高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系课后复习题

课时作业(十四)　两条直线的位置关系

一、选择题

1．(2022安徽合肥第六中学模拟)若直线l1：2x＋ay＋6＝0与直线l2：(a－4)x＋ay＋5＝0垂直，则实数a的值是(　　)

A．2   B．－2或4

C．－4   D．－4或2

答案：D

2．(2022山东潍坊模拟)已知M(0,2)，N(－2,2)，则直线MN与直线x＝0的位置关系是(　　)

A．平行　  B．垂直  C．重合  D．相交

答案：B

解析：直线MN的斜率为kMN＝0，x＝0的倾斜角为90°，所以直线x＝0与直线MN垂直．

3．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是(　　)

A．平行   B．重合

C．垂直   D．相交但不垂直

答案：C

4．(多选题)两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是    (　　)

A．－24    B．6   C．－6    D．24

答案：BC

5．(多选题)(2022山东泰安一中月考)下列说法错误的是　　　(　　)

A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等

B．平行的两条直线的倾斜角一定相等

C．垂直的两条直线的斜率之积为－1

D．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行

答案：ACD

解析：当两直线都与x轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在，所以A错误．由直线倾斜角定义可知B正确．当一条直线平行x轴，一条平行y轴，两直线垂直，但斜率之积不为－1，所以C错误．当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D错误．故选ACD.

6．(多选题)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论，正确的是　　　    (　　)

A．PQ∥SR    B．PQ⊥PS

C．PS∥QS    D．RP⊥QS

答案：ABD

7．(多选题)△ABC是以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，则    (　　)

A．kAB＝－

B．kBC＝－

C．△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形

D．△ABC是以B点为直角顶点的直角三角形

答案：AC

解析：kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，

∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，

∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．

故A，C正确，B，D错误．

二、填空题

8．(2022江西赣州三中模拟)已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1,2)，B(2，a)，若直线l1∥l2，则a＝________；若直线l1⊥l2，则a＝________.

答案：5　

解析：直线l2的斜率k＝＝a－2.∵l1∥l2，∴a－2＝3，即a＝5.

∵直线l1⊥l2，∴3k＝－1，即3(a－2)＝－1，解得a＝.

9．若直线l的一个方向向量d＝(1，)，则l与直线x－y＋1＝0的夹角为________．

答案：15°

10．(2022山东德州质检)已知A(2,4)与B(3，3)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．

答案：x－y＋1＝0

三、解答题

11．(2022山东潍坊三中月考)求经过点A(2,1)且与直线2x＋ay－10＝0垂直的直线l的方程．

解：①当a＝0时，已知直线化为x＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l的斜率为0，因为直线l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝0(x－2)，即y＝1.

②当a≠0时，已知直线2x＋ay－10＝0的斜率为－，因为直线l与已知直线垂直，设直线l的斜率为k，所以k·＝－1，所以k＝.

因为直线l过点A(2,1)，

所以所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即ax－2y－2a＋2＝0.

所求直线l的方程为y＝1或ax－2y－2a＋2＝0.

又y＝1是ax－2y－2a＋2＝0的一个特例，

故所求直线l的方程为ax－2y－2a＋2＝0.

12．一个矩形花园里要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？

解：方法一：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．

直线AC的方程为＋＝1，即3x＋5y－15＝0，

设与直线AC垂直的直线的方程为5x－3y＋t＝0，

把D(5,3)代入得t＝－25＋9＝－16，即过点D(5,3)且与直线AC垂直的直线的方程为5x－3y－16＝0.

令y＝0，得x＝＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM相互垂直．

方法二：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)，设点M的坐标为(x,0)，

∵AC⊥DM，∴kAC·kDM＝－1.

∴×＝－1，即x＝＝3.2，

即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM相互垂直．