高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程达标测试

【优编】2.7.1 抛物线的标准方程-1作业练习

一．填空题

1．

人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯．手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为______.

2．

已知是抛物线的焦点，，为抛物线上任意一点，当取最小值时，__________．

3．

已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点(点在第二象限)，则=___________.

4．

若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为______．

5．

抛物线的准线方程是______.

6．

下列说法正确的是___________.

①平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.

②利用最小二乘法原理求回归直线，就是使残差平方和最小的原理求得参数b的.

③在线性回归模型中，计算相关指数，这表明解释变量只解释了60%预报变量的变化.

④若存在实数，使，，对恒有，则是的一个周期.

7．

圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆：过点.由点发出的平行于轴的光线经过抛物线：反射到椭圆上后，反射光线经点，则椭圆的方程为______.

8．

已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则______.

9．

抛物线上的一点到其焦点的距离___________.

10．

某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值，且与水平方向所成角为变量，已知张燕投铅球的最远距离为．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____．（空气阻力不计，重力加速度为）

11．

已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为___________.

12．

已知．分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为，．为平面内两点，且当取得最小值时，点与点重合；当取得最大值时，点与点重合，则的面积为______.

13．

直线：与圆相切于点，且圆心在抛物线的准线上，则圆的标准方程为______

14．

已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，过点作圆的切线，切点为，若，的面积为，则_______．

15．抛物线的焦点到准线的距离是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝，

可得P（，），入射光线FP的斜率为，

所以，解得p＝1或p＝﹣2（舍去），

所以抛物线方程为：y2＝2x．

故答案为：y2＝2x

2．【答案】

【解析】

由题意得，

抛物线的准线方程方程为，点在准线上，如图所示，

过向抛物线的准线作垂线，垂足为，

根据抛物线的定义知，

所以，

即问题转化为当直线的倾斜角的正弦值最小时，求的值；

设，当直线与抛物线相切时，倾斜角的正弦值最小.

联立，

判别式时，解得，

此时，∴.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】

设直线为抛物线的准线，，，，如图所示：

设，则，，

，，

，，.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】

由题意得，所以，则抛物线的方程为，即，

故其准线方程为．

故答案为：

5．【答案】

【解析】

由得抛物线方程为，所以，

所以抛物线的准线方程是，

故答案为：.

6．【答案】②

【解析】

解：①平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.必须是定点在直线外，所以①不正确.

②利用最小二乘法原理求回归直线，就是使残差平方和最小的原理求得参数的.所以②正确.

③在线性回归模型中，计算相关指数，这表明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为60%；不是解释变量只解释了60%预报变量的变化.所以C不正确；

④若存在非零实数，使，，对恒有，则是的一个周期，所以④不正确.

故答案为：②.

7．【答案】

【解析】

由题设知：抛物线:的焦点为，

∴由发出的平行于轴的光线经过抛物线反射必过，再经过椭圆反射经过，可知：．为椭圆的两个焦点，

∴，而在椭圆上，

∴，可得，即椭圆方程为.

故答案为：

8．【答案】

【解析】

抛物线即，焦点，

因为点在抛物线上且，

所以结合抛物线定义易知，，

故答案为：.

9．【答案】

【解析】

将点的坐标代入抛物线方程得，所以抛物线的标准方程为，

抛物线的准线方程为，因此，.

故答案为：.

10．【答案】5

【解析】

设铅球运动时间为，t时刻的水平方向位移为x，则．

由知

故当时，，

解得：，

如图建立平面直角坐标系，，设抛物线方程为

则抛物线的焦点到准线的距离

故答案为：5

11．【答案】

【解析】

抛物线的方程可化为.设.

因为点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离为5，

从而，将代入可得，

所以点到轴的距离为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】

抛物线的焦点为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：

抛物线的准线为，过点作抛物线的垂线，垂足为点，

由抛物线的定义可得，则，

当时，取最小值，此时取最小值，

直线的方程为，联立，解得，即点，

点到圆上任意一点的距离，当且仅当为射线与圆的交点，且为线段上的点，

所以，，

当且仅当为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.

直线的斜率为，直线的方程为，

联立，解得，即点，

直线的斜率为，直线的方程为，

即，，

点到直线的距离为，因此，.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】

由抛物线方程，可知准线方程为，设圆心坐标为，由题意有

，解得，，

所以圆的标准方程为.

故答案为：.

14．【答案】（答对，两个都答也对)

【解析】

因为，， 所以，

又由可得，.所以.

设点到直线的距离为.

如图1，点在线段内时，因为，则，

所以,因为的面积为，

所以的面积为.

，解得.

如图2. 若点在的延长线上时,

所以,因为的面积为，

所以的面积为.

，解得.

故答案为：或

15．【答案】5

【解析】分析：根据的几何意义即可求出．

详解：因为，所以，即焦点到准线的距离是5.

故答案为：5.