第02讲-命题和充要条件-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

这是一份第02讲-命题和充要条件-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用），文件包含第02讲-命题和充要条件解析版-高考培优直通车2022年高三数学大一轮复习精品讲义上海专用docx、第02讲-命题和充要条件原卷版-高考培优直通车2022年高三数学大一轮复习精品讲义上海专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

第02讲-命题和充要条件（解析版）
学习目标：
1、理解四种命题及其相互关系；
2、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；
3、理解子集与推出关系。

教学内容

1、已知集合，集合，且，则的取值范围是（ ）
【答案】A
2、已知全集中共有个元素，中有个元素，且非空，求集合的元素个数．
【答案】∵,,∴集合的元素个数有个.
3、已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，则CUA＝________.
【答案】{0}
【解析】因为A＝，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．





知识点一：命题的四种形式及其关系
知识梳理
1.命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题．
2.命题的四种形式及相互关系．
（1）一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 ，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
（2）如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
（3）命题、的否定分别记作、。
（4）如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
（5）四种命题形式及其相互关系:

（6）四种命题的真假关系：
1）原命题为真，它的逆命题不一定真；
2）原命题为真，它的否命题不一定真；
3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．

（7）常见结论的否定形式：（拓展内容）
原结论
否定形式
原结论
否定形式
是
不是
至少有一个
没有
都是
不都是
至多有一个
至少有二个
大于
小于或等于
至少有个
至多有-1个
小于
大于或等于
至多有个
至少有+1个
对所有的成立
存在不成立
或
非且非
对任何的不成立
存在成立
且
非或非

3.充分条件与必要条件：
若但反之不成立，则是的充分不必要条件；
若但反之不成立，则是的必要不充分条件；
若且，即，则是的充要条件；
若与都不成立，则是的既不充分也不必要条件．
4.子集与推出关系
设
若，则的充分条件；
若，则的必要条件；
若，则的充分非必要条件；
若，则的必要非充分条件；
若，则的充要条件。
5.反证法：是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论，一般步骤为：
假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
例题精讲
考点1 命题的判定
例1.命题“若，则”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假
【答案】逆命题：若，则 （假，如，）
否命题：若，则 （假，如，）
逆否命题：若，则 （真，∵）

例2.有4个命题：
（1） 没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______
【答案】（3）
例3.下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若，则”的否命题；
③“正三角形的三个角均为”的逆否命题，
其中真命题的序号是______(把所有真命题的序号填在横线上)．
【答案】②③.
【解析】①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；
②“若，则”的否命题为“若则”，而由可得都不为零，故，所以该命题是真命题；
③由于原命题“正三角形的三个角均为”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题．故填②③.

例4.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
⑴“负数的平方是正数”；
⑵“若和都是偶数，则是偶数”；
⑶“当时，若，则”；
⑷“若，则且”；
【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假）
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假）
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真）
⑵逆命题：若是偶数，则和都是偶数．（假）
否命题：若和不全是偶数，则不是偶数．（假）
逆否命题为：若不是偶数，则和不都是偶数．（真）
⑶分析：“当时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是，结论是．
逆命题：当时，若，则．（真）
否命题：当时，若，则．（真）
逆否命题：当时，若，则．（真）
⑷逆命题：若且，则．（真）
否命题：若，则或．（真）
逆否命题：若或，则．（假）

例5.已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】由命题可以得到： ∴
由命题可以得到： ∴
因为有且仅有一个为真
当为真，为假时，
当为假，为真时，
所以，的取值范围为或．
考点2 等价命题
例6.与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D

例7.命题：已知a，b为实数，若有非空解集，则。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？
【答案】逆命题：已知a，b为实数，若，则有非空解集
否命题：已知a，b为实数，若没有非空解集，则
逆否命题：已知a，b为实数，若，则没有非空解集
通过原命题为真得出逆否命题为真，通过否命题为真的出你逆命题为真。




巩固练习
1、有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；
②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；
③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；
④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.
2、原命题：“设，若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（　　）个．
A． 　B．　　 　C．　 　　D．
【答案】C
【解析】逆命题和否命题是真命题．

3、命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若或，则 D．若或，则
【答案】D
4、有下列四个命题：①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若，则有实根”的逆否命题；④命题“若，则”的逆否命题．
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．
【答案】①②③
【解析】①、②显然正确；③当时，有，∴方程有实数根，即原命题为真，
∴它的逆否命题也为真；④则，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假．




5．下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；
③“x>2”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．
【答案】①②
【解析】逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．

知识点二：充分必要条件的判定
知识梳理
1.充分条件与必要条件：
若但反之不成立，则是的充分不必要条件；
若但反之不成立，则是的必要不充分条件；
若且，即，则是的充要条件；
若与都不成立，则是的既不充分也不必要条件．
2.反证法：是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论，一般步骤为：
（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
例题精讲
考点1 充要条件的判定
例8.对任意实数、、，在下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】B
【解析】若A真，则，不成立；若C真，则，不成立；
若D真，则，在时有反例，故不成立；
答案为B，．

例9.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）.
A. 充分条件； B. 必要条件；
C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件.
【答案】.

