2023高考数学复习专项训练《两点距离公式》

2023高考数学复习专项训练《两点距离公式》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）直线的斜率为

A、

B、

C、

D、

A.  B.  C.  D.

2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是

A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角

3.（5分）下列四个命题中，正确的是

A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

4.（5分）如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上．若，则
 

A.  B.  C.  D.

5.（5分）两直线与平行，则它们之间的距离为

A、

B、

C、

D、

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则

A.  B.  C.  D.

8.（5分）如图，和均是边长为的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则异面直线与夹角的大小为

A、

B、

C、

D、
 

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知空间中三点，，，则下列结论正确的有

A. 与共线的单位向量是
B.
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是

10.（5分）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是

A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 与直线平行

11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 

A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值

12.（5分）下列说法中，正确的是

A. 直线在轴上的截距是
B. 直线的倾斜角为
C. ，，三点共线
D. 直线与垂直

13.（5分）正方体中，为中点，为中点，以下说法正确的是
 

A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）在轴上有一点，使得到点与点的距离相等，则的坐标为______.

15.（5分）若点为直线上的动点，则的最小值为 ______.

16.（5分）已知矩形，，，沿对角线将折起，使二面角的平面角的大小为，则与之间距离为 ______.

17.（5分）设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的大小为__________.

18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知直线过定点 
若直线与直线垂直，求直线的方程； 
若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．

20.（12分）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形， 
求证：； 
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
 

21.（12分）已知三条直线：，：，：，它们围成 
求证：不论为何值，有一个顶点为定点； 
当为何值时，面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值．

22.（12分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在四面体中，平面，平面平面 
求证四面体为“鳖臑”； 
若，，当二面角的平面角为时，求的长度．
 

23.（12分）如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求： 
该圆锥的表面积； 
直线与平面所成角的大小结果用反三角函数值表示
 

答案和解析

1.【答案】null;

【解析】解：直线， 
则，即直线的斜率为， 
故选： 
将直线化成斜截式，即可求解． 
此题主要考查直线的斜率，属于基础题．
 

2.【答案】C;

【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理，， 
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理有， 
，则， 
又， 
，，，四点共面，故正确； 
对于：，，且，， 
当，时，，故错误， 
故选： 
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案． 
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】B;

【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 

4.【答案】B;

【解析】解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 
 
则， 
设， 
因为， 
所以，解得，即， 
故选： 
建立空间直角坐标系，利用向量法可得． 
此题主要考查了利用向量法求解距离的问题，属于基础题．
 

5.【答案】null;

【解析】 
此题主要考查两平行直线间的距离，属于基础题. 
根据两直线平行求得的值，利用公式，直接求即可. 
 
解：将化为， 
因为两直线平行，所以， 
根据两平行线之间的距离公式，可得 
故选
 

6.【答案】B;

【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 

7.【答案】B;

【解析】解：直线：过定点， 
直线：化为，令，解得， 
则直线：过定点， 
直线：过定点，直线：， 
， 
直线与垂直， 
 
故选： 
先求出直线与所过的定点，再结合直线与垂直，即可求解． 
此题主要考查恒过定点的直线，考查转化能力，属于基础题．
 

8.【答案】null;

【解析】解：取中点，连接，， 
由于和均是边长为的正三角形，则，， 
又，且平面，平面， 
则平面， 
又平面， 
则，即异面直线与夹角的大小为 
故选： 
取中点，连接，，易证得平面，再由线面垂直的判定即可得解． 
此题主要考查线面垂直的判定以及异面直线所成角，属于基础题．

 

9.【答案】BD;

【解析】解：空间中三点，，， 
，，单位向量是与不共线，故错误； 
，，，故正确； 
，，故错误； 
设，则，，， 
平面的一个法向量是，故正确． 
故选： 
利用共线向量和单位向量的定义判断；利用向量垂直的性质判断；利用向量夹角余弦公式判断；利用法向量定义判断 
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】null;

【解析】解：直线的倾斜角等于，则是直线的方向向量，斜率为， 
由于经过点，于是：，即 
对于：由于，所以正确； 
对于：中由得：，错误； 
对于：直线的斜率为，由于，则与直线垂直，正确； 
对于：与直线斜率相同，纵截距不同，因此两者平行，正确． 
故选： 
根据条件写出直线的方程，根据直线间位置关系的等价条件进行判断即可． 
此题主要考查直线的方程以及平行垂直的等价条件，属于基础题．
 

11.【答案】ABC;

【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 

12.【答案】BC;

【解析】 
此题主要考查直线的倾斜角和过两点的斜率公式、三点共线和两条直线垂直的判定，属于基础题. 
根据各知识点对选项逐个判断即可.解：对于，直线，令，， 
则直线在轴上的截距是，故错误； 
对于，直线的斜率为， 
则倾斜角满足，则，故正确； 
对于，因为 
则，且点公共，则，，三点共线，故正确； 
对于，直线的斜率为，垂直的斜率为， 
两直线的斜率之积不是，故两直线不垂直，故错误. 
故选
 

13.【答案】AC;

【解析】解：如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为，则，，，，， 
由于平面，平面，平面， 
则平面，平面，平面的法向量可分别取，，，， 
对于：由于，且平面，故平面，正确； 
对于：，故错误； 
对于：，即，故平面，正确； 
对于：与不共线，故错误， 
故选： 
 
建立空间直角坐标系，根据平行垂直的等价条件计算判断． 
此题主要考查空间线面位置关系，属于基础题．
 

14.【答案】（0，0，-3）;

