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第18讲 复数的性质及应用-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）
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这是一份第18讲 复数的性质及应用-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用），文件包含第18讲复数的性质及应用解析版docx、第18讲复数的性质及应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
第18讲 复数的性质及应用
【考点梳理】
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
【解题方法和技巧】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
【考点剖析】
【考点1】虚数单位i、复数（共6小题）
1．（2021秋•杨浦区校级期末）化简：i366+i384+i500＝ 1 ．
【分析】根据虚数单位i，以及指数的运算即可求出．
【解答】解：∵i2＝﹣1，
∴i3＝﹣i，i4＝1
∴i366+i384+i500＝（i4）91•i2+（i4）96+（i4）125＝﹣1+1+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．
2．（2022春•闵行区校级月考）已知z1，z2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若|z1|≤1，则﹣1≤z1≤1；
②若z1＝，则∈R；
③若|z1|+|z2|＝0，则z1＝z2＝0；
④若z1+z2是虚数，则z1，z2都是虚数．
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
【分析】根据复数的性质分别判断即可．
【解答】解：z1，z2为复数，
①若|z1|≤1，z没有大小，故﹣1≤z1≤1是错误的，
②若z1＝，则∈R，正确，
③若|z1|+|z2|＝0，则z1＝z2＝0，正确，
④若z1+z2是虚数，z1，z2不一定都是虚数，
比如：z1＝1﹣3i，z2＝﹣1，故错误，
故②③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的定义和性质，是基础题．
3．（2022•宝山区校级开学）以下四个关于复数的结论：
（1）任意两个复数不能比大小；
（2）z∈C⇒z2≥0；
（3）z1﹣z2＞0⇒z1＞z2；
（4）复数a+bi＝c+di（a、b、c、d∈R）⇒a＝c且b＝d．
正确的序号是 （4） ．
【分析】举反例可判断（1）、（2）、（3）为错误的，由复数的定义可判断（4）正确．
【解答】解：（1）任意两个复数不能比大小是错的，例如2与3；
（2）z∈C⇒z2≥0是错的，例如z＝1+i；
（3）z1﹣z2＞0⇒z1＞z2是错的，例如z1＝1+i，z2＝﹣1+i；
（4）复数a+bi＝c+di（a、b、c、d∈R）⇒a＝c且b＝d．
故答案为：（4）．
【点评】本题考查了复数的定义的应用，属于基础题．
4．（2022春•浦东新区校级期末）3+4i的虚部是 4 ．
【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解．
【解答】解：3+4i的虚部是4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查虚部的定义，属于基础题．
5．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝10+17i，则Rez＝ 10 ．
【分析】根据已知条件，结合实部的定义，即可求解．
【解答】解：z＝10+17i，
则Rez＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查实部的定义，属于基础题．
6．（2022春•浦东新区校级期末）若i是虚数单位，当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为 {﹣2，0，2} ．
【分析】分类讨论，利用复数的运算求解即可．
【解答】解：当n＝4k，k∈N时，
1+＝1+1＝2，
当n＝4k+1，k∈N时，
i+＝i﹣i＝0，
当n＝4k+2，k∈N时，
i2+＝﹣1﹣1＝﹣2，
当n＝4k+3，k∈N时，
i3+＝﹣i+i＝0，
故当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为{﹣2，0，2}；
故答案为：{﹣2，0，2}．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i的性质，是基础题．
【考点2】复数的代数表示法及其几何意义（共6小题）
7．（2022春•徐汇区期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A．正数 B．负数
C．实部不为零的虚数 D．纯虚数
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0，虚部为一个非0常数，即为纯虚数．
故选：D．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
8．（2022春•闵行区校级期末）如果复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，
复数z对应的点为复平面x轴上，A（﹣1，0），B（1，0）之间的任意点，
故|z﹣1﹣i|表示复数z对应的点到点P（1，1）的距离，
所以|z﹣1﹣i|的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
9．（2022春•嘉定区校级期末）已知复数z1＝5﹣2022i，z2＝2017+2ai（a∈R），若z1+z2所对应的点在实轴上，则a＝ 1011 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵z1+z2所对应的点在实轴上，
∴z1+z2＝5﹣2022i+2017+2ai＝2022+（2a﹣2022）i，
∵z1+z2所对应的点在实轴上，
∴2a﹣2022＝0，解得a＝1011．
故答案为：1011．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
10．（2022•黄浦区校级模拟）复平面内存在复数z1＝1，z2＝﹣1，对应的三点Z1、Z2、Z3，若点Z4可与Z1、Z2、Z3共圆，则下列复数中可以表示为z4的是（ ）
A．tan15°+cot30°i B．cos45°+sin30°i
C．tan30°+sin15°i D．sin75°+sin15°i
【分析】分析可得|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，则z4需满足|z4|＝1，计算出各选项中复数的模，即可得解．
【解答】解：由已知可得|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，
则点Z1、Z2、Z3均在以原点为圆心且半径为1的单位圆上，
若点Z4可与Z1、Z2、Z3共圆，则|z4|＝1，，A不满足要求；
，B不满足要求；，C不满足要求；
因为sin75°＝sin（90°﹣15°）＝cos15°，
所以，，D满足要求．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于中档题．
11．（2022春•浦东新区校级月考）设a是实数，关于z的方程（z2﹣2z+5）（z2+2az+1）＝0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是 {a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3} ．
【分析】由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，因为z2+2az+1＝0有两个不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1时，
若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1时，讨论计算即可．
【解答】解：由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，
因为z2+2az+1＝0有两个不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，
若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1时，，
因为z1，z2，z3，z4在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，﹣1＜a＜1满足条件；
若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1时，是实根，在复平面上对应的点在实轴上，
仅当z1、z2对应的点在以z3，z4对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为，
整理得，即x2+2ax+1+y2＝0，将点（1，±2）代入得a＝﹣3；
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．
故答案为：{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．
【点评】本题考查了复数的综合应用，属于中档题．
12．（2022春•虹口区校级期末）在复平面中，已知点A（﹣1，0）、B（0，3），复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，且满足|z1|＝|z2|＝2，|Z1Z2|＝4，则的最大值为 ．
【分析】由题意设Z1（2cosα，2sinα），Z2（2cosβ，2sinβ），0≤α＜2π，0≤β＜2π，由|Z1Z2|＝4，得cos（α﹣β）＝﹣1，求得α﹣β＝±π，再由数量积的坐标运算结合三角函数求最值．
【解答】解：由题意设Z1（2cosα，2sinα），Z2（2cosβ，2sinβ），0≤α＜2π，0≤β＜2π，
由|Z1Z2|＝4，得，
整理得cos（α﹣β）＝﹣1，∵0≤α＜2π，0≤β＜2π，
∴﹣2π＜α﹣β＜2π，可得α﹣β＝±π，
，，
则＝（2cosα+1）2cosβ+2sinα（2sinβ﹣3）
＝4cosαcosβ+4sinαsinβ+2cosβ﹣6sinα＝4cos（α﹣β）+2cosβ﹣6sinα
＝﹣4+2cos（±π+α）﹣6sinα＝﹣4﹣6sinα﹣2cosα＝（tan），
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是中档题．
【考点3】纯虚数（共8小题）
13．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2
【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解a的值．
【解答】解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，