例10.已知命题：；命题：函数的值恒为负．则命题是命题成立的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】；
函数的值恒为负，不一定有，如时，函数的值恒为负．

例11.已知集合，.
（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；
（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件；
（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】本例是典型的借助集合观点理解充要条件的题目，设实数的取值范围是Q，则的充要条件是Q＝；而的一个充分但不必要条件是Q为的一个真子集；的一个必要但不充分条件是求一个集合S，使得Q是S的真子集.
本题的（2）（3）小题的答案不唯一.如第（2）小题的答案还可以是－2,1，2,1，5等无数多个值；第（3）小题的答案还可以是，［－4,5］等.
（1）由 ，得，因此的充要条件是；
（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件，就是在集合中取一个值，如取，此时必有；反之，未必有，故是所求的一个充分而不必要条件；
（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故是它的一个真子集。如果时，未必有，但是时，必有，故是所求的一个必要而不充分条件.


考点2 充分条件、必要条件、充要条件的求解与证明
例12.已知抛物线y=-x2+mx-1 点A(3,0) B(0,3),求抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件．

【答案】见解析
【解析】线段AB:y=-x+3(0≤x≤3)-----------(1)
抛物线: y=-x2+mx-1---------------(2)
(1)代入(2)得:x2-(1+m)x+4=0--------(3)
抛物线y=-x2+mx-1与线段AB有两个不同交点,等价于方程(3)在[0,3]上有两个不同的解.
设f(x)=x2-(1+m)x+4则
∴抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件是:.


例13.给出以下四个条件：①；②或；③；④且.其中可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是__________.
【答案】③④
【解析】①不充分，如；②既不充分，如；③、④充分而不必要，，但反之不成立，，但反之不成立.

例14.已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是 （ ） A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，∵时，必有，即， ∴，由此得.
例15.在三角形中，设三个内角、、的对边依次为，则“”是“”成立的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

【答案】B
【解析】由余弦定理得，故选B
例16.设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是
封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，
有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（　 ）
A、 T，V中至少有一个关于乘法是封闭的；
B、T，V中至多有一个关于乘法是封闭的；
C、T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的；
D、T，V中每一个关于乘法都是封闭的.
【答案】A
【解析】不妨令T为奇数集，V为偶数集，显然符合题意，于是排除了B，C选项。
不妨再令T为自然数集，V为负整数集，此时V不关于乘法封闭，排除D，故答
案为A
事实上，用反证法，假设T，V都不关于乘法封闭，则对于某个a,b∈T,必有ab不
属于T，即ab∈V。同样地，对于某个x，y∈V，必有xy属于T。根据题意V,T
中的三个元素的乘积仍属于其本身，我们在V中选取：x，y，ab，在T中选取：a，
b，xy，有abxy∈T，abxy∈V，这与V和T不相交矛盾，故 T,V中至少有一个关
于乘法封闭。

例17.已知，函数，
⑴当时，若对任意都有，证明：；
⑵当时，证明：对任意，的充要条件是；
⑶当时，讨论对任意，都有的充要条件．
【答案】见解析
【解析】⑴∵，，
∴当时，有，
于是，对都有，∴
∵，∴．
⑵先证必要性：
∵，∴，，
∴．
再证充分性：
，又∵，∴，
∴，
且，
∴．
综上知，命题成立．
⑶当，，对任意都有，
其次，若对任意都有，则．
反之，若，∵，则对任意都有
．
综上所述，当，时，对任意都有的充要条件是．



巩固练习
1．若，, 的二次方程的一个根大于零,另一根小于零，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，，可知方程的两根异号，条件充分；条件不必要，如时，方程一个根大于零,另一根小于零.
2．在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等.根据祖暅原理，“两个几何体的体积不相等”是“在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）.
【A】充分不必要条件
【B】必要不充分条件
【C】充要条件
【D】既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：由逆否命题成立可得充分性成立
必要性：举例如体积相同的正方体和四棱锥，截面不恒相等，但体积可能相等，故必要性不成立。
3.设是方程的两个实根，试分析是两根均大于的什么条件？
【答案】必要不充分条件
【解析】根据韦达定理得．判定的条件是，结论是（注意中满足的前提是）．
⑴由，得，∴．
⑵为证明，可以举出反例：取，它满足，但不成立．
综上讨论可知是的必要不充分条件．
4.求证：命题：若a、b、，且，，，则x、y、z中至少有一个不小于0为真命题.
【答案】见解析
【解析】假设x、y、z均小于0，即：…①；
…②；…③；
①+②+③得，这与矛盾，
则假设不成立，∴x、y、z中至少有一个不小于0．
5.求证：关于的方程有实数根，且两根均小于的一个充分条件是且．
【答案】见解析
【解析】当且时，
由题设有：，所以原方程有实数根．
函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为，因此要证两根都小于，只需即可．而，因此方程的两根都小于．
故且是方程有实根且实根均小于的充分条件．

