第02讲不等式-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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第02讲不等式【考点梳理】一、等式与不等式的性质1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a0）.))2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其应用1.均值不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大).三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集4.分式不等式与整式不等式(1)eq \f(f(x),g(x))>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq \f(f(x),g(x))≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.【解题方法和技巧】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.6.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 【考点剖析】【考点1】不等式的性质题型一：不等式性质一、单选题1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，则二、填空题2．（2020·上海高三专题练习）已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为_________．三、解答题3．（2020·上海崇明区·高三月考）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等.（1）判断上述三者的大小关系，并证明；（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明.【考点2】一元二次不等式题型二：一元二次不等式的解法一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（）A．不存在有序数组，使得B．存在唯一有序数组，使得C．有且只有两组有序数组，使得D．存在无穷多组有序数组，使得2．（2022·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13 B．18 C．21 D．26二、填空题3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知集合，则___________．4．（2022·上海黄浦·模拟预测）不等式的解集为___________.三、解答题5．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）6．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知.(1)若，，解关于的不等式；(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.7．（2022·上海·高三专题练习）设为实数，函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当时，求函数的最小值；（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”.如函数是上的平均值函数，就是它的均值点.现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.题型三：一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立2．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（）A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集二、填空题3．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知实数满足，集合，则A的长度的取值范围是__________．（集合的长度定义为，其中）4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.5．（2022·上海·高三专题练习）对数列，，如果存在正整数，使得，则称数列是数列的“优数列”，若，，并且是的“优数列”，也是的“优数列”，则的取值范围是____________．三、解答题6．（2022·上海·高三专题练习）关于x的不等式的解集为．求实数a，b的值；若，，且为纯虚数，求的值．7．（2022·上海·高三专题练习）对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．【考点3】均值不等式及其应用题型四：均值不等式及其应用1．（2020·上海高三专题练习）在中，、、分别为边、、所对的角，若、、成等差数列，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2020·宝山区·上海交大附中高三月考）已知，，若，则（）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值3．（2020·上海普陀区·高三一模）若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（）A． B． C． D．【真题模拟题专练】一、单选题1．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（）．A． B． C． D．2．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（）A． B．C． D．3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知，，则下列不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·上海静安·二模）若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.5．（2022·上海浦东新·二模）已知x、y满足，则的最小值为________．6．（2022·上海虹口·二模）函数的值域为_________.7．（2022·上海松江·二模）已知正实数、满足，则的最小值为_______．8．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数在上存在零点，且，则的取值范围是_____.9．（2022·上海·位育中学模拟预测）设全集，集合，则 _____.10．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若实数、满足条件，则的最大值为__________．11．（2022·上海·模拟预测）在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________．12．（2022·上海·模拟预测）某蔬菜基地要将120吨新鲜蔬菜运往上海，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装蔬菜20吨，每辆乙型货车运输费用300元，可装蔬菜10吨，若每辆车至多只运一次，则该蔬菜基地所花的最少运输费用为_________元．三、解答题13．（2022·上海闵行·二模）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，是边长为6的等边三角形，边的中点处为固定光源，分别为边上的移动光源，且始终垂直于，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.(1)当为边的中点时，求线段的长度；(2)求的面积的最小值.14．（2022·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？15．（2022·上海松江·二模）如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域为四边形．记． (1)当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）(2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数）16．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）(1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq \f({x|x＞x2,或x＜x1})eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|xb}{x|x≠a}{x|xa}(x－a)·(x－b)<0{x|a