∴，∴a＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．
14．（2022秋•奉贤区校级月考）已知z，ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，，且，求ω 7﹣i或﹣7+i ．
【分析】设（1+3i）z＝ai（a∈R，a≠0），化简可得＝，结合可得a＝50或a＝﹣50，从而求得．
【解答】解：设（1+3i）z＝ai（a∈R，a≠0），
则z＝＝，
则＝＝，
∵，
∴|a|•＝5，
故a＝50或a＝﹣50，
故ω＝7﹣i或﹣7+i，
故答案为：7﹣i或﹣7+i．
【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．
15．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z为纯虚数，若zi＝6+ai（其中a∈R，i为虚数单位），则z＝ ﹣6i ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：由题意设z＝bi，b≠0，
∵zi＝6+ai，
∴bi2＝﹣b＝6+ai，即a＝0，b＝﹣6，
∴z＝﹣6i．
故答案为：﹣6i．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
16．（2022•闵行区二模）若为纯虚数（i为虚数单位），则实数m＝ ﹣1 ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：＝＝为纯虚数，
则，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
17．（2022春•宝山区校级月考）若关于x的方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）有纯虚数根，则实数t的值为 2 ．
【分析】设方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的纯虚数根为bi（b≠0，b∈R），从而得到，再求出t的值．
【解答】解：设方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的纯虚数根为bi（b≠0，b∈R），
则（bi）2+（t2﹣2t+2tbi）i＝0，即﹣b2﹣2tb+（t2﹣2t）i＝0，
即，解得t＝2，b＝﹣4或t＝0，b＝0（舍去），
故实数t的值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的化简与运算，属于基础题．
18．（2022春•闵行区校级期末）已知θ为实数，若复数是纯虚数，则z的虚部为 ﹣1 ．
【分析】直接根据复数的概念可得，求解得θ再代入即可．
【解答】解：若复数z＝sinθ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，
可得，
解得θ＝+2kπ，k∈Z，
即z＝﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了复数的概念，是基础题．
19．（2022春•闵行区校级月考）（1）当m为何值时，复数是：①实数；②纯虚数；
（2）已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，，且，求复数ω．
【分析】（1）①当z是实数时，列方程组，能求出m；
②当z为纯虚数时，列方程组，能求出m．
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），（1+3i）•z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，求出，从而＝＝，由|ω|＝5，解得|b|＝5，由此能求出结果．
【解答】解：（1）复数，
①当z是实数时，，解得m＝5；
②当z为纯虚数时，，解得m＝﹣2或m＝3．
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），
（1+3i）•z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，
∴，∴，
＝＝，
|ω|＝＝＝5，解得|b|＝5，
∴b＝±5，
∴ω＝7﹣i或ω＝﹣7+i．
【点评】本题考查实数、纯虚数的定义、复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2022春•浦东新区校级期末）设z为复数．
（1）若，求|z|的值；
（2）已知关于x的实系数一元二次方程x2+px+q＝0（p、q∈R）的一个复数根为z，若z为纯虚数，求p+q的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
（2）设z＝bi（b≠0），结合纯虚数的定义，以及一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解．
【解答】解：（1），
故|z|＝|﹣3﹣4i|＝5；
（2）设z＝bi（b≠0），
∵一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，且z为纯虚数，
∴，解得，
故p+q∈（0，+∞）．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，属于基础题．
【考点4】复数的运算（共3小题）
21．（2022春•浦东新区校级期末）i2022+i2021+…+i+1＝（ ）
A．1 B．i+1 C．i D．0
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：i2022+i2021+…+i+1＝＝＝＝＝﹣1+i+1＝i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
22．（2022•迎泽区校级模拟）已知z均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若z＝，则z为实数
B．若z2＜0，则z为纯虚数
C．若|z+1|＝|z﹣1|，则z为纯虚数
D．若z3＝1，则＝z2
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数的基本运算可得A，B正确；举例说明C错误；求解方程得z，可知D正确．
【解答】解：对于A，设z＝a+bi（a，b∈R），由，可得a+bi＝a﹣bi，则2bi＝0，b＝0，∴z为实数，故A正确；
对于B，设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2+b2+2abi＜0，∵z2＜0，∴a＝0，则z纯虚数，故B正确；
对于C，当z＝0时，有|z+1|＝|z﹣1|，故C错误；
对于D，由z3＝1，得z3﹣1＝0，即（z﹣1）（z2+z+1）＝0，可得z＝1或z＝，
∴，故D正确．
∴错误的是C．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
23．（2022•浦东新区校级开学）对任意复数z＝x+yi（x，y∈R），定义g（z）＝3x（cosy+isiny）．
（1）若g（z）＝3，求复数z；
（2）若z＝a+bi（a，b∈R）中的a为常数，则令g（z）＝f（b），对任意b，是否一定有常数m（m≠0）使得f（b+m）＝f（b）？若存在，则m是否唯一？请说明理由．
【分析】（1）由新定义得，由此能求出相应的复数z．
（2）由f（b+m）＝f（b）得到，求解即可．
【解答】解：（1）∵g（z）＝3，
∴，∴，
∴，
∴z＝1+2kπi，k∈Z．
（2）∵f（b+m）＝f（b），
∴，
∴，
∴m＝2kπ，k∈Z，∴m不唯一．
【点评】本题考查复数的相等，涉及到三角函数的运算，属于中档题．
【考点5】共轭复数（共5小题）
24．（2022春•宝山区校级期中）非零复数z满足＝﹣zi，则复平面上表示复数z的点位于（ ）
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R，且a2+b2≠0），代入＝﹣zi，结合复数相等的条件可得a＝b，则答案可求．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，且a2+b2≠0），
由＝﹣zi，得a﹣bi＝﹣（a+bi）i＝b﹣ai，
∴a＝b，
∵z为非零复数，∴复平面上表示复数z的点位于第一或第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
25．（2022•上海）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝ 2﹣2i ．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．
26．（2022•宝山区校级开学）复数z满足（1﹣i）z＝2i，则的虚部为 ﹣1 ．
【分析】先利用复数的基本运算求出z，再结合共轭复数的概念求解即可．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，∴z＝＝﹣1+i，
∴＝﹣1﹣i，
∴的虚部为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题．
27．（2022春•松江区校级期末）设m为实数，复数z1＝1+i，z2＝m+3i（其中i为虚数单位），若z1•为纯虚数，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝m+3i，
∴＝m﹣3i，
∵z1•＝（1+i）（m﹣3i）＝m+3+（m﹣3）i为纯虚数，
∴，解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
28．（2022春•松江区校级期末）已知复数z1＝3﹣4i，z2＝1+2i，i为虚数单位．
（1）若复数z1﹣az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若z•z1+i＝z2，求复数z的共轭复数．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：（1）∵z1＝3﹣4i，z2＝1+2i，
∴z1﹣az2＝3﹣4i﹣a（1+2i）＝3﹣a﹣（4+2a）i，
∵复数z1﹣az2在复平面上对应的点（3﹣a，﹣（4+2a））在第四象限，
∴，解得﹣2＜a＜3，
故实数a的取值范围为（﹣2，3）．
（2）∵z•z1+i＝z2，
∴z•z1＝1+i，
∴＝，
∴．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，共轭复数的定义，属于基础题．
【考点6】复数的模（共9小题）
29．（2022春•浦东新区校级期末）设z∈C，下列说法中正确的是（ ）
A．若z+|z2|＝0，则z＝0 B．若|z|+|z2|＝0，则z＝0
C．若|z|+z2＝0，则z＝0 D．若z2+|z2|＝0，则z＝0
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，设z＝a+bi，a，b∈R，
∵z+|z2|＝0，
∴a+bi+a2+b2＝0，解得a＝﹣1，b＝0，故z＝﹣1，故A错误，
对于B，设z＝a+bi，a，b∈R，
∵|z|+|z2|＝0，
∴，解得a＝b＝0，故z＝0，故B正确，
对于C，令z＝i，满足|z|+z2＝0，但z≠0，故C错误，