知识点三：子集与推出关系
知识梳理
1、子集与推出关系：
设，则 与 等价．
2、子集与推出关系的各种表述形式：
已知集合
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的充分非必要条件；
（3）若，则是的必要条件；
（4）若，则是的必要非充分条件；
（4）若，则是的充要条件．
3、推出关系具有传递性：若，，则，若，，则，称与等价．
设，，则集合、之间的关系与、之间的关系，可用下表表示：
集合之间的关系
与之间的推出关系
是的什么条件
原命题“若，则”的真假
逆命题“若、则”的真假

，
充分非必要条件
真命题
假命题

，
必要非充分条件
假命题
真命题


充要条件
真命题
真命题
不满足以上三种情况
，
既非充分又非必要条件
假命题
假命题


例题精讲
例18.设，是的充分条件，求的范围．
【答案】
【解析】设，
因为是的充分条件，即，所以


由右图可得，解得

所以的取值范围是

例19.设，是的充分条件，求的范围．
【答案】见解析
【解析】设，
是的充分条件，即，
画数轴分析可得或，解得或
所以的取值范围是或．

例20.若，且都不为零，则“”是“与解集相同”的（ ）
.充分非必要条件 .必要非充分条件
.充要条件 .既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若 ，取，则与解集不同．
所以“”不是“与解集相同 ”的充分条件．
若，且都不为零且与解集相同，此时，
必有，所以成立．
所以“”是“与解集相同 ”的必要条件．
综上所述，“”是“与解集相同 ”的必要非充分条件．

例21.设，：，若是的充分条件，求的值．
【答案】见解析
【解析】令 ， 则
或或
（1）当时，
（2）当时，
（3）当时，
综上所述：或或

例22.设，，，若“对一切实数，”是“对一切实数，”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】见解析
【解析】对一切实数，
当时，，
因为，所以不可能对一切实数，．
因此，对一切实数，
令，
由条件知：， 所以，即．



巩固练习
1．设：，：，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】
2．设A、B、C三个集合，AB是A(B∪C)的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵AB是B(B∪C)∴A(B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，
显然A(B∪C)，但AB不成立，综上所述：“AB”“A(B∪C)”，而“A(B∪C)”“AB”．即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．
3．已知命题，命题，且的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】见解析
【解析】令，
因为， 所以．
1．当时，满足条件．
2．当时，
综上所述：



一、填空题：
1、设是方程的两实数根；，则是的_____________条件。
【答案】充分不必要
2、 是成立的_____________条件。
【答案】充要
3、已知命题：“”
(1)该命题的一个充分非必要条件是___________;
【答案】
(2) 该命题的一个必要非充分条件是___________。
【答案】;a,b中至少有一个小于0；
4、已知命题：“双曲线的方程为（）”和命题：“双曲线的两条渐
近线夹角为”，则是的___________（充分性和必要性）条件。
【答案】充分非必要
【解析】命题“双曲线的两条渐近线夹角为”即双曲线为等轴双曲线，也即双曲线的方程为，∴充分性成立，必要性不成立，∴是的充分非必要条件
5、 定义：若对定义域上的任意实数都有，则称函数为上的零函数．根据以上定义，“是上的零函数或是上的零函数”为“与的积函数是上的零函数”的 条件．
【答案】充分非必要
二、选择题：
6、下列命题中正确的是（ ）
①“若，则不全为零”的否命题
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若，则有实根”的逆否命题
④“若是有理数，则是无理数”的逆否命题
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【解析】①的否命题为：若，则，真命题；
②的逆命题为：相似的多边形都是正多边形，假命题；
③中原命题是真命题，故逆否命题也为真命题；
④中原命题是真命题，因为若是有理数，也为有理数，得为有理数，矛盾，故它是真命题，从而它的逆否命题也为真命题．
7、十七世纪，法国数学家费马提出猜想:“当整数时，关于，，的方程
没有正整数解”，经历三百多年，年英国数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（ ）
① 对任意正整数,关于的方程都没有正整数解；
② 当整数时，关于的方程至少存在一组正整数解；
③ 当正整数时，关于的方程至少存在一组正整数解；
④ 若关于的方程至少存在一组正整数解，则正整数.
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】对于①，当时，此时有无数个正整数解，故①错误；
对于②，由费马大定理可知，当整数时，关于，，的方程没有正整数解， 故②错误．
三、解答题：
8、已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根．
【答案】见解析
【解析】假设至少有两个不同的实数根，不妨假设，
由方程的定义可知：
即① 由已知时，有这与式①矛盾
因此假设不能成立，故原命题成立．
注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．

9、已知△ABC是斜三角形，则“”是“”的什么条件？
【答案】见解析
【解析】证明：可得为锐角
充分性：当为锐角时，在上单调递增， 成立；当为钝角时，，则，；成立。
必要性：当，为锐角时，显然成立；为钝角，为锐角时，也成立；为锐角，为钝角时，， ，显然不成立，故必要性也成立。
10、已知函数
（1）当时，若对任意都有求证.
（2）当时，求证；对任意的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】（1）恒成立

（2）

且