属于中档题. 由椭圆的标准方程和性质以及圆的性质，结合选项分析即可得到答案.  解：由题意，由椭圆方程可得，a2=6，b2=1， ∴c2=a2-b2=5， ∴c=5， 离心率e=ca=56=306，所以A正确； 设A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆C上的点，且M为AB的中点， 则有x1+x2=1，y1+y2=23， 又A，B在椭圆上，即{x126+y12=1x226+y22=1， 则有kAB=y1-y2x1-x2=-x1+x26y1+y2=-16×23=-14， 所以椭圆C中以M为中点的弦所在直线方程为：y-13=-14x-12， 即6x+24y-11=0，故B正确； 由{x26+y2=1(x+1)2+y2=15，整理可得：5x26+2x+95=0，Δ=22-4×56×95<0， 所以两个曲线无交点， 又圆心(-1,0)在椭圆内部， 所以圆D在椭圆的内部，所以C正确； 设P(x,y)，则|PQ|的最小值即为点P到圆心的最小距离减去圆D半径， 由题意可得|PQ|的最小值为：|PQ|=(x+1)2+y2-55=56-DFRAC55= 56-55⩾255-55=55,当且仅当x=-65时取等号， 所以最小值为55，所以D不正确． 故选ABC.   10.【答案】AB;【解析】解：设P(x,y)，∵点O(0,0)，A(0,-3)，动点P满足|PA|=2|PO|， ∴x2+(y+3)2=2x2+y2，化简整理可得x2+(y-1)2=4，故A正确； 设过原点的直线方程为y=kx，则圆心到直线的距离d=|0-1|1+k2，则由弦长公式可得(152)²=4-d²，即154=4-11+k2，解得k=±3， 则过O且被曲线C所截得的弦长为15的直线有两条，故B正确； 设曲线C上的点Q(x,y)，则|AQ|²=x²+(y+3)²=32，联立{x2+(y+3)2=32x2+(y-1)2=4，解得y=52，x=±72， 即满足曲线C上到点A的距离为42的点有两个，故C错误； 不妨设D(2cosθ,2sinθ+1)，由于OD⊥OE，即点E可以看做由点D逆时针旋转90°得到的，(不妨设为逆时针)， 则E(2cos(θ+90°),2sin(θ+90°)+1)，即点E为(-2sinθ,2cosθ+1)， 则|DE|2=(2cosθ+2sinθ)2+(2sinθ+1-2cosθ-1)2=8， 故|DE|=22.故D错误． 故选：AB. 设出点的坐标，利用动点P满足|PA|=2|PO|，建立方程，化简可得点P的轨迹方程，再逐一判断即可． 此题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解等知识，属于中等题．11.【答案】CD;【解析】 此题主要考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系判定，属于基础题. 由圆的标准方程知m<1，由题意知点(2,0)在圆的外部，得到m>-1从而得解.  解：圆的标准方程为x-12+y+12=-m+1，∴m<1， 由题意得点2,0在圆C外，所以需满足条件2-12+0+12>1-m 且x-12+y+12=-m+1>0，解得-10)，由已知可得关于a、b、r的方程组，求解a、b、r的值，则圆的方程可求； (Ⅱ)由题意设y=kx+b，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及k1⋅k2=2求得k与b的关系，再由直线系方程得结论． 此题主要考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）解：由题设知|MF1|+|MF2|=4，则根据椭圆的定义得： 动点M的轨迹E是以定点F1（-1，0）和F2（1，0）为焦点的椭圆， 且2a=4，c=1， ∴a=2，b2=a2-c2=3， 可得动点M的轨迹E的方程为x24+y23=1； （Ⅱ）证明：由题设可设直线l1和l2的参数方程分别为l1：x=tcosαy=tsinα，（t为参数）； l2：x=1+tcosαy=tsinα，（t为参数）． 将直线l1和l2的参数方程分别和椭圆x24+y23=1联立后整理得： （3cos2α+4sin2α）t2=12；（3cos2α+4sin2α）t2+（6cosα）t-9=0， 则由参数t的几何意义、根与系数的关系及椭圆的对称性有： |OA||OB|=|OA|2=tn2=123cos2α+4sin2α，其中tn为点A对应参数， |F2C||F2D|=|t1t2|=93cos2α+4sin2α，其中t1，t2分别为点C，D对应参数， 故|OA||OB||F2C||F2D|=123cos2α+4sin2α93cos2α+4sin2α=43．