2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一（下）联考数学试卷（5月份）（C卷）（含答案解析）

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2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一（下）联考数学试卷（5月份）（C卷）1.  在复平面内，复数z满足，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(    )A. 若，，则直线
B. 若，，，则a与b是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则a，b一定相交5.  若，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A：B：：3：8，则a：b：c等于(    )A. 1：3：8 B.
C.  D. 7.  正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为3，D，E分别为，上靠近A，B的三等分点，则三棱锥的体积为(    )A.  B.  C.  D. 8.  在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，，则的最小值为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  下列说法错误的有(    )A. 若向量与不共线，则与都是非零向量
B. 若向量，则与的方向相同或相反
C. 向量，，是三个非零向量，若，则
D. 向量，是两个非零向量，若，则
 
 10.  在中，，则(    )A.
B. 的面积为1
C. 外接圆直径是
D. 内切圆半径是11.  正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是(    )A. 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等
B. 平面ABCD
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
 12.  函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是(    )A. 函数的最小正周期为
B. 方程在上有5个根
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递减13.  在中，，，D为BC的中点，则______.14.  如图，设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都为1，若平面ABCD，则异面直线AC与BF所成角的大小为__________.
 15.  为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为，若，则铁塔OT的高度为______米．
 16.  如图，半径为3的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为______.17.  三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到障碍，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中角ACB为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③请根据以上数据求出的面积．
18.  已知向量，满足，，
求；
求与的夹角．19.  某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：0x   0 00请将上表数据补充完整；函数的解析式为______直接写出结果即可；
求函数的单调递减区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．20.  如图，在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为点E，F分别CD，BC中点．求证：
；
平面平面
21.  如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面
证明：平面PBE；
证明：；
求三棱锥的体积．
22.  已知中，函数的最小值为
求A的大小；
若，方程在内有一个解，求实数m的取值范围．
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由得，
故选：
根据复数除法公式即可求解．
本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 2.【答案】D 【解析】解：，
，
解得
故选：
先利用诱导公式和同角三角函数的商数关系进行化简，再解方程，即可．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的商数关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 3.【答案】B 【解析】解：一个斜边长为2的等腰直角三角形的直角边长为，
它绕直角边旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆锥，
几何体的表面积为
故选：
根据条件，可知形成的几何体是底面半径为，高为的圆锥，由此求出几何体的表面积．
本题考查旋转体的表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：若，，则直线或，故A错误；
若，，，则a与b平行或a与b是异面直线，故B错误；
若，，由面面平行的性质可得：存在使得，由线面平行的判定可得，故C正确；
若，，则或a与b相交，故D错误．
故选：
由直线与平面平行的判定判断A；由两平行平面内两直线的位置关系判断B；直接证明C正确；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 5.【答案】B 【解析】解：因为，
所以
故选：
化简得，再代值计算即可．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 6.【答案】D 【解析】解：因为，又由A：B：：3：8，所以，
，
所以由正弦定理得a：b：：：：，
故选：
先求出内角A，B，C，根据正弦定理即可求出结果．
本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 7.【答案】B 【解析】解：如图取的中点F，连接，则，
在正三棱柱，平面，平面，
所以，，，平面，所以平面，
又，，
所以

故选：
取的中点F，连接，则，从而得到平面，根据计算可得．
本题考查了三棱锥体积的计算，属于中档题．
 8.【答案】A 【解析】解：，，，
，
，P，N三点共线，
，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为，
故选：
利用平面向量基本定理得到，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查平面向量基本定理，基本不等式求最值问题，属于中档题．
 9.【答案】BC 【解析】解：对A：因为与任意向量都是共线向量，所以若向量与不共线，则与都是非零向量，故选项A正确；
对B：若，则向量，但与的方向不一定相同或相反，故选项B错误；
对C：因为向量，，是三个非零向量，，所以，所以或为非零向量，且与的夹角为，故选项C错误；
对D：向量，是两个非零向量，若，则，所以，所以，故选项D正确．
故选：
对A：由与任意向量都是共线向量即可判断；对B：令即可判断；对C：由题意，，进而有或为非零向量，且与的夹角为，从而即可求解；对D：由，可得，从而即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质以及共线向量的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 10.【答案】ACD 【解析】解：对于A，因为，所以，
由余弦定理知，，
所以，即选项A正确；
对于B，因为，所以，
所以的面积，即选项B错误；
对于C，由正弦定理知，，
所以外接圆直径是，即选项C正确；
对于D，设内切圆的半径为r，
由的面积，得，解得，即选项D正确．
故选：
选项A，先由，求得的值，再利用余弦定理，求得AB的值；
选项B，由求得的值，再利用，得解；
选项C，利用正弦定理，即可判断；
选项D，设内切圆的半径为r，由，可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角形内切圆与外接圆的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 11.【答案】ABC 【解析】解：对于选项A，由，，
又因为平面，故，所以，A正确；
对于选项B，由几何体的性质可知，平面平面，
又因平面，所以平面ABCD，故B正确；
对于选项C，由几何体的性质可知，，
点A到平面BEF的距离，
故三棱锥的体积，因此C正确；
对于选项D，由几何体的性质可知，点A、B到直线EF的距离不相等，
因此的面积与的面积不相等，故D错．
故选：