对于D，令z＝i，满足z2+|z2|＝0，但z≠0，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
30．（2022秋•奉贤区校级月考）|z1|＝3，|z2|＝4，|z1+z2|＝5，则|z1﹣z2|＝ 5 ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（a，b∈R），
∵|z1|＝3，|z2|＝4，|z1+z2|＝5，
∴a2+b2＝9，m2+n2＝16，（a+m）2+（b+n）2＝25，
∴2（am+bn）＝0，
∴＝a2+b2+m2+n2﹣2（am+bn）＝25，
∴|z1﹣z2|＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
31．（2022•宝山区校级开学）已知复数z＝3﹣ai（i为虚数单位）满足|﹣2|＜2，则实数a的取值范围为 （﹣，） ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝3﹣ai，
∴，
∵|﹣2|＜2，
∴|1+ai|＜2，即12+a2＜22，解得，
故实数a的取值范围为（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
32．（2022春•松江区校级期末）如果复数z满足|z﹣2i|＝1（其中i为虚数单位），那么|z+1|的最大值是 +1 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：|z﹣2i|＝1，
则复数z在复平面内对应的点Z在以（0，2）为圆心，1为半径的圆上，
∵|z+1|表示Z点与定点（﹣1，0）的距离，
∴|z+1|的最大值是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
33．（2022春•浦东新区校级期末）若复数z＝3+ai满足条件|z|＜5，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4） B．（﹣5，5） C．（0，5） D．（﹣3，3）
【分析】根据|z|＜5，得到＜5，再求出a的取值范围．
【解答】解：∵复数z＝3+ai，且|z|＜5，
∴到＜5，解得﹣4＜a＜4，
∴实数a的取值范围是（﹣4，4），
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算，复数的模、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
34．（2022春•奉贤区校级期末）已知复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使成立．
（1）求值：2a+b；
（2）若，求|z|的取值范围．
【分析】（1）利用共轭复数的概念、复数相等的定义列方程，求出a，b，由此能求出结果．
（2）根据，求出a的取值范围，再利用复数的模，结合二次函数求解．
【解答】解：（1）复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使成立，
∴a﹣bi＝＝，
∴a＝，
消去t，得2a+b＝3；
（2）∵，
∴（a+1）2+b2＜2b2，∴（a+1）2＜b2＝（3﹣2a）2，
则3a2﹣14a+8＞0，解得a＜或a＞4，且a≠0，
∴|z|＝＝＝，
∴|z|的取值范围是（，3）∪（3，+∞）．
【点评】本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念、复数相等的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
35．（2022春•浦东新区校级期末）已知虚数z1＝4cosθ+3sinθ•i，z2＝2﹣3sinθ•i，其中i为虚数单位，θ∈R，z1、z2是实系数一元二次方程z2+mz+n＝0的两根．
（1）求实数m、n的值；
（2）若，求|z|的取值范围．
【分析】（1）根据z1，z2是实系数一元二次方程z2+mz+n＝0的两根可得，求出cosθ的值，进而求出z1，z2，再根据根与系数的关系求出m，n的值即可；
（2）根据复平面内|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的几何意义可得z（a，b）在线段z1z2上，进而求得|z|的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意z1＝，即4cosθ+3sinθ•i＝2+3sinθ•i，
∴cosθ＝，
根据韦达定理得m＝﹣（z1+z2）＝﹣（2+3sinθ•i+2﹣3sinθ•i）＝﹣4，
n＝z1z2＝（2+3sinθ•i）•（2+3sinθ•i2﹣3sinθ•i）
＝4+9（1﹣）＝，
∴m＝﹣4，n＝．
（2）由（1）sinθ＝＝，
∴设，z＝a+bi，
则|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的几何意义即为复平面内z（a，b）到z1（2，），z2（2，﹣）的距离之和为3，
∵z1到z2的距离为，
∴z（a，b）在线段z1z2上，∴当z（2，0）时，|z|取得最小值2，
当z在z1或z2时，|z|取得最大值＝，
∴|z|的取值范围为[2，]．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
36．（2022春•浦东新区校级月考）设复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有：．若复数zi对应复平面的点为Zi，O为坐标原点．
（1）求△OZ1Z2的面积；
（2）求|zn+zn+1|；
（3）证明：对任意正整数m，均有．
【分析】（1）把转化为4（）2+2•+1＝0，结合等比数列通项公式能求出△OZ1Z2的面积；
（2）利用|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|，能求出结果．
（3）分m为偶数和奇数两种情况讨论，能够证明对任意正整数m，均有．
【解答】解：（1）∵复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有：，
∴4（）2+2•+1＝0，
解得＝，∴＝或＝，
∴＝||＝，|zn|＝|z1|•＝，
∴|z2|＝，
∵＝＝或，∴结合复数的几何意义得∠Z1OZ2＝，
∴△OZ1Z2的面积＝．
（2）由（1）得|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|＝＝．
（3）证明：当m为偶数时，设m＝2s（s∈N*），利用（2）可得：
|z1+z2+•••+zm|≤
＝＝＝，
当m为奇数时，设m＝2s+1（s∈N），
由（1）（2）可知|z2s+1|＝＝，
∴|z1+z2+•••+zm|≤|z1+z2|+|z3+z4|+•••+|z2s﹣1+z2s|+|z2s+1|
＝＜，
综上，对任意正整数m，均有．
【点评】本题考查复数的运算法则、几何意义、等比数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
37．（2022•嘉定区校级开学）称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若|z1|＝1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+zn2＝0．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m，均有|z1+z2+⋯+zm|≥C．
【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数m进行分类讨论，结合数列的极限，能求出结果．
【解答】解：考虑有趣的复数数列{zn}，归纳可知zn≠0，（n∈Z+），
由条件得4（）2+2（）+1＝0（n∈N+），
解得＝（n∈N+），
∴＝||＝||＝，
∴|zn|＝|z1|•＝（n∈N+），①
进而有|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|＝•||＝（n∈N+），②
记Tm＝|z1+z2+•••+zm|（m∈N+），
当m＝2s（s∈N+）时，由①②可知，|z2s+1|＝＜＝
＝＝，
当m＝1时，T1＝|z1|＝1＞．
以上表明C＝满足要求，
另一方面，当z1＝1，z2k＝，z2k+1＝（k∈N+）时，
由题意知{zn}为有趣的数列，
此时，＝＝＝|1+|＝，
这表明C不能大于，
综上，所求C的值为．
【点评】本题考查新定义问题，涉及数列的极限、数列的新定义、复数的运算等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
【考点7】复数的三角表示（共5小题）
38．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 cos+isin ．
【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式可得答案．
【解答】解：＝cos（﹣）+isin（﹣）＝cos+isin．
故答案为：cos+isin．
【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，以及三角形式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
39．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数z满足2iz＝z1，则复数z的辐角主值为 ．
【分析】结合复数的四则运算，先对z化简，再结合辐角的定义，即可求解．
【解答】解：∵，2iz＝z1，
∴＝，
故复数z的辐角主值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及辐角的定义，属于基础题．
40．（2022春•浦东新区校级月考）若复数（i为虚数单位），则argz＝ ．
【分析】化为复数的三角形式即可得出结论．
【解答】解：复数＝2（﹣+i）＝2（cos+i），
则argz＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
41．（2022春•青浦区校级期末）复数1+i的辐角主值是 ．
【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．
【解答】解：复数1+i的模是＝，因为1+i对应的点在第一象限且辐角的正切tanθ＝1，它的辐角主值为，
三角形式为：（cos+isin），
所以复数1+i的辐角主值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题．
42．（2022•宝山区校级开学）已知复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i为虚数单位），ω＝．
（Ⅰ）若0＜θ＜2π，求满足|ω|＝1的复数z所组成的集合；
（Ⅱ）若0＜θ＜π，试讨论复数ω的辐角（用θ表示）．
【分析】（I）根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
（II）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，再结合辐角的定义，即可求解．
【解答】解：（I）ω＝＝1+z+z2＝1+cosθ+isinθ+cos2θ+isin2θ，
