2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一（下）联考数学试卷（5月份）（C卷）（含答案解析）

2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一（下）联考数学试卷（5月份）（C卷）

1.  在复平面内，复数z满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(    )

A. 若，，则直线
B. 若，，，则a与b是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则a，b一定相交

5.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A：B：：3：8，则a：b：c等于(    )

A. 1：3：8 B.
C.  D.

7.  正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为3，D，E分别为，上靠近A，B的三等分点，则三棱锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列说法错误的有(    )

A. 若向量与不共线，则与都是非零向量
B. 若向量，则与的方向相同或相反
C. 向量，，是三个非零向量，若，则
D. 向量，是两个非零向量，若，则
 

10.  在中，，则(    )

A.
B. 的面积为1
C. 外接圆直径是
D. 内切圆半径是

11.  正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是(    )

A. 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等
B. 平面ABCD
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
 

12.  函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 方程在上有5个根
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递减

13.  在中，，，D为BC的中点，则______.

14.  如图，设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都为1，若平面ABCD，则异面直线AC与BF所成角的大小为__________.
 

15.  为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为，若，则铁塔OT的高度为______米．

16.  如图，半径为3的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为______.

17.  三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到障碍，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中角ACB为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③请根据以上数据求出的面积．

18.  已知向量，满足，，
求；
求与的夹角．

19.  某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：

请将上表数据补充完整；函数的解析式为______直接写出结果即可；
求函数的单调递减区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．

20.  如图，在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为点E，F分别CD，BC中点．求证：
；
平面平面

21.  如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面
证明：平面PBE；
证明：；
求三棱锥的体积．

22.  已知中，函数的最小值为
求A的大小；
若，方程在内有一个解，求实数m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：由得，
故选：
根据复数除法公式即可求解．
本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：，
，
解得
故选：
先利用诱导公式和同角三角函数的商数关系进行化简，再解方程，即可．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的商数关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：一个斜边长为2的等腰直角三角形的直角边长为，
它绕直角边旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆锥，
几何体的表面积为
故选：
根据条件，可知形成的几何体是底面半径为，高为的圆锥，由此求出几何体的表面积．
本题考查旋转体的表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：若，，则直线或，故A错误；
若，，，则a与b平行或a与b是异面直线，故B错误；
若，，由面面平行的性质可得：存在使得，由线面平行的判定可得，故C正确；
若，，则或a与b相交，故D错误．
故选：
由直线与平面平行的判定判断A；由两平行平面内两直线的位置关系判断B；直接证明C正确；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：因为，
所以
故选：
化简得，再代值计算即可．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：因为，又由A：B：：3：8，所以，
，
所以由正弦定理得a：b：：：：，
故选：
先求出内角A，B，C，根据正弦定理即可求出结果．
本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：如图取的中点F，连接，则，
在正三棱柱，平面，平面，
所以，，，平面，所以平面，
又，，
所以

故选：
取的中点F，连接，则，从而得到平面，根据计算可得．
本题考查了三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：，，，
，
，P，N三点共线，
，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为，
故选：
利用平面向量基本定理得到，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查平面向量基本定理，基本不等式求最值问题，属于中档题．
 

9.【答案】BC 

【解析】解：对A：因为与任意向量都是共线向量，所以若向量与不共线，则与都是非零向量，故选项A正确；
对B：若，则向量，但与的方向不一定相同或相反，故选项B错误；
对C：因为向量，，是三个非零向量，，所以，所以或为非零向量，且与的夹角为，故选项C错误；
对D：向量，是两个非零向量，若，则，所以，所以，故选项D正确．
故选：
对A：由与任意向量都是共线向量即可判断；对B：令即可判断；对C：由题意，，进而有或为非零向量，且与的夹角为，从而即可求解；对D：由，可得，从而即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质以及共线向量的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，因为，所以，
由余弦定理知，，
所以，即选项A正确；
对于B，因为，所以，
所以的面积，即选项B错误；
对于C，由正弦定理知，，
所以外接圆直径是，即选项C正确；
对于D，设内切圆的半径为r，
由的面积，得，解得，即选项D正确．
故选：
选项A，先由，求得的值，再利用余弦定理，求得AB的值；
选项B，由求得的值，再利用，得解；
选项C，利用正弦定理，即可判断；
选项D，设内切圆的半径为r，由，可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角形内切圆与外接圆的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】ABC 

【解析】解：对于选项A，由，，
又因为平面，故，所以，A正确；
对于选项B，由几何体的性质可知，平面平面，
又因平面，所以平面ABCD，故B正确；
对于选项C，由几何体的性质可知，，
点A到平面BEF的距离，
故三棱锥的体积，因此C正确；
对于选项D，由几何体的性质可知，点A、B到直线EF的距离不相等，
因此的面积与的面积不相等，故D错．
故选：