根据题意，结合几何体的性质、线面垂直的性质、面面平行的性质以及三棱柱的体积公式，一一判断即可．
本题考查了三棱锥体积的相关计算，属于中档题．
 12.【答案】ABD 【解析】解：，
由图象可知：，
所以，解得：，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，此时，所以最小正周期为，A正确；
，
则，即，
因为，所以，
画出在的图象，如下：

函数图象与有5个交点，故方程在上有5个根，B正确；
函数，当时，，所以的图象关于直线不对称，C错误；
，当时，，
故函数在上单调递减，D正确．
故选：
根据三角恒等变换及图象特殊值，求出，进而求出，求出最小正周期，即可判断A；
求出及，结合及函数图象，判断出有5个交点，即有5个根，即可判断B；
求出，代入检验得到图象不关于直线对称，即可判断C；
当时，，得到的单调性，即可判断
本题考查了函数的图象变换，由的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由题意可得，
故答案为
由题意可得，把条件代入运算求得结果．
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间向量的应用，属于基础题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，

则，，，
，，
设直线AC与BF所成角为，
则，
又
，
故答案为：  15.【答案】 【解析】解：设铁塔OT的高为h，则可得，
在中，则，即，
解得
故答案为：
根据题意可得，在中，利用余弦定理求解．
本题考查了余弦定理的应用，以及运算求解能力，属中档题．
 16.【答案】3 【解析】解：球的体积为，
两个圆锥的体积之和为，
设两个圆锥的高分别为，，则，
设圆锥底面圆半径为r，则，
解得，，
，，
这两个圆锥的高之差的绝对值为，
故答案为：
先根据球的体积公式求出两个圆锥体积之和，再求出圆锥的底面圆的半径，最后求出两圆锥的高，从而求出答案．
本题考查球的体积公式，圆锥的体积公式，属基础题．
 17.【答案】解：在中，由正弦定理得：，
所以，故，
因为，，
所以，
故 【解析】根据正弦定理可得，再根据两角和的正切公式求解，进而得到AC求出面积即可．
本题考查正弦定理以及两角和的正切公式的应用，属基础题．
 18.【答案】解：由，得，
因为，，所以，所以
设与的夹角为，
因为，，
所以，
因为，所以 【解析】由，得，将题设条件代入即可求解；
分别计算和，再代夹角公式即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查向量垂直的性质，向量夹角的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 19.【答案】 【解析】解：将上表数据补充完整如下表：0x0200由表中的数据得到，，，，
，
当时，，解得，
函数的解析式为，
故答案为：；
由，，得，，
函数的单调递减区间为，；
由，得，
，即，
，
函数在区间上的最大值为2，最小值为
根据正弦函数五点法作图结合表中的数据填写表，由表中的数据得到，，从而求出，由函数图象过，代入求出，由此能求出函数解析式；
由，，可求得其单调减区间；
由，得，然后利用正弦函数的性质可求得其最值．
本题考查三角函数的图象和性质的运算，考查正弦型曲线的性质、“五点法”作图、三角函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 20.【答案】证明：连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥性质OA，OB，OP两两互相垂直，
以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为点E，F分别CD，BC中点，
，，
，，，，
，，，
，，
，即
设平面PAD，平面PBC法向量分别为，，
，，，，
则，，取，得，
，，取，得，
，，平面平面 【解析】连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥性质OA，OB，OP两两互相垂直，以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明
求出平面PAB，平面PCD法向量，利用向量法能证明平面平面
本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，是中档题．
 21.【答案】证明：取PB中点G，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以，，
因为四边形ABCD为长方形，所以，且，
所以，，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以，
因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；

证明：由知平面PBE，
又平面PDC，平面平面
所以；
解：因为平面ABCD，所以PD为三棱锥的高，
所以 【解析】取PB的中点G，连接EG，FG，由条件可证明，从而可得线面平行；
根据线面平行的性质即可证明；
利用等体积转化，根据题中数据，即可求出结果．
本题考查了空间中的平行关系的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
 22.【答案】解：
，
所以，故，
因为，所以；
因为，
所以，，当时，，
因为在上单调递增，值域为；在上单调递减，值域为
令，，则由的图象知考虑在上的解，
若，则或4，当时，方程的解为，舍去，
当时，方程的解为，此时仅有一解，故方程在内有一个解，符合
若，则或，
此时在R上有两个不同的实数根，，令，则，由韦达定理，
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，当时，此时解得或，不符合题意，舍去．所以要使符合题意，只需，解得，
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，，当时，此时解得或，不符合题意，舍去．所以要使符合题意，只需，解得，
综上，m的取值范围是或或且 【解析】根据三角恒等变换化简可得，再根据三角函数的最值求解即可；
先求得，再令，分析在上的值域，结合零点存在性定理与二次函数的性质，分类讨论m的范围判断即可．
本题考查三角恒等变换，零点存在性定理与二次函数的性质，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．