则ω＝1+cosθ+cos2θ+（sinθ+sin2θ）i＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），其中0＜θ＜2π，
∵|ω|＝1，
∴|2cosθ+1|＝1，解得cosθ＝﹣1或cosθ＝0，即z＝﹣1或±i，
故满足|ω|＝1的复数z所组成的集合{﹣1，i，﹣i}．
（II）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，
当2cosθ+1＝0，即，此时ω＝0，其辐角为任意实数，
当2cosθ+1＞0，即0＜，此时ω其辐角为2kπ+θ，k∈N，
当2cosθ+1＜0，即，此时ω其辐角为（2k+1）π+θ，k∈N，
综上所述，Argω＝．
【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．
【真题模拟题专练】
一．填空题（共18小题）
1．（2022•上海）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝ 2﹣2i ．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．（2021•上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝ 3+4i ．
【分析】直接根据复数的运算性质，求出z1+z2即可．
【解答】解：因为z1＝1+i，z2＝2+3i，
所以z1+z2＝3+4i．
故答案为：3+4i．
【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题．
3．（2020•上海）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
4．（2018•上海）若复数z＝1+i（i是虚数单位），则＝ 2
【分析】把z＝1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z＝1+i，
∴＝1+i+＝1+i+＝1+i+1﹣i＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
5．（2022•奉贤区二模）已知z1＝1+i，z2＝2+3i（其中i为虚数单位），则z1+＝ 3﹣2i ．
【分析】由已知利用复数的基本概念及加法运算求解．
【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝2+3i，
∴z1+＝1+i+2﹣3i＝3﹣2i．
故答案为：3﹣2i．
【点评】本题考查复数的基本运算，考查复数的概念，是基础题．
6．（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝ 2﹣i ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解答】解：∵z＝2+i，
∴．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
7．（2021•上海）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝ ．
【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z＝1﹣3i，
∴，
则|﹣i|＝|1+2i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
8．（2020•上海）已知复数z满足z+2＝6+i，则z的实部为 2 ．
【分析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．根据复数z满足z+2＝6+i，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．
∵复数z满足z+2＝6+i，
∴3a﹣bi＝6+i，
可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1．
则z的实部为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（2019•上海）已知z∈C，且满足＝i，求z＝ 5﹣i ．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．
故答案为：5﹣i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
10．（2019•上海）设i为虚数单位，，则|z|的值为 2
【分析】把已知等式变形求得再由|z|＝||，结合复数模的计算公式求解．
【解答】解：由，得3＝6+6i，即，
∴|z|＝||＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
11．（2022•普陀区二模）若复数z在复平面内对应的点为（1，﹣1），则＝ 1+i ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点为（1，﹣1），
∴z＝1﹣i．，
故答案为：1+i．
【点评】本题考查了复数的几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12．（2022•松江区二模）若复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝ ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查计算能力，属于基础题．
13．（2022•青浦区二模）已知i为虚数单位，复数z＝i（1+3i），则|z|＝ ．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝i（1+3i）＝﹣3+i，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
14．（2022•崇明区二模）若复数（i为虚数单位），则＝ ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
15．（2022•杨浦区二模）复数z＝2﹣i，则|z|＝ ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝2﹣i，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
16．（2022•虹口区二模）已知A，B，C是△ABC的内角，若，其中i为虚数单位，则C等于 ．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：（sinA+icosA）（sinB+icosB）
＝sinAsinB+sinAcosBi+sinBcosAi﹣cosAcosB
＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）+（sinBcosA+cosBsinA）i
＝﹣cos（A+B）+sin（B+A）i
＝cosC+sinCi＝，
∵C是△ABC的内角，
∴C＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，属于基础题．
17．（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝ 5 ．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由（1+i）z＝1﹣7i，
得，
则|z|＝．
故答案为：5．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
18．（2022•奉贤区模拟）已知复数z1＝﹣7+4i在复平面内对应的点为Z1，复数z2＝﹣4在复平面内对应的点为Z2，联结Z2Z1，将向量绕点Z2逆时针旋转θ角得到一个新的向量，向量的终点Z3在虚轴上，则θ的最小正角是 π+arccos （用反余弦表示）．
【分析】根据复数的几何意义，得到Z3，然后解三角形即可．
【解答】解：如图，∵Z1＝﹣7+4i，则Z1（﹣7，4），Z2＝﹣4，则Z2（﹣4，0），
∴＝（﹣3，4），||＝5，∴＝5，∴Z3（0，﹣3），＝（﹣7，7），|＝7，
在三角形Z1Z2Z3中，由余弦定理得cos∠Z1Z2Z3＝﹣，∴∠Z1Z2Z3＝π﹣arccos，∴θ的最小正角为π+arccos，
故答案为：π+arccos．
【点评】本题考查了复数的几何意义，是基础题．
二．解答题（共2小题）
19．（2022•上海模拟）设复数z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]．
（1）若复数为实数，求θ的值；
（2）求|3z1+z2|的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘除法法则，即可求解．
（2）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵复数z1＝1﹣i，
∴＝1+i，
∴z＝（1+i）（cosθ+isinθ）＝（cosθ﹣sinθ）+（sinθ+cosθ）i，
∵复数为实数，
∴sinθ+cosθ＝0，即tanθ＝﹣1，
∵θ∈[0，π]，
∴．
（2）∵z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，
∴3z1+z2＝3﹣3i+cosθ+sinθi＝（3+cosθ）+（sinθ﹣3）i，
∴|3z1+z2|＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，
∴，即，
∴|3z1+z2|的取值范围为．
【点评】本题主要考查复数与三角函数的综合应用，属于中档题．
20．（2022•宝山区校级二模）已知虚数z＝a+icosθ，其中a，θ∈R，i为虚数单位．
①若对任意θ∈R，均有|z+2﹣i|≤3，求实数a的取值范围；
②若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值．
【分析】①依题意，得（a+2）2+（cosθ﹣1）2≤9，再利用﹣2≤cosθ﹣1≤0，可求得实数a的取值范围；
②由z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，可得，解之即可求得a，θ的值．
【解答】解：z＝a+icosθ，
①若对任意θ∈R，均有|z+2﹣i|≤3，即|a+2+（cosθ﹣1）i|≤3，即（a+2）2+（cosθ﹣1）2≤9，
∵﹣2≤cosθ﹣1≤0，
∴（a+2）2≤9﹣4＝5，
∴﹣2﹣≤a≤﹣2，即a∈[﹣2﹣，﹣2]；
②∵z＝a+icosθ，
∴z2＝a2﹣cos2θ+2acosθi，
∵z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
∴z+z2＝a2﹣cos2θ+a+（cosθ+2acosθ）i∈R，且z•z2＝（a+icosθ）（a2﹣cos2θ+2acosθi）＝a3﹣3acos2θ+（3a2cosθ﹣cos3θ）i∈R，
即，
解cosθ（1+2a）＝0得a＝﹣，或cosθ＝0，此时θ＝kπ+（k∈Z）；
当a＝﹣时，代入3a2cosθ﹣cos3θ＝0，得cosθ（﹣cos2θ）＝0，
∴cosθ＝0，或cosθ＝±，此时θ＝kπ+或θ＝kπ±（k∈Z）．
综上所述，当a＝﹣时，θ＝kπ±（k∈Z）；
当a≠﹣时，θ＝kπ+（k∈Z）．
【点评】本题考查复数的概念性质及综合应用，考查转化与化归思想及方程思想的运用，考运算求解能力，属于难题．