;【解析】 (Ⅰ)根据椭圆的定义即可得到动点M的轨迹E的方程； (Ⅱ)由题设可设直线l1和l2的参数方程分别为l1：x=tcosαy=tsinα，(t为参数)；l2：x=1+tcosαy=tsinα，(t为参数)，分别与椭圆联立，根据参数t的几何意义、根与系数的关系及椭圆的对称性，即可求出． 此题主要考查了点的轨迹方程和直线的参数方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21.【答案】null;【解析】 (1)根据题意，列方程，即可求得曲线C的方程； (2)方法一：设直线PQ的方程y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，结合△OPQ的面积为22，即可求得k与m的关系，即可证明x12+x22为定值． 方法二：设P，Q的参数坐标，根据三角形的面积公式，即可求得α和β的关系，即可证明x12+x22为定值． 此题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查常见的结论的证明，要求学生会证，会灵活应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）设M（x，y）；由垂径定理得C1M⊥AB； 因为AB过原点O；∴OM⊥MC1； ∵OM→=（x，y），M→C1=（4-x，y） 即（x，y）•（4-x，-y）=0⇒x（4-x）-y2=0，化简得：x2+y2-4x=0 ① 又因为M在圆C1内，∴x2+y2-8x+4＜0 ② 由①②得1＜x≤4； ∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：x2+y2-4x=0（1＜x≤4）； （2）结论：当k∈（-35，35）∪{-33，33}时，直线L：y=k（x-6）与曲线C只有一个交点． 理由如下：当直线l与C相切时，由|4k|1+k2=2⇒k=±33； 当直线l过C的端点（1，±3）时，解得k=±35； ∴当直线L：y=k（x-6）与曲线C只有一个交点时，k∈（-35，35）∪{-33，33}．;【解析】 (1)设设M(x,y)，先根据条件得到OM⊥MC1；求出其满足的方程，再结合M在圆C1内，即得结论；  (2)通过联立直线L与圆C1的方程，利用圆心到直线的距离等于半径及轨迹C的端点与点(6,0)决定的直线的斜率，即得结论． 该题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4,2)， ∴kHE=-kHF， 设E(x1,y1)，F(x2,y2)， ∴yH-y1xH-x1=-yH-y2xH-x2， ∴yH-y1yH2-y12=-yH-y2yH2-y22， ∴y1+y2=-2yH=-4. ∴kEF=y2-y1x2-x1=y2-y1y22-y12=1y2+y1=-14. (2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)， ∵kMA=y1x1-4， ∴kHA=4-x1y1， ∴直线HA的方程为y-y1=4-x1y1x-x1, 又x1-42+y12=1， 联立化简可得直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0， 同理，直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0， ∴(4-x1)y02-y1y0+4x1-15=0，(4-x2)y02-y2y0+4x2-15=0， ∴直线AB的方程为(4-x)y02-yy0+4x-15=0， 令x=0，可得t=4y0-15y0，(y0⩾1)， ∵t'=4+15y02>0， ∴t关于y0的函数在[1,+∞)上单调递增， ∴当y0=1时，tmin=-11.;【解析】本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，为较难题． (1)根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4,2)，可得kHE=-kHF，设E(x1,y1)，F(x2,y2)，可得y1+y2=-2yH=-4，从而可求直线EF的斜率； (2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得t=4y0-15y0(y0⩾1)，再利用导数法，即可求得t的最小值． 12