根据题意，结合几何体的性质、线面垂直的性质、面面平行的性质以及三棱柱的体积公式，一一判断即可．
本题考查了三棱锥体积的相关计算，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：，
由图象可知：，
所以，解得：，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，此时，所以最小正周期为，A正确；
，
则，即，
因为，所以，
画出在的图象，如下：

函数图象与有5个交点，故方程在上有5个根，B正确；
函数，当时，，所以的图象关于直线不对称，C错误；
，当时，，
故函数在上单调递减，D正确．
故选：
根据三角恒等变换及图象特殊值，求出，进而求出，求出最小正周期，即可判断A；
求出及，结合及函数图象，判断出有5个交点，即有5个根，即可判断B；
求出，代入检验得到图象不关于直线对称，即可判断C；
当时，，得到的单调性，即可判断
本题考查了函数的图象变换，由的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
故答案为
由题意可得，把条件代入运算求得结果．
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间向量的应用，属于基础题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角．

【解答】

解：如图建立空间直角坐标系，

则，，，
，，
设直线AC与BF所成角为，
则，
又
，
故答案为：

15.【答案】 

【解析】解：设铁塔OT的高为h，则可得，
在中，则，即，
解得
故答案为：
根据题意可得，在中，利用余弦定理求解．
本题考查了余弦定理的应用，以及运算求解能力，属中档题．
 

16.【答案】3 

【解析】解：球的体积为，
两个圆锥的体积之和为，
设两个圆锥的高分别为，，则，
设圆锥底面圆半径为r，则，
解得，，
，，
这两个圆锥的高之差的绝对值为，
故答案为：
先根据球的体积公式求出两个圆锥体积之和，再求出圆锥的底面圆的半径，最后求出两圆锥的高，从而求出答案．
本题考查球的体积公式，圆锥的体积公式，属基础题．
 

17.【答案】解：在中，由正弦定理得：，
所以，故，
因为，，
所以，
故 

【解析】根据正弦定理可得，再根据两角和的正切公式求解，进而得到AC求出面积即可．
本题考查正弦定理以及两角和的正切公式的应用，属基础题．
 

18.【答案】解：由，得，
因为，，所以，所以
设与的夹角为，
因为，，
所以，
因为，所以 

【解析】由，得，将题设条件代入即可求解；
分别计算和，再代夹角公式即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查向量垂直的性质，向量夹角的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】 

【解析】解：将上表数据补充完整如下表：

由表中的数据得到，，，，
，
当时，，解得，
函数的解析式为，
故答案为：；
由，，得，，
函数的单调递减区间为，；
由，得，
，即，
，
函数在区间上的最大值为2，最小值为
根据正弦函数五点法作图结合表中的数据填写表，由表中的数据得到，，从而求出，由函数图象过，代入求出，由此能求出函数解析式；
由，，可求得其单调减区间；
由，得，然后利用正弦函数的性质可求得其最值．
本题考查三角函数的图象和性质的运算，考查正弦型曲线的性质、“五点法”作图、三角函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】证明：连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥性质OA，OB，OP两两互相垂直，
以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为点E，F分别CD，BC中点，
，，
，，，，
，，，
，，
，即
设平面PAD，平面PBC法向量分别为，，
，，，，
则，，取，得，
，，取，得，
，，平面平面 

【解析】连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥性质OA，OB，OP两两互相垂直，以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明
求出平面PAB，平面PCD法向量，利用向量法能证明平面平面
本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】证明：取PB中点G，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以，，
因为四边形ABCD为长方形，所以，且，
所以，，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以，
因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；

证明：由知平面PBE，
又平面PDC，平面平面
所以；
解：因为平面ABCD，所以PD为三棱锥的高，
所以 

【解析】取PB的中点G，连接EG，FG，由条件可证明，从而可得线面平行；
根据线面平行的性质即可证明；
利用等体积转化，根据题中数据，即可求出结果．
本题考查了空间中的平行关系的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：
，
所以，故，
因为，所以；
因为，
所以，，当时，，
因为在上单调递增，值域为；在上单调递减，值域为
令，，则由的图象知考虑在上的解，
若，则或4，当时，方程的解为，舍去，
当时，方程的解为，此时仅有一解，故方程在内有一个解，符合
若，则或，
此时在R上有两个不同的实数根，，令，则，由韦达定理，
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，当时，此时解得或，不符合题意，舍去．所以要使符合题意，只需，解得，
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，，当时，此时解得或，不符合题意，舍去．所以要使符合题意，只需，解得，
综上，m的取值范围是或或且 

【解析】根据三角恒等变换化简可得，再根据三角函数的最值求解即可；
先求得，再令，分析在上的值域，结合零点存在性定理与二次函数的性质，分类讨论m的范围判断即可．
本题考查三角恒等变换，零点存在性定理与二次函数的性质，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．