第18讲 复数的性质及应用
【考点梳理】
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
【解题方法和技巧】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
【考点剖析】
【考点1】虚数单位i、复数（共6小题）
1．（2021秋•杨浦区校级期末）化简：i366+i384+i500＝ 1 ．
【分析】根据虚数单位i，以及指数的运算即可求出．
【解答】解：∵i2＝﹣1，
∴i3＝﹣i，i4＝1
∴i366+i384+i500＝（i4）91•i2+（i4）96+（i4）125＝﹣1+1+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．
2．（2022春•闵行区校级月考）已知z1，z2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若|z1|≤1，则﹣1≤z1≤1；
②若z1＝，则∈R；
③若|z1|+|z2|＝0，则z1＝z2＝0；
④若z1+z2是虚数，则z1，z2都是虚数．
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
【分析】根据复数的性质分别判断即可．
【解答】解：z1，z2为复数，
①若|z1|≤1，z没有大小，故﹣1≤z1≤1是错误的，
②若z1＝，则∈R，正确，
③若|z1|+|z2|＝0，则z1＝z2＝0，正确，
④若z1+z2是虚数，z1，z2不一定都是虚数，
比如：z1＝1﹣3i，z2＝﹣1，故错误，
故②③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的定义和性质，是基础题．
3．（2022•宝山区校级开学）以下四个关于复数的结论：
（1）任意两个复数不能比大小；
（2）z∈C⇒z2≥0；
（3）z1﹣z2＞0⇒z1＞z2；
（4）复数a+bi＝c+di（a、b、c、d∈R）⇒a＝c且b＝d．
正确的序号是 （4） ．
【分析】举反例可判断（1）、（2）、（3）为错误的，由复数的定义可判断（4）正确．
【解答】解：（1）任意两个复数不能比大小是错的，例如2与3；
（2）z∈C⇒z2≥0是错的，例如z＝1+i；
（3）z1﹣z2＞0⇒z1＞z2是错的，例如z1＝1+i，z2＝﹣1+i；
（4）复数a+bi＝c+di（a、b、c、d∈R）⇒a＝c且b＝d．
故答案为：（4）．
【点评】本题考查了复数的定义的应用，属于基础题．
4．（2022春•浦东新区校级期末）3+4i的虚部是 4 ．
【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解．
【解答】解：3+4i的虚部是4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查虚部的定义，属于基础题．
5．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝10+17i，则Rez＝ 10 ．
【分析】根据已知条件，结合实部的定义，即可求解．
【解答】解：z＝10+17i，
则Rez＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查实部的定义，属于基础题．
6．（2022春•浦东新区校级期末）若i是虚数单位，当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为 {﹣2，0，2} ．
【分析】分类讨论，利用复数的运算求解即可．
【解答】解：当n＝4k，k∈N时，
1+＝1+1＝2，
当n＝4k+1，k∈N时，
i+＝i﹣i＝0，
当n＝4k+2，k∈N时，
i2+＝﹣1﹣1＝﹣2，
当n＝4k+3，k∈N时，
i3+＝﹣i+i＝0，
故当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为{﹣2，0，2}；
故答案为：{﹣2，0，2}．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i的性质，是基础题．
【考点2】复数的代数表示法及其几何意义（共6小题）
7．（2022春•徐汇区期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A．正数 B．负数
C．实部不为零的虚数 D．纯虚数
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0，虚部为一个非0常数，即为纯虚数．
故选：D．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
8．（2022春•闵行区校级期末）如果复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，
复数z对应的点为复平面x轴上，A（﹣1，0），B（1，0）之间的任意点，
故|z﹣1﹣i|表示复数z对应的点到点P（1，1）的距离，
所以|z﹣1﹣i|的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
9．（2022春•嘉定区校级期末）已知复数z1＝5﹣2022i，z2＝2017+2ai（a∈R），若z1+z2所对应的点在实轴上，则a＝ 1011 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵z1+z2所对应的点在实轴上，
∴z1+z2＝5﹣2022i+2017+2ai＝2022+（2a﹣2022）i，
∵z1+z2所对应的点在实轴上，
∴2a﹣2022＝0，解得a＝1011．
故答案为：1011．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
10．（2022•黄浦区校级模拟）复平面内存在复数z1＝1，z2＝﹣1，对应的三点Z1、Z2、Z3，若点Z4可与Z1、Z2、Z3共圆，则下列复数中可以表示为z4的是（ ）
A．tan15°+cot30°i B．cos45°+sin30°i
C．tan30°+sin15°i D．sin75°+sin15°i
【分析】分析可得|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，则z4需满足|z4|＝1，计算出各选项中复数的模，即可得解．
【解答】解：由已知可得|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，
则点Z1、Z2、Z3均在以原点为圆心且半径为1的单位圆上，
若点Z4可与Z1、Z2、Z3共圆，则|z4|＝1，，A不满足要求；
，B不满足要求；，C不满足要求；
因为sin75°＝sin（90°﹣15°）＝cos15°，
所以，，D满足要求．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于中档题．
11．（2022春•浦东新区校级月考）设a是实数，关于z的方程（z2﹣2z+5）（z2+2az+1）＝0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是 {a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3} ．
【分析】由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，因为z2+2az+1＝0有两个不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1时，
若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1时，讨论计算即可．
【解答】解：由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，
因为z2+2az+1＝0有两个不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，
若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1时，，
因为z1，z2，z3，z4在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，﹣1＜a＜1满足条件；
若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1时，是实根，在复平面上对应的点在实轴上，
仅当z1、z2对应的点在以z3，z4对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为，
整理得，即x2+2ax+1+y2＝0，将点（1，±2）代入得a＝﹣3；
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．
故答案为：{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．
【点评】本题考查了复数的综合应用，属于中档题．
12．（2022春•虹口区校级期末）在复平面中，已知点A（﹣1，0）、B（0，3），复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，且满足|z1|＝|z2|＝2，|Z1Z2|＝4，则的最大值为 ．
【分析】由题意设Z1（2cosα，2sinα），Z2（2cosβ，2sinβ），0≤α＜2π，0≤β＜2π，由|Z1Z2|＝4，得cos（α﹣β）＝﹣1，求得α﹣β＝±π，再由数量积的坐标运算结合三角函数求最值．
【解答】解：由题意设Z1（2cosα，2sinα），Z2（2cosβ，2sinβ），0≤α＜2π，0≤β＜2π，
由|Z1Z2|＝4，得，
整理得cos（α﹣β）＝﹣1，∵0≤α＜2π，0≤β＜2π，
∴﹣2π＜α﹣β＜2π，可得α﹣β＝±π，
，，
则＝（2cosα+1）2cosβ+2sinα（2sinβ﹣3）
＝4cosαcosβ+4sinαsinβ+2cosβ﹣6sinα＝4cos（α﹣β）+2cosβ﹣6sinα
＝﹣4+2cos（±π+α）﹣6sinα＝﹣4﹣6sinα﹣2cosα＝（tan），
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是中档题．
【考点3】纯虚数（共8小题）
13．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2
【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解a的值．
【解答】解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，
∴，∴a＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．
14．（2022秋•奉贤区校级月考）已知z，ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，，且，求ω 7﹣i或﹣7+i ．
【分析】设（1+3i）z＝ai（a∈R，a≠0），化简可得＝，结合可得a＝50或a＝﹣50，从而求得．
【解答】解：设（1+3i）z＝ai（a∈R，a≠0），
则z＝＝，
则＝＝，
∵，
∴|a|•＝5，
故a＝50或a＝﹣50，
故ω＝7﹣i或﹣7+i，
故答案为：7﹣i或﹣7+i．