【解析】解：设轴上满足条件的点为， 
点到点与点的距离相等， 
，即， 
解之得，得 
故答案为： 
设满足条件的点为，根据题意利用空间两点的距离公式建立关于的方程，解出的值即可得到所求点的坐标． 
本题给出空间点、的坐标，求轴上与、距离相等的点坐标，着重考查了空间坐标系中两点之间的距离公式的知识，属于基础题．
 

15.【答案】4;

【解析】解：可看成的平方， 
点为直线上的动点， 
点到直线的距离为， 
故的最小值为 
故答案为： 
可看成的平方，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 
此题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
 

16.【答案】;

【解析】解：过和分别作，，如图， 
 
矩形，，，， 
，，，， 
沿对角线将折起，使二面角的平面角的大小为， 
， 
， 
 
 
， 
与之间距离为 
故答案为： 
过和分别作，，由矩形，，，求出，，由二面角的平面角的大小为，求出，再利用向量线段运算法则能求出与之间距离． 
此题主要考查空间中两点间距离的求法，考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】或;

【解析】 
 
【易错警示】利用空间向量法求二面角，有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从同一点出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小二是通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为和，则二面角的大小等于，或，由二面角定义得，，，或，即二面角的大小为或 

 

18.【答案】;

【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：（1）直线l与直线x+2y-5=0垂直，设直线l的方程为2x-y+c=0， 
将定点A（2，1）代入可得4-1+c=0，解得c=-3， 
故直线l的方程为2x-y-3=0． 
（2）①当直线l经过原点时，直线l的方程为y=，即x-2y=0； 
②当直线l不经过原点时，设直线l的方程为x-y=a, 
把点（2，1）代入可得2-1=a,解得a=1，则直线l的方程为x-y-1=0， 
综上，直线l的方程为x-2y=0或x-y-1=0．;

【解析】 
根据两直线垂直，设直线的方程，代入点的坐标，求出参数的值即可； 
分直线经过原点和直线不经过原点两种情况讨论，当直线不经过原点，设直线的方程为，代入点的坐标，求出参数的值即可． 
此题主要考查了直线垂直的性质和直线的截距式方程，考查了分类讨论思想和方程思想，是基础题．
 

20.【答案】解：（1）证明：∵平面PAC⊥底面ABCD，且平面PAC∩底面ABCD=AC， 
又AD⊥AC，AD⊂底面ABCD， 
∴AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， 
∴PC⊥AD； 
（2）如图，连接BD交AC于点F，则F为BD的中点，取PD中点为E，再连接EF， 
则BP∥EF，又BP⊄平面ACE，EF⊂平面ACE， 
∴BP∥平面ACE， 
故存在PD的中点E，使得BP∥平面ACE．;
 

【解析】 
根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质即可证明； 
连接交于点，则为的中点，取中点为，再连接，则，从而看证得平面 
此题主要考查面面垂直的判定定理，线面垂直的性质，线面平行的判定定理，属基础题．
 

21.【答案】解：根据题意得，、交于， 
、交于， 
、交于， 
所以不论取何值时，中总有一个顶点为定点；

当时，：，：，：， 
所以，，，故的面积； 
当时，因为的斜率，的斜率， 
所以，故、垂直，即， 
所以的面积 
， 
①当时，则且当时，取最大值； 
②当时，则 
且当时，取最小值； 
综上，当时，取最大值，当时，取最小值;

【解析】此题主要考查直线的一般式方程，考查直线的交点坐标求解以及两直线位置关系的应用，考查分类讨论思想的运用，属于中档题目. 
分别求出，，，的交点坐标，即可得出结论； 
当时得出三角形三个顶点坐标求出面积即可； 
当时，由的斜率，的斜率可知、垂直，表示出三角形的面积，分与求出的最值即可. 

 

22.【答案】证明：（1）∵PA⊥平面ABC， 
∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB和△PAC为直角三角形， 
过点A作AG⊥PB，垂足为B， 
∵平面PAB⊥平面PBC，而平面PAB∩平面PBC=PB，且AG⊂平面PAB， 
∴AG⊥平面PBC， 
∵BC⊂平面PBC，∴AG⊥BC， 
又由PA⊥平面ABC得AG∩PA=A，∴BC⊥平面PAB， 
∴BC⊥PB，BC⊥AB，即△PBC和△ABC为直角三角形， 
∴四面体P-ABC为“鳖臑”； 
 
解；（2）过点G作GH⊥PC，垂足为H，连结AH， 
由（1）知AG⊥平面PBC，∴AG⊥PC， 
而GH⊥PC，AG∩GH=G， 
∴PC⊥平面AGH，∴PC⊥AH， 
∴∠AHG为二面角A-PC-B的平面角，∴， 
∵∠BAC=45°，设AB=BC=x， 
则，， 
在Rt△AGH中，， 
即，得x=2， 
∴AB的长度为2．;

【解析】 
由题意分别证得、、和为直角三角形即可证明； 
过点作，垂足为，连接，证得为二面角的平面角，设，则中，，解方程求出即可得出答案． 
此题主要考查了垂直关系的证明和二面角的应用，属于中档题．
 

23.【答案】解：（1）∵圆锥的底面半径OA=2，高PO=6， 
∴圆锥的母线长PA===2， 
∴该圆锥的表面积为： 
S==（4+4）π． 
（2）由题意OC，OB，OP两两垂直， 
以O为坐标原点，以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 
 
C（2，0，0），A（0，-2，0），P（0，0，6），D（0，-1，3）， 
=（-2，-1，3），平面PAB的法向量为=（1，0，0）， 
设直线CD与平面PAB所成角为θ， 
则sinθ===， 
∴直线CD与平面PAB所成角的大小为arcsin．;

【解析】 
求出圆锥的母线长，由此能求出该圆锥的表面积． 
由题意，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小． 
此题主要考查圆锥结构特征、圆锥的表面积、线面角、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．