【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．
15．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z为纯虚数，若zi＝6+ai（其中a∈R，i为虚数单位），则z＝ ﹣6i ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：由题意设z＝bi，b≠0，
∵zi＝6+ai，
∴bi2＝﹣b＝6+ai，即a＝0，b＝﹣6，
∴z＝﹣6i．
故答案为：﹣6i．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
16．（2022•闵行区二模）若为纯虚数（i为虚数单位），则实数m＝ ﹣1 ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：＝＝为纯虚数，
则，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
17．（2022春•宝山区校级月考）若关于x的方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）有纯虚数根，则实数t的值为 2 ．
【分析】设方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的纯虚数根为bi（b≠0，b∈R），从而得到，再求出t的值．
【解答】解：设方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的纯虚数根为bi（b≠0，b∈R），
则（bi）2+（t2﹣2t+2tbi）i＝0，即﹣b2﹣2tb+（t2﹣2t）i＝0，
即，解得t＝2，b＝﹣4或t＝0，b＝0（舍去），
故实数t的值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的化简与运算，属于基础题．
18．（2022春•闵行区校级期末）已知θ为实数，若复数是纯虚数，则z的虚部为 ﹣1 ．
【分析】直接根据复数的概念可得，求解得θ再代入即可．
【解答】解：若复数z＝sinθ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，
可得，
解得θ＝+2kπ，k∈Z，
即z＝﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了复数的概念，是基础题．
19．（2022春•闵行区校级月考）（1）当m为何值时，复数是：①实数；②纯虚数；
（2）已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，，且，求复数ω．
【分析】（1）①当z是实数时，列方程组，能求出m；
②当z为纯虚数时，列方程组，能求出m．
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），（1+3i）•z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，求出，从而＝＝，由|ω|＝5，解得|b|＝5，由此能求出结果．
【解答】解：（1）复数，
①当z是实数时，，解得m＝5；
②当z为纯虚数时，，解得m＝﹣2或m＝3．
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），
（1+3i）•z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，
∴，∴，
＝＝，
|ω|＝＝＝5，解得|b|＝5，
∴b＝±5，
∴ω＝7﹣i或ω＝﹣7+i．
【点评】本题考查实数、纯虚数的定义、复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2022春•浦东新区校级期末）设z为复数．
（1）若，求|z|的值；
（2）已知关于x的实系数一元二次方程x2+px+q＝0（p、q∈R）的一个复数根为z，若z为纯虚数，求p+q的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
（2）设z＝bi（b≠0），结合纯虚数的定义，以及一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解．
【解答】解：（1），
故|z|＝|﹣3﹣4i|＝5；
（2）设z＝bi（b≠0），
∵一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，且z为纯虚数，
∴，解得，
故p+q∈（0，+∞）．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，属于基础题．
【考点4】复数的运算（共3小题）
21．（2022春•浦东新区校级期末）i2022+i2021+…+i+1＝（ ）
A．1 B．i+1 C．i D．0
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：i2022+i2021+…+i+1＝＝＝＝＝﹣1+i+1＝i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
22．（2022•迎泽区校级模拟）已知z均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若z＝，则z为实数
B．若z2＜0，则z为纯虚数
C．若|z+1|＝|z﹣1|，则z为纯虚数
D．若z3＝1，则＝z2
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数的基本运算可得A，B正确；举例说明C错误；求解方程得z，可知D正确．
【解答】解：对于A，设z＝a+bi（a，b∈R），由，可得a+bi＝a﹣bi，则2bi＝0，b＝0，∴z为实数，故A正确；
对于B，设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2+b2+2abi＜0，∵z2＜0，∴a＝0，则z纯虚数，故B正确；
对于C，当z＝0时，有|z+1|＝|z﹣1|，故C错误；
对于D，由z3＝1，得z3﹣1＝0，即（z﹣1）（z2+z+1）＝0，可得z＝1或z＝，
∴，故D正确．
∴错误的是C．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
23．（2022•浦东新区校级开学）对任意复数z＝x+yi（x，y∈R），定义g（z）＝3x（cosy+isiny）．
（1）若g（z）＝3，求复数z；
（2）若z＝a+bi（a，b∈R）中的a为常数，则令g（z）＝f（b），对任意b，是否一定有常数m（m≠0）使得f（b+m）＝f（b）？若存在，则m是否唯一？请说明理由．
【分析】（1）由新定义得，由此能求出相应的复数z．
（2）由f（b+m）＝f（b）得到，求解即可．
【解答】解：（1）∵g（z）＝3，
∴，∴，
∴，
∴z＝1+2kπi，k∈Z．
（2）∵f（b+m）＝f（b），
∴，
∴，
∴m＝2kπ，k∈Z，∴m不唯一．
【点评】本题考查复数的相等，涉及到三角函数的运算，属于中档题．
【考点5】共轭复数（共5小题）
24．（2022春•宝山区校级期中）非零复数z满足＝﹣zi，则复平面上表示复数z的点位于（ ）
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R，且a2+b2≠0），代入＝﹣zi，结合复数相等的条件可得a＝b，则答案可求．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，且a2+b2≠0），
由＝﹣zi，得a﹣bi＝﹣（a+bi）i＝b﹣ai，
∴a＝b，
∵z为非零复数，∴复平面上表示复数z的点位于第一或第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
25．（2022•上海）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝ 2﹣2i ．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．
26．（2022•宝山区校级开学）复数z满足（1﹣i）z＝2i，则的虚部为 ﹣1 ．
【分析】先利用复数的基本运算求出z，再结合共轭复数的概念求解即可．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，∴z＝＝﹣1+i，
∴＝﹣1﹣i，
∴的虚部为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题．
27．（2022春•松江区校级期末）设m为实数，复数z1＝1+i，z2＝m+3i（其中i为虚数单位），若z1•为纯虚数，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝m+3i，
∴＝m﹣3i，
∵z1•＝（1+i）（m﹣3i）＝m+3+（m﹣3）i为纯虚数，
∴，解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
28．（2022春•松江区校级期末）已知复数z1＝3﹣4i，z2＝1+2i，i为虚数单位．
（1）若复数z1﹣az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若z•z1+i＝z2，求复数z的共轭复数．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：（1）∵z1＝3﹣4i，z2＝1+2i，
∴z1﹣az2＝3﹣4i﹣a（1+2i）＝3﹣a﹣（4+2a）i，
∵复数z1﹣az2在复平面上对应的点（3﹣a，﹣（4+2a））在第四象限，
∴，解得﹣2＜a＜3，
故实数a的取值范围为（﹣2，3）．
（2）∵z•z1+i＝z2，
∴z•z1＝1+i，
∴＝，
∴．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，共轭复数的定义，属于基础题．
【考点6】复数的模（共9小题）
29．（2022春•浦东新区校级期末）设z∈C，下列说法中正确的是（ ）
A．若z+|z2|＝0，则z＝0 B．若|z|+|z2|＝0，则z＝0
C．若|z|+z2＝0，则z＝0 D．若z2+|z2|＝0，则z＝0
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，设z＝a+bi，a，b∈R，
∵z+|z2|＝0，
∴a+bi+a2+b2＝0，解得a＝﹣1，b＝0，故z＝﹣1，故A错误，
对于B，设z＝a+bi，a，b∈R，
∵|z|+|z2|＝0，
∴，解得a＝b＝0，故z＝0，故B正确，
对于C，令z＝i，满足|z|+z2＝0，但z≠0，故C错误，
对于D，令z＝i，满足z2+|z2|＝0，但z≠0，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
30．（2022秋•奉贤区校级月考）|z1|＝3，|z2|＝4，|z1+z2|＝5，则|z1﹣z2|＝ 5 ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（a，b∈R），
∵|z1|＝3，|z2|＝4，|z1+z2|＝5，
∴a2+b2＝9，m2+n2＝16，（a+m）2+（b+n）2＝25，
∴2（am+bn）＝0，
∴＝a2+b2+m2+n2﹣2（am+bn）＝25，
∴|z1﹣z2|＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
31．（2022•宝山区校级开学）已知复数z＝3﹣ai（i为虚数单位）满足|﹣2|＜2，则实数a的取值范围为 （﹣，） ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝3﹣ai，
∴，
∵|﹣2|＜2，
∴|1+ai|＜2，即12+a2＜22，解得，
故实数a的取值范围为（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
32．（2022春•松江区校级期末）如果复数z满足|z﹣2i|＝1（其中i为虚数单位），那么|z+1|的最大值是 +1 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：|z﹣2i|＝1，
则复数z在复平面内对应的点Z在以（0，2）为圆心，1为半径的圆上，
∵|z+1|表示Z点与定点（﹣1，0）的距离，
∴|z+1|的最大值是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
33．（2022春•浦东新区校级期末）若复数z＝3+ai满足条件|z|＜5，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4） B．（﹣5，5） C．（0，5） D．（﹣3，3）
【分析】根据|z|＜5，得到＜5，再求出a的取值范围．
【解答】解：∵复数z＝3+ai，且|z|＜5，
∴到＜5，解得﹣4＜a＜4，
∴实数a的取值范围是（﹣4，4），
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算，复数的模、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
34．（2022春•奉贤区校级期末）已知复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使成立．
（1）求值：2a+b；
（2）若，求|z|的取值范围．
【分析】（1）利用共轭复数的概念、复数相等的定义列方程，求出a，b，由此能求出结果．
（2）根据，求出a的取值范围，再利用复数的模，结合二次函数求解．
【解答】解：（1）复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使成立，
∴a﹣bi＝＝，
∴a＝，
消去t，得2a+b＝3；
（2）∵，
∴（a+1）2+b2＜2b2，∴（a+1）2＜b2＝（3﹣2a）2，
则3a2﹣14a+8＞0，解得a＜或a＞4，且a≠0，
∴|z|＝＝＝，
∴|z|的取值范围是（，3）∪（3，+∞）．
【点评】本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念、复数相等的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
35．（2022春•浦东新区校级期末）已知虚数z1＝4cosθ+3sinθ•i，z2＝2﹣3sinθ•i，其中i为虚数单位，θ∈R，z1、z2是实系数一元二次方程z2+mz+n＝0的两根．
（1）求实数m、n的值；
（2）若，求|z|的取值范围．
【分析】（1）根据z1，z2是实系数一元二次方程z2+mz+n＝0的两根可得，求出cosθ的值，进而求出z1，z2，再根据根与系数的关系求出m，n的值即可；
（2）根据复平面内|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的几何意义可得z（a，b）在线段z1z2上，进而求得|z|的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意z1＝，即4cosθ+3sinθ•i＝2+3sinθ•i，
∴cosθ＝，
根据韦达定理得m＝﹣（z1+z2）＝﹣（2+3sinθ•i+2﹣3sinθ•i）＝﹣4，
n＝z1z2＝（2+3sinθ•i）•（2+3sinθ•i2﹣3sinθ•i）
＝4+9（1﹣）＝，
∴m＝﹣4，n＝．
（2）由（1）sinθ＝＝，
∴设，z＝a+bi，
则|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的几何意义即为复平面内z（a，b）到z1（2，），z2（2，﹣）的距离之和为3，
∵z1到z2的距离为，
∴z（a，b）在线段z1z2上，∴当z（2，0）时，|z|取得最小值2，
当z在z1或z2时，|z|取得最大值＝，
∴|z|的取值范围为[2，]．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
36．（2022春•浦东新区校级月考）设复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有：．若复数zi对应复平面的点为Zi，O为坐标原点．
（1）求△OZ1Z2的面积；
（2）求|zn+zn+1|；
（3）证明：对任意正整数m，均有．
【分析】（1）把转化为4（）2+2•+1＝0，结合等比数列通项公式能求出△OZ1Z2的面积；
（2）利用|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|，能求出结果．
（3）分m为偶数和奇数两种情况讨论，能够证明对任意正整数m，均有．
【解答】解：（1）∵复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有：，
∴4（）2+2•+1＝0，
解得＝，∴＝或＝，
∴＝||＝，|zn|＝|z1|•＝，
∴|z2|＝，
∵＝＝或，∴结合复数的几何意义得∠Z1OZ2＝，
∴△OZ1Z2的面积＝．
（2）由（1）得|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|＝＝．
（3）证明：当m为偶数时，设m＝2s（s∈N*），利用（2）可得：
|z1+z2+•••+zm|≤
＝＝＝，
当m为奇数时，设m＝2s+1（s∈N），
由（1）（2）可知|z2s+1|＝＝，
∴|z1+z2+•••+zm|≤|z1+z2|+|z3+z4|+•••+|z2s﹣1+z2s|+|z2s+1|
＝＜，
综上，对任意正整数m，均有．
【点评】本题考查复数的运算法则、几何意义、等比数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
37．（2022•嘉定区校级开学）称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若|z1|＝1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+zn2＝0．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m，均有|z1+z2+⋯+zm|≥C．
【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数m进行分类讨论，结合数列的极限，能求出结果．
【解答】解：考虑有趣的复数数列{zn}，归纳可知zn≠0，（n∈Z+），
由条件得4（）2+2（）+1＝0（n∈N+），
解得＝（n∈N+），
∴＝||＝||＝，
∴|zn|＝|z1|•＝（n∈N+），①
进而有|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|＝•||＝（n∈N+），②
记Tm＝|z1+z2+•••+zm|（m∈N+），
当m＝2s（s∈N+）时，由①②可知，|z2s+1|＝＜＝
＝＝，
当m＝1时，T1＝|z1|＝1＞．
以上表明C＝满足要求，
另一方面，当z1＝1，z2k＝，z2k+1＝（k∈N+）时，
由题意知{zn}为有趣的数列，
此时，＝＝＝|1+|＝，
这表明C不能大于，
综上，所求C的值为．
【点评】本题考查新定义问题，涉及数列的极限、数列的新定义、复数的运算等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
【考点7】复数的三角表示（共5小题）
38．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 cos+isin ．
【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式可得答案．
【解答】解：＝cos（﹣）+isin（﹣）＝cos+isin．
故答案为：cos+isin．
【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，以及三角形式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
39．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数z满足2iz＝z1，则复数z的辐角主值为 ．
【分析】结合复数的四则运算，先对z化简，再结合辐角的定义，即可求解．
【解答】解：∵，2iz＝z1，
∴＝，
故复数z的辐角主值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及辐角的定义，属于基础题．
40．（2022春•浦东新区校级月考）若复数（i为虚数单位），则argz＝ ．
【分析】化为复数的三角形式即可得出结论．
【解答】解：复数＝2（﹣+i）＝2（cos+i），
则argz＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
41．（2022春•青浦区校级期末）复数1+i的辐角主值是 ．
【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．
【解答】解：复数1+i的模是＝，因为1+i对应的点在第一象限且辐角的正切tanθ＝1，它的辐角主值为，
三角形式为：（cos+isin），
所以复数1+i的辐角主值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题．
42．（2022•宝山区校级开学）已知复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i为虚数单位），ω＝．
（Ⅰ）若0＜θ＜2π，求满足|ω|＝1的复数z所组成的集合；
（Ⅱ）若0＜θ＜π，试讨论复数ω的辐角（用θ表示）．
【分析】（I）根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
（II）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，再结合辐角的定义，即可求解．
【解答】解：（I）ω＝＝1+z+z2＝1+cosθ+isinθ+cos2θ+isin2θ，
则ω＝1+cosθ+cos2θ+（sinθ+sin2θ）i＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），其中0＜θ＜2π，
∵|ω|＝1，
∴|2cosθ+1|＝1，解得cosθ＝﹣1或cosθ＝0，即z＝﹣1或±i，
故满足|ω|＝1的复数z所组成的集合{﹣1，i，﹣i}．
（II）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，
当2cosθ+1＝0，即，此时ω＝0，其辐角为任意实数，
当2cosθ+1＞0，即0＜，此时ω其辐角为2kπ+θ，k∈N，
当2cosθ+1＜0，即，此时ω其辐角为（2k+1）π+θ，k∈N，
综上所述，Argω＝．
【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．
【真题模拟题专练】
一．填空题（共18小题）
1．（2022•上海）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝ 2﹣2i ．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．（2021•上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝ 3+4i ．
【分析】直接根据复数的运算性质，求出z1+z2即可．
【解答】解：因为z1＝1+i，z2＝2+3i，
所以z1+z2＝3+4i．
故答案为：3+4i．
【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题．
3．（2020•上海）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
4．（2018•上海）若复数z＝1+i（i是虚数单位），则＝ 2
【分析】把z＝1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z＝1+i，
∴＝1+i+＝1+i+＝1+i+1﹣i＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
5．（2022•奉贤区二模）已知z1＝1+i，z2＝2+3i（其中i为虚数单位），则z1+＝ 3﹣2i ．
【分析】由已知利用复数的基本概念及加法运算求解．
【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝2+3i，
∴z1+＝1+i+2﹣3i＝3﹣2i．
故答案为：3﹣2i．
【点评】本题考查复数的基本运算，考查复数的概念，是基础题．
6．（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝ 2﹣i ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解答】解：∵z＝2+i，
∴．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
7．（2021•上海）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝ ．
【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z＝1﹣3i，
∴，
则|﹣i|＝|1+2i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
8．（2020•上海）已知复数z满足z+2＝6+i，则z的实部为 2 ．
【分析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．根据复数z满足z+2＝6+i，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．
∵复数z满足z+2＝6+i，
∴3a﹣bi＝6+i，
可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1．
则z的实部为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（2019•上海）已知z∈C，且满足＝i，求z＝ 5﹣i ．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．
故答案为：5﹣i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
10．（2019•上海）设i为虚数单位，，则|z|的值为 2
【分析】把已知等式变形求得再由|z|＝||，结合复数模的计算公式求解．
【解答】解：由，得3＝6+6i，即，
∴|z|＝||＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
11．（2022•普陀区二模）若复数z在复平面内对应的点为（1，﹣1），则＝ 1+i ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点为（1，﹣1），
∴z＝1﹣i．，
故答案为：1+i．
【点评】本题考查了复数的几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12．（2022•松江区二模）若复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝ ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查计算能力，属于基础题．
13．（2022•青浦区二模）已知i为虚数单位，复数z＝i（1+3i），则|z|＝ ．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝i（1+3i）＝﹣3+i，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
14．（2022•崇明区二模）若复数（i为虚数单位），则＝ ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
15．（2022•杨浦区二模）复数z＝2﹣i，则|z|＝ ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝2﹣i，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
16．（2022•虹口区二模）已知A，B，C是△ABC的内角，若，其中i为虚数单位，则C等于 ．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：（sinA+icosA）（sinB+icosB）
＝sinAsinB+sinAcosBi+sinBcosAi﹣cosAcosB
＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）+（sinBcosA+cosBsinA）i
＝﹣cos（A+B）+sin（B+A）i
＝cosC+sinCi＝，
∵C是△ABC的内角，
∴C＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，属于基础题．
17．（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝ 5 ．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由（1+i）z＝1﹣7i，
得，
则|z|＝．
故答案为：5．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
18．（2022•奉贤区模拟）已知复数z1＝﹣7+4i在复平面内对应的点为Z1，复数z2＝﹣4在复平面内对应的点为Z2，联结Z2Z1，将向量绕点Z2逆时针旋转θ角得到一个新的向量，向量的终点Z3在虚轴上，则θ的最小正角是 π+arccos （用反余弦表示）．
【分析】根据复数的几何意义，得到Z3，然后解三角形即可．
【解答】解：如图，∵Z1＝﹣7+4i，则Z1（﹣7，4），Z2＝﹣4，则Z2（﹣4，0），
∴＝（﹣3，4），||＝5，∴＝5，∴Z3（0，﹣3），＝（﹣7，7），|＝7，
在三角形Z1Z2Z3中，由余弦定理得cos∠Z1Z2Z3＝﹣，∴∠Z1Z2Z3＝π﹣arccos，∴θ的最小正角为π+arccos，
故答案为：π+arccos．
【点评】本题考查了复数的几何意义，是基础题．
二．解答题（共2小题）
19．（2022•上海模拟）设复数z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]．
（1）若复数为实数，求θ的值；
（2）求|3z1+z2|的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘除法法则，即可求解．
（2）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵复数z1＝1﹣i，
∴＝1+i，
∴z＝（1+i）（cosθ+isinθ）＝（cosθ﹣sinθ）+（sinθ+cosθ）i，
∵复数为实数，
∴sinθ+cosθ＝0，即tanθ＝﹣1，
∵θ∈[0，π]，
∴．
（2）∵z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，
∴3z1+z2＝3﹣3i+cosθ+sinθi＝（3+cosθ）+（sinθ﹣3）i，
∴|3z1+z2|＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，
∴，即，
∴|3z1+z2|的取值范围为．
【点评】本题主要考查复数与三角函数的综合应用，属于中档题．
20．（2022•宝山区校级二模）已知虚数z＝a+icosθ，其中a，θ∈R，i为虚数单位．
①若对任意θ∈R，均有|z+2﹣i|≤3，求实数a的取值范围；
②若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值．
【分析】①依题意，得（a+2）2+（cosθ﹣1）2≤9，再利用﹣2≤cosθ﹣1≤0，可求得实数a的取值范围；
②由z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，可得，解之即可求得a，θ的值．
【解答】解：z＝a+icosθ，
①若对任意θ∈R，均有|z+2﹣i|≤3，即|a+2+（cosθ﹣1）i|≤3，即（a+2）2+（cosθ﹣1）2≤9，
∵﹣2≤cosθ﹣1≤0，
∴（a+2）2≤9﹣4＝5，
∴﹣2﹣≤a≤﹣2，即a∈[﹣2﹣，﹣2]；
②∵z＝a+icosθ，
∴z2＝a2﹣cos2θ+2acosθi，
∵z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
∴z+z2＝a2﹣cos2θ+a+（cosθ+2acosθ）i∈R，且z•z2＝（a+icosθ）（a2﹣cos2θ+2acosθi）＝a3﹣3acos2θ+（3a2cosθ﹣cos3θ）i∈R，
即，
解cosθ（1+2a）＝0得a＝﹣，或cosθ＝0，此时θ＝kπ+（k∈Z）；
当a＝﹣时，代入3a2cosθ﹣cos3θ＝0，得cosθ（﹣cos2θ）＝0，
∴cosθ＝0，或cosθ＝±，此时θ＝kπ+或θ＝kπ±（k∈Z）．
综上所述，当a＝﹣时，θ＝kπ±（k∈Z）；
当a≠﹣时，θ＝kπ+（k∈Z）．
【点评】本题考查复数的概念性质及综合应用，考查转化与化归思想及方程思想的运用，考运算求解能力，属于难题．
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第10讲 数学归纳法与数列综合应用-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）： 这是一份第10讲 数学归纳法与数列综合应用-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用），文件包含第10讲数学归纳法与数列综合应用解析版docx、第10讲数学归纳法与数列综合应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
